方程、曲面、时空与超越：庞加莱受希尔伯特之邀的跨领域航行_风闻

译者按：1909年4月，庞加莱受希尔伯特（Hilbert）之邀，在沃尔夫斯凯尔基金会（Wolfskehl-Stiftung）赞助下（希尔伯特时任该基金委员会主席），在哥廷根进行了一系列讲座，这也是首届沃尔夫斯凯尔讲座。讲座的主要内容后被收入《关于纯粹数学和数理物理学中选定课题的六次讲座》（Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik, Leipzig and Berlin, Teubner, 1910. 8vo. 60 pp）一书。

此文是美国数学家伯克霍夫在1911年对此系列演讲合集的书评，对六次讲座主题进行了简要介绍。关于庞加莱受邀演讲相关历史，见本文“译后记”。

撰文 | G. D. Birkhoff

翻译 | 金威

原书扉页书影（本文插图为译者所加，下同）。

1909年4月22日至25日，在沃尔夫斯凯尔委员会（Wolfskehl commission）的邀请下，庞加莱（Poincaré）在哥廷根发表了这六次演讲，以精湛和富有启发性的方式论述了一系列有趣的课题。因为本书的性质决定，对方法和结果的概述需要极其简洁，这使得这本小书读起来很吃力。幸运的是，读者如果不满足于书中提供的简要论述，还可以参阅庞加莱的近期文章，以补充理解其中的大部分内容。[1]各主题的顺序为：(1) 弗雷德霍姆（Fredholm）方程；(2) 积分方程理论在流体运动中的应用；(3) 积分方程理论在赫兹波（Hertzian wave）中的应用；(4) 阿贝尔积分的约化（reduction）和富克斯函数理论；(5) 超限数（transfinite numbers）；(6) 新的力学。第六次演讲具有通俗讲演的性质，且以法语进行。[2]

1

弗雷德霍姆方程

第二类的积分方程

已知存在两种形式解，其中一种是诺伊曼（Neumann）解，它是参数λ的正整数次幂的幂级数，对λ较小的值收敛；另一种是弗雷德霍姆解，它是λ的两个整函数的商。庞加莱首先通过组合计数推导出logD(λ)的基本公式，其中D(λ)是弗雷德霍姆预解式（Fredholm resolvent）的分母，然后立即利用预解式的诺伊曼公式定义了分子。通过这种比较方法，可以清晰地分析积分方程的解。该方法的自然推广使庞加莱能够处理下列重要情况，即核

存在性；但在他的公式中，分子和分母中仍然保留了一个共同因子，而在这里通过使用修正的预解式可将其去除。这个解算子可通过从弗雷德霍姆解算子中删除某些项，以非常简单的方式获得。

演讲给出了f(x,y)及其所有迭代核变为无穷大时的一些部分结果，最后考虑了属于第一类的两个特殊的积分方程[3]，它们通过傅立叶积分和级数可约化为弗雷德霍姆方程。

2

积分方程理论在流体运动中的应用

在本演讲和下一演讲中，我们将展示典型且重要的例子，说明数学物理问题是如何引出弗雷德霍姆方程的。

第一个问题是在深度变化的海洋中如何确定流体运动，考虑到地球自转且受周期性摄动力的影响。如果忽略由于水位变化而产生的引力，则会得出一个关于两个独立变量的非齐次二阶线性偏微分方程，即庞加莱所考虑的方程。若海洋四周是垂直的崖壁，则采用希尔伯特和皮卡（Picard）的方法来构造相关的积分方程的核或格林函数，该方程属于第一类积分方程。随后可以通过凯洛格（Kellogg）的方法或由庞加莱提供的复平面积分方法来处理该方程，原方程将转化为一个等效的第二类方程。

