高级思维：数学翻译害死人_风闻

先说一个数学中翻译有问题的：有理数和无理数。不觉得很奇怪吗，数字哪来的什么有理和无理的？数字还分有道理和无道理？

有理数在英语里叫rational，无理数叫irrational。rational确实是有理性的意思，但是在数学里实际上是用的ratio这个词根，意思是比例。所以有理数的真正意思是比例数，无理数的意思是不成比例的数。当一个数可以用整数的比例形式表示出来，它就是有理数，不能表示就是无理数。

这种翻译错误导致的后果是，很多中国人，哪怕读了大学，如果有一段时间不接触，就不记得有理数和无理数表示什么了。

再说方程一词，英文中它是equation，就是等式的意思。化学方程式就是化学等式，即表示反应前后，物质相等的关系。物理方程就是运动前和运动后的物理量相等关系，例如动量守恒，机械能守恒。从汉语里根本看不出来“方程”表示什么，结果就是很多中国人学了方程，缺乏“等式”这个上位概念。

下面是加州一套七年级数学教材，他们教所有的方程应用题，第一步都是要求把等式写出来，整个步骤都是在“相等”的情形下进行加减乘除，而不是我们教的移项。下面第三步是两边同时减去三，等式仍然相等，而不是把三移到右边变成负三。为此中国人还发明了机械记忆用的移项口诀，从数学严谨性上讲，移项也不如同时加减乘除严谨。

中国人教方程应用题，出发点是设未知数，通常的做法是一开始就依据题目所求设个未知数，等式关系只是顺带的步骤。中国学生虽然做题做了很多，很会解方程，由于对相等这个概念很模糊，做题特别是做物理题这种经常要列方程（等式）的题目时，往往是机械式的模仿，而非在上位“相等”概念的引导之下的对题目情境的发现和有条理以及系统性的寻找物理量之间的等式。高中物理题的核心难点之一就是物理量之间的相等关系难于寻找，而不是如何设未知数。

更奇怪的是，变量或未知数，学函数的时候告诉你自变量，因变量，到了方程里它又变成了“元”。例如解一个二元方程，老师教的方法是先消掉一个元，从而求出另一个元，再把值代入，得到第一个元的值。如果从“元”这个字面去理解求解方程的步骤，能够明白是什么意思吗？不能。只有从变量和未知数的角度理解，二元方程在英文中是equation in two unknowns。两个未知数，无法一起求解，先想办法去掉一个，剩下只有一个变量的等式，求出这个变量，再代入，方程才能解出来。一个学生，初中时可能会机械式的解方程步骤，但是他未必明白这种“消元”行为是在干嘛，甚至没注意到他是在减少与消除未知数，到了高中遇到基本不等式的题目，就卡住了。

网上的各路辅导老师，为了帮助高中生处理基本不等式，总结了各种基本不等式题型的解法，试图让学生去死记硬背，费时费力还不讨好。其实一言蔽之，这些方法都是在消除变量或未知数，因为最大值和最小值里不包含变量和未知数。

上面的好几种方法其实都是在利用分子分母相乘消未知数的方法。如第二种被命名为配凑法的方法，其实质就是分母有个x-2，要让分子也有个x-2，然后两式相乘，x就被消掉了。还有第三种被命名为1的代换的方法，不就是分子有个2a+3b两个变量，要用分母去乘（这里乘了两次），消掉a与b两个变量。第五种被称为同除法的方法，其实质就是ab=（a+2b）/3，要求它的最小值，分子是a+2b，要找个分母来消除它们，所以用左右同除ab，变出来a与b是分母的式子1/b+2/a，再相乘消掉a和b。哪需要把这些方法分得那么细，教给学生？分得这么细，学生根本记不住。

