从线性算子的角度看广义逆矩阵_风闻

广义逆矩阵定义众多，计算繁杂，初学者很难理解其本质。虽然一般的教材都会提供规范的定义、标准的运算性质证明以及计算方法介绍，但这些内容往往“代数味”太浓，容易让人陷入具体计算过程，而欠缺对概念内涵和联系的直观把握。本文将从线性算子的角度出发，利用线性算子和矩阵的内在对应关系，解释广义逆矩阵的几何直观意义。

撰文 | 朱慧坚（玉林师范学院数学与统计学院副教授）、丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

我们在系列文章第二篇《从反函数的观点看逆矩阵》中已经证明，对于一个行数不等于列数的“非正方形”矩阵，不存在另一个矩阵，使得它们的乘积和都是单位矩阵（当然两者阶数不一样）。在本文中，我们将行数与列数不相等的矩阵称为“非方矩阵”；若更细分之，行数大于列数的非方矩阵也按其形状称为“高矩阵”，而列数大于行数的非方矩阵则被说成是“矮矩阵”。

将矩阵等价地看成线性算子，上面用矩阵乘法表达的性质如用线性算子的语言，就是说任何非方矩阵不能同时是一对一（单射）的和映上（满射）的。因此，非方矩阵没有经典的反函数意义下的逆矩阵。然而，如果正整数 < ，可以找到行列的矩阵和行列的矩阵

= 。然而，上面的例子说明，对于某些矮矩阵，存在高矩阵满足等式 = ，同样，对于某些高矩阵，存在矮矩阵使得 = 。这里的符号表示它是某阶的单位矩阵。

既然非方矩阵没有经典意义上的逆矩阵，难道就不能拓宽“逆”的含义，抓住它的核心要素，定义更广意义下的逆？逆矩阵的定义是可逆函数的反函数概念应用到矩阵这个特殊函数的结果，而反函数的定义是基于可逆函数: → 在定义域上是“一对一”和“映到上”这两个根本性质的。因此，要推广“逆”的含义，就必须放宽对于“一对一”和“映上”的苛刻要求。

必须注意，以上所述并非暗示方阵必定有逆矩阵。事实上我们之前的文章已证，方阵只要是个单射或满射，则分别同时也是满射或单射，因而逆矩阵存在并唯一。只有那些既非单射又非满射的方阵才与逆矩阵无缘。

这样，我们的问题是：对于非方矩阵或无逆可言的方阵，怎样定义“广义逆矩阵”？我们将再次采用几何的算子语言以完成任务。首先，我们引入本文所需的预备知识。

空间的直和分解

我们大致描述一下一般线性空间的概念，它是上述欧几里得空间的抽象化。任给一个非空集合，如果对其中的任两个元素和，它们的“和” + 作为中的一个元素有定义，此外任一实数和的“标量积”也定义为中的一个元素，并且这两种代数运算满足同欧几里得空间中向量加法、数乘向量运算一样的基本法则，如关于加法构成一个“群”，特别地，加法满足结合律和交换律、数乘满足分配律等，则称为一线性空间，其中的元素被叫做向量。除了几何直观性最强的欧几里得空间被认为是抽象线性空间的“杰出代表”和“具体模型”外，中学生最熟悉的一例线性空间是所有次数不高于某个固定非负整数的实系数多项式全体所组成的集合，其中的元素加法和数乘运算就自然地由多项式的加法和数乘多项式来定义。

定义广义逆矩阵

定义广义逆矩阵示意图

幂等矩阵和投影算子

其实，人们对投影并不陌生，一束平行的太阳光将正在阳光下走路的人投影到了路面上，形成了一个人影，这就是投影的一个司空见惯的例子。在中学或大学的力学课程中，我们知道两个不同方向的共点力的合力可以通过平行四边形法则几何地画出：以表示两力的有向线段为相邻边，作一个平行四边形，那么这两条邻边之间的那个对角线有向线段就代表了这两力的合力。反过来，我们可以将第一个力视为合力沿着第二个力的方向，

朝着第一个力所在的方向投影的结果。由直觉可知，一个向量如果投影到一个方向上，得到原向量的投影，再向同一方向投影一次，之前投影后的向量就保持不变了。这说明“连续投影两次无异于只投影一次”。

正交补空间和正交投影算子

可是，历史上广义逆矩阵并非一开始就这么“无限自由”，可以选取矩阵值空间、零空间的任意补空间来定义，而是选取了两个特殊的补空间，它们分别为给定矩阵的值空间和零空间的正

对于 > 3的欧几里得空间^，里面的向量非我人类目力所能及，然而在数学的天空我们依然把它们看得一清二楚，这完全得益于人的想象力。基于点积的分量乘积和公式，我们可以想象，当向量和的内积

时，这两个向量在高维空间中是“相互垂直”的，因而我们有理由在此情况下称和正交。

正交直和分解用在平面上，就可催生出笛卡尔平面直角坐标系。据说在1619年11月10日那晚，法国天才笛卡尔做了三个奇特的梦，其中第二个梦萌生出“点的坐标”这一数形结合的伟大思想，启发了解析几何的创立。美国数学史家贝尔在其著作《数学大师：从芝诺到庞加莱》中，甚至将这一天说成是“现代数学的公论的诞生日”。