流体运动庞加莱积分方法的示意图，示积分路径选取（摘自原书16页）。

如果海岸线不是垂直的，则相应的边界是微分方程的一条奇异线（singular line）。此外还需考虑第二条线（临界纬度，critical latitude）。通过相继的三个步骤，可以再次实现类似的简化。因此，证明了在这两种情况下均存在解。最后指出，如果不忽视由于水位移产生的引力，便不会出现新的困难。

3

将积分方程理论应用于赫兹波

庞加莱揭示了赫兹波[4]在地球表面沿曲线传播的现象，这也是无线电报信息可以极远距离发送的原因。这种现象是由于赫兹波的波长远大于光波的波长，而光波是沿直线传播的。书中给出了定量的数学讨论。通过将地球视为外导体，发射器视为内导体，并考虑阻尼同步振动，我们可以得到一个第二类积分方程，以确定在地球表面产生的电密度μ。

庞加莱对球体表面波传播的几何关系分析图（摘自原书第27页）。

但这仅仅得出了一个存在定理。庞加莱通过获得μ的近似表达式，得到了问题的实际结论；该方法取决于勒让德多项式中μ的展开，以及渐近公式的使用。结果表明，曲率随着波长的增加和发射器与地球距离的减小而增加。[5]

4

阿贝尔积分的约化与富克斯函数理论

如果一个给定的阿贝尔函数系统S，它可以约化（reduce）为第二个系统S’，并且如果S和S’都是从代数曲线C和C’中产生的，那么在曲线上的点的变换群之间可建立代数对应；只考虑C中的一个点对应C’中的一个点，而C’中的一个点对应n个C中的点的情况。这样就存在着某些属于C的可还原积分，其周期表（the table of periods / Periodentabelle）有一个简单的标准形式（normal form）。

两个阿贝尔积分的例子所对应的周期表（摘自原书第36页）。

此外，如已证明的，数n等于一个相关的θ函数的阶（order）。现在我们知道，有某个富克斯函数可以单值化任何代数曲线，包括C’。曲线C’的基本多边形可以被圆弧界定，而C中的每个这样的多边形都可由C’中的n个同样的多边形形成。积分和多边形之间的相互关系产生了许多关于曲线C和C’的几何事实，以及关于常负曲率空间中的共轭（congruent）多边形的结论。有几个例子给出了关于C和C’的美妙定理，它们可以用这种方式获得。

对一个例子（p=2, q=1, n=2）的富克斯群，庞加莱对其所对应的基本域进行的图示说明（摘自原书第40页）。

5

超限数

这篇演讲阐述了庞加莱对这一有争议的数学领域中的一些微妙之处的态度。他坚持的主要观点有两个：第一，没有任何数学实体不能用有限个词来定义；第二，所有定义都必须是他所谓的“谓词性的”（predicative）。例如，庞加莱反对人们熟悉的证明，即每个代数方程f(x)=0都有一个根，这个根取决于|f(x)|的最小值是否存在。因为从他的观点来看，若要谈论f(x)的所有的值，就必须涉及“用有限数量的词定义的x的值”，而这并不可行，因为“可定义的x值的总和”这一概念是非谓词性的。所涉及的困难在于，这个“总体”（totality）中存在着一些元素，而这些元素本身又是用“总体”来定义的，因此这个概念中出现了一个恶性循环。但演讲中对“谓词”一词含义的阐释并不清楚。

庞加莱首先考虑了理查德（Jules Richard）关于连续统（continuum）可数（denumerable）的证明（基于上述的第一个观点）与康托尔关于连续统不可数的证据之间的明显矛盾，但事实证明，这种矛盾并不存在，因为理查德采用了非谓词性的定义。

他接着讨论了如何从其立场出发重述代数方程根存在性的证明。结论中简要提及了其他几个问题。伯恩斯坦（Bernstein）定理对庞加莱来说是正确的，而连续统（在康托尔意义上）的良序问题对他来说似乎毫无意义。此外，他不确定第二个超限基数是否存在[6]。这些结论与其两个主要观点完全一致。

