李永乐：挂谷猜想究竟是什么？90后女生王虹冲击菲尔兹奖

【整理/唐晓甫】

近日，由纽约大学科朗数学研究所副教授王虹与不列颠哥伦比亚大学约书亚·扎尔合作的一篇长达127页的论文，在预印本平台 arXiv上震撼发布，宣告证明了长期悬而未决的三维挂谷猜想。该猜想的内容是：一个包含每个方向上单位长度线段的集合（Kakeya集），在三维空间中必须具有Minkowski和Hausdorff维度等于三。

挂谷猜想由日本数学家挂谷宗一（Sōichi Kakeya）于1917年提出，这个问题的原型是：一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周360°（支点可以变化）。但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？转换成数学表达即为：当一根无限细的针向所有可能的方向旋转时，可以扫过的最小面积是多少？

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但是随着研究的深入，人们发现它还与调和分析、偏微分方程、数论等众多数学分支有着深刻的联系。事实上，挂谷猜想与傅里叶变换、限制猜想（restriction conjecture）、Bochner-Riesz 猜想以及局部光滑猜想（local smoothing conjecture）之间存在着一种层级关系：挂谷猜想成立往往是这些更高级问题得以解决的前提条件。

在二维空间中，数学家已经证明了挂谷猜想成立，也就是说，任何平面贝西科维奇集合的豪斯多夫维数必然为2。但在三维乃至更高维度的情形下，这个猜想依然是一个开放问题，虽然已经有不少部分结果（例如证明三维挂谷集合的维数下界至少为某个数值），但要证明它必须达到空间的全维数（即3维空间中维数为3）仍是一个极具挑战性的难题。

所以三维挂谷猜想的证明，标志着数学界在几何测度论与调和分析交叉领域取得了重大突破，相关解决方法可能催生出新的数值方法和理论工具，这些都将在波动、量子力学、散射理论及信号处理等数学和物理领域中产生重要应用前景。

很多学者认为一旦上述arXiv预印本通过审稿，凭借这一突破，那么王虹极有可能获得2026年的数学最高奖——菲尔兹奖。作为全世界最著名的为青年学者设置的数学界最高奖项，菲尔兹奖每四年评选2-4名有卓越贡献且年龄不超过40岁的数学家，而且要求得奖者须在该年元旦前未满四十岁。可以说菲尔兹奖的评选难度甚至高于诺贝尔奖。一旦成功，这将实现中国人在菲尔兹奖上零的突破。