瑞利：振动理论的开拓者与传播者_风闻

英国物理学家瑞利是19世纪重要的物理学家，但很多人对他的成就并不了解，或许只知道他提出的瑞利散射（可以解释为什么天空是蓝色的），以及瑞利-金斯公式（为了解普朗克黑体辐射定律作为铺垫）。事实上，瑞利在经典物理学多领域有杰出贡献，特别是对振动理论有开创性贡献；合作发现氩（获1904年诺贝尔奖），其研究推动了多个学科发展。

撰文 | 陈立群（上海市应用数学和力学研究所，上海大学 力学与工程科学学院力学系）

瑞利 (Lord Rayleigh, 1842—1919) 本名约翰•威廉•斯特拉特 (John William Strutt)，承袭父爵为第三代瑞利男爵 (3rd Baron Rayleigh)，是英国物理学家，诺贝尔物理学奖获得者。瑞利在经典物理学的力学、电学、热学和光学各个领域都有杰出贡献。他的科学论著包括一部两卷本专著《声的理论》(The Theory of Sound)[1-2]和466篇论文，论文收入6卷本文集[3-8]，其中前5卷由瑞利亲自审定并加少量注记，最后1卷在瑞利身后出版。

瑞利的众多科学成就，包括对振动理论的开拓性贡献。在瑞利的时代，振动理论还没有形成独立的框架，部分内容属于应用数学，部分内容属于实验物理，部分内容属于声学。正是由于瑞利等开拓者的理论贡献，以及后续工程技术发展的强烈需求，振动理论作为力学分支学科应运而生。然而，瑞利对振动理论的贡献在现有文献中未见专门研究。本文侧重分析瑞利对振动理论的创新贡献，并说明《声的理论》的特点。作为背景资料，还概括了瑞利的职业生涯和其他科学成就，这部分内容取材于瑞利儿子所撰写的内容丰富生动的瑞利生活传记[9]，以及《声的理论》美国版的导言作者对瑞利及其工作的概述[10]。还需要说明，本文提及瑞利论文，都引自论文集[3-8]， 而不是论文发表的期刊。由于篇幅所限，与瑞利工作相关的他人工作都没有给出具体出处。

职业生涯和科学成就

1842年11月12日，瑞利出生于英国埃塞克斯郡的富庶贵族家庭。其父是第二代瑞利男爵， 拥有超过28 km^2的特林庄园。瑞利自幼体弱多病，曾就学于著名的伊顿公学和哈罗公学，但都由于健康原因很快退学。后来他在小型私立寄宿学校完成中学教育。1861年，20岁的瑞利进入剑桥大学三一学院，导师是力学家劳斯 (Edward John Routh, 1831—1907)，但他从数学家斯托克斯(George Gabriel Stokes, 1819—1903) 的数学课受益尤多。斯托克斯是卢卡斯数学教授 (牛顿曾经担任的职位)，但对实验感兴趣，并在课堂上进行演示。1865年，瑞利在剑桥的数学竞赛上获奖，同年获得学士学位。到大学毕业时，瑞利不顾家族的质疑，决定从事科学研究。1866年，他当选三一学院住院成员，这是提供给独身男士的带薪职位。该职位有笔供出国访学的经费，通常到欧洲大陆，但瑞利在1867年去了当时南北战争刚结束的美国，并于1868年返回后获得硕士学位。