对庞加莱（以及许多其他数学家）的这些观点，可能提出的主要反对意见是出于实用角度的，因为它们过于严格地限制了类（class）的概念。然而，这些质疑主要是出于直觉，而非逻辑能力。根据过去的经验，这一事实表明了所提出观点的合理性；它们是消除数学中无限性的一步，而我们不禁怀疑，无限类作为客观存在的概念，在严格数学中是否会发挥任何重要的作用。

6

新力学

在这场闭幕的科普演讲中，庞加莱探讨了物理学的最新进展可能对力学产生变革。如果最终的运动方程是电磁场方程，而且实验似乎也表明了这一点，那么就会得出一系列令人震惊的结论：所有物体的速度都小于光速，而且它们的惯性（inertia）随着速度的增加而增加；我们不可能通过任何实验来判断一个人是处于静止状态，还是相对于以太处于平移的匀速运动状态；我们也不能说两个事件在绝对意义上是同时发生的；更有甚者，所有物体都会在其运动方向上发生缩短。庞加莱正是研究了这个引人入胜的课题，尤其是其中所蕴含的对力学的修正。

庞加莱对牛顿力学（上面线段）和新力学（下面线段）中的速度叠加的对比分析示意图（摘自原书第52页）。

只有在速度非常快的物体中，人们才有希望发现牛顿力学定律的偏差。水星的运动速度是所有行星中最快的，而恰恰是水星具有一种尚未得到解释的微小反常现象。正如洛伦兹（H. Lorentz，1853-1928）所证明的那样，新力学解释了其中的一部分，而在其他任何地方，新力学都不会对行星的运动产生明显的改变[7]。在介绍了这些事实之后，庞加莱总结道，牛顿力学将永远是相对于光速而言速度很小的力学，因此将继续保持其基本的重要性。

译后记

希尔伯特和庞加莱是上世纪最伟大的数学家，也堪称历史上最伟大的数学家之二。他们都深刻影响了现代数学的发展，但二者的数学风格和对数学基础的看法差异很大。希尔伯特以清晰的论述风格和形式主义立场而闻名，强调公理化方法，这也直接反映到他为20世纪数学发展指明道路的《数学问题》（Hilbert’s Problems）上。而庞加莱则更加侧重于直觉，善于洞察问题的本质，常常通过非严格化的推理开辟新领域[他甚至因此被导师埃尔米特（Charles Hermite，1822-1901）和同门皮卡（Émile Picard，1856-1941）所批评]。因此就研究风格而论，希尔伯特有着德国式的严谨，庞加莱则富于法国式的浪漫。

这两位数学家虽然研究兴趣重叠不大，风格更加迥异，却有着几次重要的交往。在1908年夏，希尔伯特陷入抑郁症，随后在疗养和治疗中得到好转，并证明了华林定理。同年，闵可夫斯基（Hermann Minkowski，1864-1909）正在研究电子的运动，著名的“闵可夫斯基时空”也受到了庞加莱引力理论的启发，但二者在定性理解方面有本质差异。他们二人本有机会于当年春天在罗马举行的国际数学家大会（ICM）上和洛伦兹讨论相对论，但因为庞加莱患病而错过了机会。在1908年秋，希尔伯特写信邀请庞加莱参加首届沃尔夫斯凯尔讲座（Wolfskehl Lectures）。沃尔夫斯凯尔（Paul Wolfskehl，1856–1906）原本是一名医生，后师从库默尔（Ernst Kummer，1810-1893）学习数学。他在1905年设立遗嘱，“以10万马克奖励第一个证明费马大定理的人”，后于1906年去世，奖金为沃尔夫斯凯尔基金会运营，并资助了同名讲座。而最终该奖在1997年授予怀尔斯（Andrew Wiles，1953-）。

