挑战！河中央掉落了一位美女，谁能最先到达营救？费马：这题我会！_风闻

试想一个场景，你和另外两个人正在河岸上一起散步，突然，不远处的静水中央 B 处传来一位女子的求救声。你们三个人都会游泳，且你们体能是一模一样的（游泳速度和跑步速度分别一样），初始位置也都看作是在同一处 A。

场景示意图 | 图中元素来源：《男子高中生的日常》动漫

恰好此时，一位外援使用了一项改变时间的技能“乱金柝”——你们现在都有五分钟的时间去思考你们各自的路线，而外界只过去 0.5 秒。之后将恢复正常。

图源：《一人之下》漫画

于是你开始仔细考虑这个问题。最先出来的想法是：两点之间直线最短。因此从你的位置往落水女子的位置连一条线，按照这个路线走应该会最快。这正是你的一位同伴 A 所选择的路线 1，他已经准备好了。

路线 1 示意图

还好你没有满足于此，又往下多想了一层：不对！我在岸上跑步的速度明显要快于在水中游泳的速度！所以我应该在岸上多跑一会儿，使得游泳的距离尽可能短。你的另一位同伴显然也想到了这一点，于是他选择了路线 2，使得游泳的距离最短，他也已经准备好了。

路线 2 示意图

此时你的心里隐隐有些不安：路线 2 就是最佳的吗？虽然游泳的距离变短了，但我牺牲了跑步的距离，这种牺牲到底在多大程度上才算值得呢？

幸好你有着扎实的数学基础，于是你开始定量计算。你知道，你们三个人游泳的速度都是 v，而跑步的速度会快一些，是 1.33v。并且最佳路径一定是在路线 1 和路线 2 之间。我们先假设最终的答案是路径 ACB，接下来我们来证明它确实是时间最短路径（对推导不感兴趣的朋友可以直接跳过下一部分）。

最佳路线 ACB 示意图

part 1

数学证明

首先，如果 ACB 确实是最短路径，那么取任何别的路径所需的时间都会更长，因此若以所需的时间对河岸上点的位置作图，将得到类似下面这条曲线——时间 t 在 C 点处应该取极小值。

最佳点 C 应该位于极小值处

这就是说，如果我们将 x 移到邻近 C 的各点，一级近似下时间基本不变（曲线底部的斜率为零）。因此，我们就有了证明 ACB 是时间最短路径的一个关键点——把位置做很小的移动，而时间基本不变！

于是我们把 D 点取在离 C 点很近的地方，现在我们要列出等式：

做出垂线 、，在 D 点离 C 点很近的情况下，可以看作 、，也就是说，现在的 ADB 路线使得在岸上跑的距离少了 EC 的长度，但是在水中游泳的距离多出来 DF 的长度。

两条路线在一级近似下应耗时相同

既然在一级近似下两条路线所用时间一样，那么应该有：，也就是说 。利用三角形的正弦定理，可以知道：、，而 、，进行替换之后，很容易得到：

part 3

斯涅耳折射定律

对于这个式子，你突然觉得非常熟悉……这里的 1.33 是我们跑步的速度除以游泳的速度得到的值，是一个特定情形下的，那么如果要考虑更加普适的情况，我们完全可以用 n 来代替 1.33。这样，上面的式子就变成：

没错，这正是斯涅尔提出的著名的折射定律！

斯涅耳与折射现象 | 图源：blog.sciencenet.cn

相信很多人都经历过，当光线从空气穿过液面到达水中，从侧面可以看到它并不是沿着直线行驶，而是弯折一个角度，也就是说入射角  不等于出射角 ，两个角满足的是前面说的公式 ，其中  有一个专门的名字——折射率。

水的折射实景 | 图源：jingyan.baidu.com

对于不同的介质，折射率有不同的特定值， 反映的是真空中光速与在该介质中的光速的比值。例如，水的折射率正是 1.33（看来你和光的速度虽然不一样，但“折射率一样”），水晶的折射率是 1.5，钻石的折射率是 2.4 等等。

于是你恍然大悟，光所选择的的路径，就是你应该走的路径。而女子身上处于水中的鞋子恰好带有一圈反光能力很强的装饰品，于是你顺着它所发射出的到达你眼里的光线，成为第一个到达美女身边的人！

救上岸之后，女子很快清醒过来，她对你十分感激，一定要报答你！于是她说道：“好孩子，你这个暑假的物理作业可以不做了！”

你看着你的这位美丽的物理老师诚恳的眼神，义正言辞：“不，老师！物理帮助我进步，使我快乐！我一定要好好做物理暑假作业！”

（故事情节部分纯属编撰，请勿当真。）

continuing

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费马时间最短原理

物理老师知道你的解题思路，对你大加赞赏。她看向天边的落日，说道：“斯涅尔在 1621 年是通过实验数据归纳出折射定律，1650 年费马对这个定律进行了解释，提出著名的‘费马最短时间原理’——在从一点行进到另一点的所有可能的路径中，光走的是需时最短的路径。你刚才所应用的正是费马最短时间原理。

费马皮埃尔·德·费马画像 | 图源：kelionline.com

“这是一个伟大的成就，也在斯涅尔的基础上更进一步，成功预言出新的东西。

“例如，我们有三个介质：空气（1）、水（2）、水晶（3），空气的折射率可以看作 1，空气对水的折射率 ，空气对水晶的折射率。那么，光线从水入射到水晶，应该怎么偏折呢？也就是说，水对水晶的折射率应该是多少？从费马最短时间原理出发，这个问题很好解决，答案就是光在水和水晶这两种介质之间的速度的比值：。“而只用斯涅尔定律，我们就无法直接得到这类预言，除非引入新的假定条件（在一种物质的表面上加一层另一种物质，不会改变光在后一种物质中最终的折射角）。事实上，实验观测确实表明这种折射率之间的‘传递’是正确的。”

你的同学 B 发现物理老师始终注视着夕阳，觉得很好奇，不禁仔细思索了一番，突然恍然大悟：“老师，我们虽然能看到落日，但实际上，它是不是可能已经在地平线以下了！因为地球的大气高处稀薄，低处稠密，所以，按照费马最短时间原理，如果光选择在高处多走一会，以使得低处通过的距离更少，那样的话所用时间就会更短了！”

表观看到的落日实际位于地平线以下

物理老师对 B 同学露出了赞赏的表情，A 同学也不甘示弱，提出了一个问题：“折射率描述的是真空光速与介质光速的比值，而光速不能超过真空光速，所以折射率应该大于等于 1 才对。可是为什么我看到有的材料折射率小于 1 呢？比如金的折射率就是 0.47。”

“这是一个很好的问题！实际上，在一个特定的频率下，折射率可以大于 1 也可以小于 1，从传送信号的角度，折射率告诉我们的是波节传播的速率，数学上的波节确实可以比光速传播快，但这并不意味着信号传播的实际速率比光速快。这个问题很复杂，如果想知道的话，以后一定要学好物理！”物理老师露出了赞赏和鼓励的美丽笑容。

最后，你们四人在“地平线以下的”夕阳的照耀下离开河边，只觉物理果真让人如痴如醉、兴致盎然。

（读者朋友们如果对折射率小于 1 这一现象感兴趣，可以阅读光学相关书籍，也可以参考《费曼物理学讲义》第一卷第 48 章的内容。）

参考资料：

1. 《费曼物理学讲义》第一卷第 26 章