从1868年起，瑞利建设实验室并开始科研工作。剑桥大学当时实验基础较为薄弱，1871年才设立实验物理学卡文迪许教授讲席，该职位由著名物理学家麦克斯韦 (James Clerk Maxwell, 1831—1879) 任职。麦克斯韦随后出任卡文迪许实验室主任。1871年瑞利因结婚而离职，新娘伊夫琳•鲍尔弗 (Evelyn Balfour, 1846— 1934) 是同学的妹妹。那位同学从政后曾任英国首相，是丘吉尔的政敌。瑞利夫妇有4个儿子，长子承袭男爵爵位并在伦敦帝国理工学院担任物理学教授，是瑞利传记[9]的作者。出于健康考虑，1872年秋瑞利夫妻去埃及旅行。1873年春他们返回英国，因父亲去世瑞利继承爵位和特林庄园，同时开始在庄园中建立个人的实验室。1879年，瑞利接受剑桥大学任命，接替英年早逝的麦克斯韦，出任卡文迪许讲席教授和实验室主任。教授的职责是每年至少在校园18周并讲40次课。在这期间，瑞利在实验室的主要助手是他妻妹，当时很少的女性科技工作者。1884年，瑞利辞去剑桥大学教职，回到特林庄园继续在个人实验室中进行研究工作。1885年至1896年，他担任伦敦皇家学会书记。1887年至1905年，他担任大不列颠皇家研究所自然哲学教授，在任期内做过110次科普讲座。1905年至1908年担任伦敦皇家学会会长。1908年直到逝世他任剑桥大学校长，1909 年到逝世期间同时担任政府航空顾问委员会主任。1919年6月30 日，瑞利在特林庄园因突发心脏病去世。

瑞利在经典物理学多个领域都作出杰出贡献。除下节详细分析的对振动理论的贡献外，其他主要科学成就简述如下。瑞利首次从理论上论述了直径远远小于光波长的粒子对光的弹性散射即“瑞利散射”，由此可以说明天空为什么是蓝色的。他在研究地震时指出声波在弹性固体中传播时能量可能集中于表面附近的横向表面波即“瑞利波”。瑞利对流体动力学作出了广泛贡献， 提出了与自然对流相关的无量纲数，即瑞利数，还提出了气动升力的环流理论，相关贡献还有瑞利流、瑞利-泰勒 (Sir Geoffrey Ingram Taylor, 1886—1975) 不稳定性和泰勒-库埃特 (Maurice Couette, 1858—1943) 流稳定性的瑞利判据等。瑞利首先对气体密度进行精确测定，并导致了新的惰性气体氩的发现。这一发现使得瑞利和苏格兰化学家拉姆塞 (William Ramsay, 1852—1916) 在1904年分别获得诺贝尔物理学奖和化学奖。瑞利的工作对于量子论和相对论的诞生也有贡献。瑞利基于统计物理学导出热辐射公式即瑞利-金斯 (James Hopwood Jeans, 1877—1946) 公式，表明长波区域辐射能量密度与绝对温度成正比，该公式在短波区域内与实验不符，揭示了经典物理学的内在困难，对近代物理学的发展起到重要的推动作用。他所分析的天文像差对发光以太理论的影响，倾向于支持静止以太假说， 但他总体上有些保守的风格阻碍了他直接走向相对论。

瑞利似乎是最后一代绅士科学家。他们生活优渥，出于兴趣而投身于科学研究，但并不以此为谋生手段。瑞利也有科学之外的广泛兴趣，如摄影、远足、小说阅读等，去世时他正在阅读小说《爱玛》。他的论文集题记所选用的双关语体现了他那种英国绅士的幽默感。题记出自《旧约•诗篇》， 据和合本翻译为“耶和华的作为本为大，凡喜爱的都必考察。” 其中前半句钦定英文版是“The works of the Lord are great”，从字面上也可以理解为“那位勋爵的工作伟大”，瑞利本人被尊称为勋爵。瑞利的学术研究风格是广博、精深和严谨，既善于用简单的设备进行实验获取关键性数据，又善于发展或应用最适合的数学方法解答特定的物理问题。

对振动理论的开创性贡献

瑞利在物理学的多个研究领域都有重要工作，对振动理论更是有开创性贡献。这些贡献可以概括为线性振动一般理论、模态近似计算方法、振动梁模型改进、自激振动、参激振动和摄动方法六个方面。