庞加莱接受了邀请；他起初只计划就两个主题做演讲，即弗雷德霍姆方法的应用和阿贝尔积分的约化。而在讲座筹备过程中，闵可夫斯基因为突发阑尾炎而去世，年仅45岁。对希尔伯特而言，闵可夫斯基亦师亦友，二人感情十分深厚，因此他的离世对希尔伯特造成了巨大的晴天霹雳（Schlag aus dem heitersten Himmel）般的打击，而庞加莱与闵可夫斯基的进一步合作也随之化为泡影。但哥廷根的其他学者仍对庞加莱的电子理论感兴趣，因此希尔伯特随即要求庞加莱在演讲中增加两个主题，其一可以是关于理论物理学和天文学的，其二则可以带有“逻辑哲学色彩”（Logisch-philosophischer Färbung）。庞加莱的答复是，关于弗雷德霍姆方程的报告已经包含了理论物理学和天文学的主题——前者如赫兹波，后者如潮汐理论——但他同意增加一个从理查德悖论出发的逻辑哲学讲座。

另外在世纪之交，由于电子在磁场中的偏转（塞曼效应）、磁光学、电动体的电动力学和黑体辐射等重大问题不断取得新发现，巴黎和哥廷根的理论学者纷纷转入研究电子理论。庞加莱也在此领域做出了不少贡献。可能是出于捍卫自己的时空和电子理论和促进交流的目的，庞加莱又在讲座系列中增加了第六个关于新力学的讲座，这就形成了该讲座的最后计划。而讲座进行的1909年，正值克莱因（Felix Klein，1849-1925）的60寿辰。

讲座的主要内容如下。前三次是关于弗雷德霍姆方程的理论和应用。1888年，杜布瓦-雷蒙（Paul Du Bois-Reymond，1831-1889）命名了“积分方程”，随后弗雷德霍姆（Erik Ivar Fredholm，1866-1927）在1899-1903年左右就此发表了一系列研究论文，而希尔伯特在1904年看到弗雷德霍姆方程可以发展出解决边值问题的新方法，后来这导向了希尔伯特空间的概念。庞加莱在此讲座中首先回顾了弗雷德霍姆方程的基础理论，随后联系到其他数学家（包括希尔伯特）的关于无穷多个线性方程的理论。

第二次讲座中，庞加莱首先使用球极投影将地球表面投影到平面上，而海岸线则被视为垂直的崖壁。此时，可以用二阶偏微分方程刻画水的运动，庞加莱将此方程转化为积分方程，并先后概述了三种方法：希尔伯特和皮卡的方法（使用格林函数）、凯洛格（Oliver Kellogg，1878-1932）的势函数方法以及柯西的留数微积分方法。

第三次讲座则是关于弗雷德霍姆方程应用于赫兹波和无线电报的研究，并特别关注了如何将无线电信号发送到大洋彼岸的现实问题。当时的听众包括赫兹波方面的顶尖专家亚伯拉罕（Max Abraham，1875-1922）和理论物理学教授索末菲（Arnold Sommerfield，1868-1951）。

第四次讲演则是另一主题，是关于富克斯函数和阿贝尔积分的约化的，这个问题无疑与庞加莱的自守函数主题研究有关（可参见《19世纪末的数学高峰：庞加莱的自守函数研究》）。庞加莱首先将此问题限制在代数曲线情形，然后将视野从函数论转换到几何和拓扑上，并证明了一系列关于富克斯多边形和代数曲线的“重要而优美的定理”。

第五次是以超限数为题目的讲演，开启讲演的话题是“理查德悖论”：可定义的对象只能是可数集，但不可数集却存在。庞加莱使用“谓词定义”和“非谓词定义”的差异解决了这个矛盾，并在之后的讲演中坚持谓词性定义，并因此反对连续统基数的存在性和策梅洛（Ernst Zermelo，1871-1953）的良序原理，这无疑反映了他的“直觉主义”立场。

