我科学家破解“背包问题”复杂度之谜

日前从中国科学院金属研究所获悉，该所张志东研究员首次确定了“背包问题”的计算复杂度下限，在该领域取得重大理论进展，相关成果近日发表于《AIMS数学》。

“背包问题”是计算机科学中经典的NP完全问题(非确定性图灵机多项式复杂度求解的决定问题)，可应用在不同领域的决策，如寻找减少原材料使用、投资组合的选择、密钥产生等最优化搜寻路径。想象一个场景：面对薯片、巧克力、矿泉水等十几种零食，如何在书包限重5斤的前提下选出“幸福值”最高的组合？这个生活化问题正是“背包问题”的简化版。当物品数量超过一定规模后，即使用最先进的计算机也需耗费天文数字时间求解，而计算复杂度下限就是解决问题所需的最少时间。

据介绍，在10余年三维伊辛模型研究工作的基础上，张志东建立起“背包问题”与自旋玻璃三维伊辛模型的联系，根据两个问题的关系确定“背包问题”的计算复杂度下限。

自旋玻璃是一种特殊磁性材料，其中的微观磁针（自旋）像一群闹别扭的小朋友，有的执拗向上，有的坚持向下。张志东把“背包问题”中每个物品的“拿或不拿”对应为磁针的“向上或向下”，而寻找最优解相当于在这群互相拉扯的“磁针小朋友”中找到最省力的排列方式（最低能量状态）。

研究发现微观磁针排列的复杂纠缠结构就像被猫抓乱的毛线团，是导致计算困难的核心。张志东找出了这种纠缠结构的最小单位，即“绝对极小核心模型”，它就像毛线团里最关键的那个结，恰好卡在NP完全问题与NP中间问题的分界线上。据此，张志东进一步构建计算复杂度相图，首次明确NP完全问题与稍简单的NP中间问题的分界线，从而确定复杂度下限，证明最优算法的时间复杂度至少为（1+无限小）的N次方，显著优于现有算法。

这项研究打破了传统认知，证明NP完全问题存在亚指数级算法，并首次精确确定了“背包问题”的计算速度极限。业内专家称，该研究的结论可以直接推广应用，解决计算机、物理、化学、生物、数学以及材料科学领域一系列相关基础科学问题。

《光明日报》（2025年05月30日 08版）