瑞利还指出但没有展开说明，这个理论可以应用于模态的近似计算。第二个结果是提出了现在所称的瑞利耗散函数，用于描述振动系统的黏性阻尼；还说明一般情况下，黏性阻尼的存在影响振动方程的解耦，并给出阻尼不影响解耦的一个充分条件，现在称满足该条件的阻尼为瑞利阻尼。第三个结果是把结构的位移互等定理推广到受简谐激励的振动情形，开动力学中互等定理的先河。此外，在1877年出版的专著《声的理论》[1]119-126中，瑞利用瑞利商得到受约束线性振动系统固有频率的上下限。

瑞利对振动理论的重要贡献是基于瑞利商而发展的模态近似计算方法。1877年，瑞利在《声的理论》卷I中通过假设第1阶振型函数计算瑞利商，作为基频平方的近似值上限，计算了弦线、杆、梁、膜和板基频的近似值。这种方法被后人称为瑞利法。最核心的创见是，瑞利商给出近似值的上限，通过减少瑞利商能够提高近似的精度。1899年，瑞利在论文《计算振动最严重振型的频率，来自水动力学的例子》[6]407-412中，进一步用该方法计算圆柱形容器中液体晃动的前2阶固有频率。1908年德国理论物理学家里兹 (Walther Ritz, 1878—1909) 把振动分析转化为变分问题，通过满足边界条件的函数叠加，导出线性代数方程组求解，近似计算了矩形板前几阶固有频率和振型。1911年，瑞利在论文《关于方形板克拉尼图形的计算》[8]47-50中明确了里茨所提出的方法是减小瑞利商的一种便利方法。这种方法被称为瑞利-里兹法。这种近似求解变分问题的方法也应用于弹性力学计算，仍称为瑞利-里兹法，是有限元法的基础。

瑞利在连续体振动方面还有其他贡献。基础性的工作是对梁弯曲振动模型的改进。长期以来，梁的弯曲振动都是用欧拉-伯努利梁模型，其中忽略了截面转动的效应。1877年，瑞利在专著《声的理论》[1]258-260中，在原来的欧拉-伯努利梁控制方程中增加了反映转动效应的项。这种修正模型被称为瑞利梁模型。需要说明的是，1859年，法国数学家和工程师布雷斯 (Jacques-Antoine-Charles Bresse, 1822—1883) 在《应用力学教程(卷1)》提出相同的方程，比瑞利早18年。瑞利对于杆的径向振动和薄壳振动也有独到的见解，改进的处理能与实验结果更好吻合。

瑞利对于非线性振动理论的发展有原创性贡献，提出了最早的自激振动理论模型，被称为瑞利方程。1883年，瑞利在论文《论持续振动》[4]188-193中研究了持续振动的三种产生机制。除了当时已经清楚的受迫振动外，有一种是由风、热、摩擦等非振荡性激励产生的周期性持续运动，就是后来所称的自激振动。瑞利考虑了一种最基本的非线性阻尼，导出了现在所称的瑞利方程：

非线性阻尼项与线性阻尼项系数比。瑞利还用谐波平衡法得到了该方程的持续周期运动的幅值。1920年，荷兰物理学家范德波尔 (B. van der Pol) 不知道瑞利的工作，独立导出描述三极管振荡的方程，即现在所称的范德波尔方程，是描述自激振动的典型方程。

瑞利是参激振动的早期研究者。在前述《论持续振动》[4]188-193 论文中，瑞利指出能产生持续振动的另一种机制是参数周期性变化，就是现在所称的参数振动。瑞利给出的描述参数振动的方程，与1868年法国数学家马蒂厄 (Émile Léonard Mathieu, 1835—1890) 建立的参激振动方程相比， 增加了阻尼项，因此马蒂厄导出的超几何函数解不再适用。瑞利似乎不知道马蒂厄的相关工作，用谐波分析得到以激励周期2倍为周期的持续振动。这一结果可以解释1831年法拉第 (Michael Faraday, 1791—1867) 的铅垂简谐振动充液容器实验和1860年德国物理学家麦尔德 (Franz Emil Melde, 1832—1901) 张紧在音叉上弦线振动横向振动实验的结果。1883年，瑞利在论文《在振动支撑上液体的卷曲》[4]212-219中进行了实验研究，结果与理论分析一致。1887年，瑞利进一步研究了双频参数激励的情形[5]1-15，这时他已经知道美国数学家希尔 (George William Hill, 1838—1914) 关于参激振动的工作。