第六次讲演则是关于“新力学”的演讲。与前五次讲座不同，这次讲座中没有数学公式，所以庞加莱选择了法语（母语）进行演讲：在这种新力学中，没有物体能比光速更快，并且质量也会随着物体速度的增加而变大。并且，位于两个不同地点的观察者的时钟也会有不同的时间，这些观念很显然是相对论的基础。然而，庞加莱仍然保留了“以太”的存在性。

这些讲座涉及的领域各异：从积分方程的理论和应用，到函数论、阿贝尔积分和拓扑学的联系，再到数学基础和超限数，最后涉及数学物理、相对论和时空的本质。由此可见庞加莱广阔的视野和全面的数学才能。当然，这些内容也只是庞加莱研究的一小部分。

这次讲座活动后来也发挥了它的历史作用——它反映了当时的一些重要的数学论题，并促进了学者之间的交流和后续的研究。弗雷德霍姆方程的研究后来被希尔伯特等人发扬，导向积分方程的希尔伯特空间理论；赫兹波传播方面的研究后来被索末菲注意到，并开展了相关研究；而“逻辑哲学”和“新力学”讲座，无疑以数学基础的讨论和相对论为其后继——它们都是极为广阔深远的领域，不仅重塑了人类的数学与时空观念，更为未来技术发展开辟了无限可能。

因此，虽然已过去一个多世纪之久，但对我们而言，回顾世纪之交的这次系列讲座，仍将是极富趣味的。而“数学史上最后一位通才”庞加莱和“大卫王”希尔伯特的这次交流活动，也成为了现代数学史和德法文化交流史中的一段佳话。

关于此讲演更多的历史和数学材料，可参阅：

Jeremy Gray, Henri Poincaré: A scientific biography.

Scott A. Walter, Poincaré-Week in Göttingen, in light of the Hilbert-Poincaré correspondence of 1908–1909, Mathematical Correspondences and Critical Editions，pp 297–310.

注释

[1] 第一个演讲: 关于弗雷德霍姆方程的一些评论（Remarques diverses sur l’équation de Fredholm，Acta Mathematica, vol. 33 (1909), pp. 57-86.）；第三个演讲: 赫兹波的衍射（Sur la diffraction des ondes Hertziennes, Palermo Rendiconti, vol. 30 (1910), pp. 169-259）；第四个演讲: 关于阿贝尔积分的约化和富克斯函数（Sur la réduction des intégrales Abéliennes et les fonctions Fuchsiennes, Palermo Rendiconti, vol. 29 (1909), pp. 281-336.) 第五个演讲: 关于上述两条笔记的思考（Réflexions sur les deux notes précédentes, Acta Mathematica, vol. 32 (1909), pp. 195-200.）和无限逻辑（La logique de l’infini, Revue de Metaphysique et de Morale, 1909, pp. 461-482.）

[2] 译者注：前五次演讲使用了德语。见Reinhard Kahle, “Poincaré in Göttingen”，选入“Poincaré, Philosopher of Science”一书，第87页。

[4] 译者注：赫兹波（Hertzian wave），无线电波的最初名称。因赫兹在1888年发现电磁波，并证实了麦克斯韦（方程）关于电磁波存在的预言而得名。后多被用于指称由电流振荡所产生的、波长较长（不小于1毫米）的电磁波。

[5] 在演讲的最后指出，由于其中的重要项被忽略了，最终的结论需要修改。

[6] 译者注：此处庞加莱指的是ℵ1。

[7] Newcomb 和 Seeliger 已经证明，水星和其他内行星运动中的异常在很大程度上可以通过分布在太阳周围的物质的引力来解释，这些物质具有合理的质量，并且其分布方式能够产生已知的黄道光（zodiacal light）现象。

本文译自G. D. Birkhoff, Poincaré’s Gottingen Lectures, Bull. Amer. Math. Soc. 17 (1911), 190-194.https://doi.org/10.1090/S0002-9904-1911-02017-1

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