还有“微分”一词，这个翻译也没把微分的最重要数学含义表达出来，微分在英文中是differential，词根是difference，本身就有变化的意思，微分实际上就是表示变化率或者说变化的快慢，而汉语中的微分一词，只是表达了分开与细分，而没有变化的意思，与其真正的数学用途相距甚远，以至于很多人学了微分，对其应用领域只会照猫画虎，不能融贯。还有“偏微分”，一个初学者能够从术语里直接获得清晰的理解吗？我觉得应该是不大可能，但是通过英文就可以。partial differential，直译就是“部分的变化”，直接点明了偏微分的真正作用。partial主要含义就是部分的意思，不知道为什么要取它的“偏袒，偏见”的意思来翻译。

还有“切线”一词，它对应的英文是“正切线”（tangent line），正切线的命名恰如其份地反映了其在数学里的最大作用———切线的斜率（正切）。翻译的时候把“正”去掉，意义就不明确了，结果就是学生学了个不切任何图形不明不白的“切线”，失去了有益的联想。

人工智能领域有“正则化”一词，从汉语能明白这在数学上有什么作用吗？它的英文是regularization，其原词是regulate，意思是“调节，校准”，它的数学作用就是如此：在损失函数后面加一点东西，调节参数。

还有物理中的速度和速率两个词，一个是矢量一个是标量。速度在日常生活的汉语中对应的是物理学中的速率，是个标量。初学物理，中国学生很容易把速度和速率混淆。学了线速度、角速度后，每次遇到这两词，中国人心里都需要稍微回忆一下到底读书时学的是矢量还是标量，时间久了就不记得了。而英语中速率是speed，矢量的速度是velocity，学习起来一般不会混淆。英文里线速度是linear velocity，角速度是angular velocity，矢量的含义很明确。

有人争辩说，词语与人对数学的理解没有什么影响，关键是数学理解，用什么语言词汇都可以。当年希尔伯特也是这么想的，在他的几何公理体系中未直接定义点、直线 、平面等基本概念，而是通过五组公理构建逻辑关系，推导出几何定理。他指出这些基本概念是未定义的数学对象，可以用“ 桌子 、 椅子 、 啤酒杯 ”等实物替代。但要是真用“桌子、椅子、啤酒杯”等词来表达几何里点、直线与平面，几何学马上就对绝大部分人来说是不可理解的了。你指着一个点，告诉学生这是桌子，你看看学生是不是会糊涂。

语言对于数学理解的影响是很明显的，在《脑与数学》一书中提到：“令人吃惊的是，语言差异导致美国儿童比同龄的中国儿童落后长达1年。4岁时，中国儿童平均能数到40。而在同样的年龄，美国儿童只能艰难地数到15。他们需要花1年的时间才能赶上来并数到40或50。美国儿童并不是始终落后于中国儿童，在数到12之前，这两组儿童水平相当。但是，当开始学习“13”和“14”这样的特殊数字时，美国儿童遇到了麻烦，而中国儿童受益于语言可靠的规律性，能够很容易地继续进步。“

“中文口语中，数字的组织方式与书面阿拉伯数字的结构完全一致。因此，在学习以10为基数的位值符号原则时，中国儿童遇到的困难远小于美国同龄人。在被要求用一些代表单位1的立方块和代表10的条形块组成数字25时，中国儿童轻而易举就选择了2个条形块和5个立方块，这表明他们理解基数10。同样年龄的美国儿童则表现不同，他们中的大多数不能利用条形块所提供的捷径，而是费劲地数出25个立方块。更糟糕的是，如果还有一个代表20的条形块，比起两个代表10的条形块，他们通常会选择前一个。他们似乎仅注意到了“twenty-five”（25）的表面信息，而中国儿童已经掌握了更深层次的以10为基数的结构。基数10是亚洲地区的语言中一个非常明显的概念，却令西方儿童相当头痛。”

提到诱导公式，这又是非常典型的误译。

‌1.国际通用术语‌：在国际数学领域，诱导公式的标准英文名称为“reduction formula”，直译为“化简公式”，更贴合其数学功能——将复杂角度的三角函数简化为基本角度。

‌‌‌2.中文翻译来源‌：中文“诱导公式”源于俄文“Формулыприведения”（意为“换算公式”），20世纪中国教材参考苏联课本时误译为“诱导”，并沿用至今。