瑞利是振动分析摄动方法的先驱之一。在专著《声的理论》[1]115-118 中，作为变密度弦线的特例，瑞利研究带有小集中质量弦线的振动。基于无集中质量弦线的振动特性，把基频表达为质量比的幂级数。这种基于已知系统分析受到小扰动系统的思想，在1926年被诺贝尔物理学奖获得者薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887—1961) 应用于量子力学而形成瑞利-薛定谔微扰理论。此外，瑞利晚期工作中还有摄动分析重要技巧如匹配过程和重整化的雏形。例如：1912年《论波通过分层介质的传播》[8]71-90研究了波在转换层全反射的不同渐近展开中的常数匹配；1917年《论光在规则分层介质的反射》[8]492-503对薄层首次散射的展开式重新定义指数式并求和，使之对多个薄层有效。

奠定振动理论体系的《声的理论》

1871年瑞利结婚后，风湿热严重发作影响他的健康。医生建议他到埃及旅行作为康复治疗，于是这对新婚夫妻在1872年下半年到埃及，乘房船在尼罗河上观光。正是在这次旅行中，瑞利开始写那部尚无先例的专著，对振动和声音相关的实验发现进行系统的数学论述。他每天上午都在船舱中写作，一直到1873年春天返回英国。回国后瑞利在自己的庄园中继续进行该书的写作。他共用5年时间，完成千余页的巨著《声的理论》。上卷论述作为声学基础的振动理论，于1877年出版；下卷论述声波传播，于1878年出版。两卷分别于1894和1896年修订扩充再版，1926年、1929年和1937年3次重印。1945年在美国出版了两卷合订本，随后多次重印。《声的理论》至今仍被广为引用，堪称经典。其中有过半的篇幅 (包括第1卷全部) 是关于振动的阐述，所形成的振动理论体系，被后来的众多振动著述沿用。

《声的理论》中的振动理论可以分为三部分，离散系统振动、连续系统振动以及与声学相关的振动专题。离散系统振动为基础，包括简谐运动以及单自由度、多自由度系统的特性和响应。连续系统振动是振动理论的主体，有详细的阐述，包括弦线的横向振动、杆的径向振动和扭转转动、梁的弯曲振动、膜的振动、板的振动、壳的振动，以及第2卷中的三维固体振动。与声学有关的振动专题性内容，第1卷中有电振荡，第2卷中有空气的振动、管道中的振动、矩形房间中的空气振动等，这类振动问题与声的传播密切相关。绝大部分内容为线性振动，但也涉及单自由度的非线性振动。前两部分内容，即离散和连续系统振动，有广泛影响，是随后的振动专著和教材的核心内容。

《声的理论》是第一部数理声学专著，集声学理论之大成， 系统总结了直到著作出版时的300余年重要成果，其中有欧拉 (Leonhard Euler, 1707—1783)、达朗贝尔 (Jean le Rond d’Alembert, 1717—1783)、拉格朗日 (Joseph- Louis Lagrange, 1736—1813) 等大师的经典成果，也有作者瑞利的贡献。瑞利的研究成果多数已经以论文形式发表，例如单自由度阻尼系统的自激振动和参激振动、多自由度离散振动的一般理论、壳的振动等。除这些内容被整合入专著之外，也有少量在书中首次发表的新结果，例如约束对振动系统频率的影响、梁的弯曲振动中剪切效应建模和分析，在第2版中增加了带集中质量弦线振动的摄动分析。

就振动理论的发展而言，《声的理论》的重要意义是奠定了学科发展的基础。该书总结了振动问题研究的所有成果，形成了统一的理论体系。在线性振动的范畴内，这一理论体系沿用至今。除了从单自由度到有限多自由度再到无穷多自由度连续体的展开方式外，更重要的是该书有一以贯之的方法论。在力学方面，强调广义坐标与广义力的应用，系统地采用拉格朗日方程。在分析方法方面，谐波分析系统地应用于线性受迫振动和参激振动的响应分析，也用于非线性受迫振动和自激振动的响应分析。谐波分析不仅是求解线性振动问题的利器，也是后来研究非线性振动的重要方法之一。虽然谐波分析的数学基础由法国数学家傅里叶 (Baron Jean Baptiste Joseph Fourier, 1768—1830) 在1822年奠定，但其系统地应用于振动分析开始于瑞利的工作。

《声的理论》的重要意义还在于开辟了振动理论发展的道路。经典振动理论的现代发展肇始于复杂振动系统固有频率的近似计算。固有频率近似计算的主要理论基础是瑞利方法及其发展。该书系统地使用瑞利方法确定连续体的振动基频，开固有频率近似计算的先河。线性振动理论成熟之后，非线性振动是振动理论重要的知识生长点。该书不仅有含平方非线性刚度项系统的受迫振动和有立方非线性阻尼项系统的自激振动的理论性工作，而且有预见性地猜测后来所称的输电线舞动是自激振动 (第2版增加的内容)。作者提到弦线在风载荷作用下在垂直于风的方向振动，并断言科学解释需要尚没有的气动力理论。40年后，邓哈托 (Jacob Pieter Den Hartog, 1901—1989) 在普朗特 (Ludwig Prandtl, 1875—1953) 气动力理论基础上明确了输电线舞动的机理是自激振动。

《声的理论》既系统总结了已知成果，又有预见性地引领未来发展，是部承先启后、继往开来的奠基性著作，广泛有效地传播了振动理论，对于学科发展起了不可替代的重要作用。

美国三院院士克兰德尔 (Stephen H. Crandall, 1920—2013) 在1988年评价《声的理论》， “为振动教学树立榜样超过一个世纪，……过去50年来出现的大多数工程师振动教科书都可以被视为试图向大学生解释瑞利的想法。”[11]

瑞利曾观察到，科学史上的很多发现，当时很少引起人们注意，但后来这些发现犹如种子，向下扎根，向上结果。瑞利在振动理论中的发现如自激振动和摄动方法就是这样。瑞利撰写的专著《声的理论》极大地促进了振动理论的传播。这也印证了弗朗西斯•培根的名言，“知识的力量，不仅取决于其自身价值，更取决于它是否能被传播，以及被传播的深度和广度。”瑞利对振动理论的开拓性贡献，既包括创新性成果，也包括有效的传播。

参考文献

[1] STRUTT J W. The theory of sound (Vol. 1) [M]. 2nd ed. London: MacMillan, 1894.

[2] STRUTT J W. The theory of sound (Vol. 2) [M]. 2nd ed. London: MacMillan, 1896.

[3] STRUTT J W. Scientific papers (Vol. 1) [M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1899.

[4] STRUTT J W. Scientific papers (Vol. 2) [M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1900.

[5] STRUTT J W. Scientific papers (Vol. 3) [M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1902.

[6] STRUTT J W. Scientific papers (Vol. 4) [M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1903.

[7] STRUTT J W. Scientific papers (Vol. 5) [M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1912.

[8] STRUTT J W. Scientific papers (Vol. 6) [M]. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1920.

[9] STRUTT R J. Life of John William Strutt, third Baron Rayleigh [M]. London: D. Edward Aronld, 1924.

[10] LINDSAY R B. Lord Rayleigh — The man and his work [M]. London: Pergamon Press, 1970.

[11] CRANDALL S H. Rayleigh’s influence on engineering vibration theory [J]. Journal of Acoustics Society of America, 1998, 83(S1): 43-44

本文经授权转载自微信公众号“自然撷英”。

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