浅说椭圆曲线_风闻

在所有律师里面数学最好的是谁？毫无疑问是法国的费马——一位充满传奇色彩的业余数学家。他在数学领域做了许多重要的开创性工作，足以媲美任何同时代的数学家。至今，我们还常常能在数学课本中见到他的名字。

撰文 | 陆俊

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费马先生的金蛋：椭圆曲线

在所有律师里面数学最好的是谁？毫无疑问是法国的费马（Pierre de Fermat）——一位充满传奇色彩的业余数学家。他在数学领域做了许多重要的开创性工作，足以媲美任何同时代的数学家。至今，我们还常常能在数学课本中见到他的名字。

比如说到解析几何，很多人只知道笛卡尔的大名，殊不知费马也是解析几何的创始人。他早就用坐标方法（即方程）去研究几何图形的性质。费马首先指出一次方程。

费马（1601-1665）

如果你是费马，有了这些发现之后，很自然会去思考三次方程定义的曲线，对不对？费马当然也会这么想。首先，在一个合适的坐标变换后，大多数三次方程可以写成标准形式

费马的许多研究都围绕着椭圆曲线。让我们循着费马的轨迹，一起来欣赏一下这些有趣的工作（有兴趣的读者可以参看加藤和也等人写的《数论I：Fermat的梦想和类域论》）。

(A) 立方数与三角数

所谓三角数，就是下面这类等边三角形上的格点个数：1，3，6，10，15，……。

(B) 直角三角形与同余数

所谓的同余数，来自于以下经典的数学问题。

有告诉人们一般情形证明是怎样的。此后的几百年，有许许多多优秀的数学家致力于证明这个结论，但他们的努力都失败了。直到1995年前后，才由数学家怀尔斯（Andrew Wiles）彻底解决。

怀尔斯（1953-）

虽然许多人证明费马猜想的努力都未获成功，但是他们的工作却在很大程度上促进了各个数学分支的发展，极大地丰富了数学世界的内容。因此有人把费马猜想比喻作“一只会生金蛋的鸡”，实在是非常地准确。

如今回过头来看，我们不得不问：对于如此之难的数学问题，为何费马会声称自己找到了证明?到底是费马跟我们开了玩笑，还是上帝跟费马开了玩笑？这里不做探讨了。我们想要告诉大家的是，费马猜想和椭圆曲线的关系是极为密切的。从某个方面说，椭圆曲线是不折不扣的“金蛋”！

让我们来看几个具体的例子。

限于篇幅，我们不再详细介绍。有兴趣的读者可以参看辛格所著的《费马大定理》或其他相关的科普书籍。

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退化的椭圆曲线

这条曲线有一个尖锐的点，称作尖点(cusp)。顾名思义，这条曲线就好比是有理曲线上捏出一个尖点。

除了以上两种曲线，我们还把以下几类曲线都统称为退化的椭圆曲线：

(3) 三条直线的并集（即三条一次曲线的并集），

(4)一条圆锥曲线和一条直线的并集（即一条二次曲线和一条一次曲线的并集）。

从这个泛化概念上看，我们可以把直线和圆锥曲线也看作是椭圆曲线的一个部分。因此，可以预见，圆锥曲线的很多美妙性质应该都来自于椭圆曲线。事实正是如此。

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名不副实：为什么叫“椭圆曲线”？

椭圆曲线的图形和椭圆显然没什么关系（见前面的图）那为什么我们要称之为“椭圆曲线”呢？

原来，当初人们想用微积分计算椭圆的周长（圆的周长大家都会求）。通过一定的积分技巧，最终要求出以下类型的积分：

么椭圆曲线的名字里包含“椭圆”二字。顺便说一下，上述积分是无法用初等函数的表达式计算出来的；而其本质原因和椭圆曲线的几何性质密切相关。

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海底冰山：椭圆曲线隐藏的部分

回顾一下，椭圆曲线的两个例子

从第一张图，我们可以看到椭圆曲线的图形似乎可以分离成两个不相交的分支，第二张图则只有一个分支。是否还有许多其他的类型呢？确实如此。牛顿曾经对椭圆曲线做了很细致的分类，将它们分成了数十种类型。

为什么直线和圆锥曲线只有区区几种类型，而椭圆曲线种类一下子增加很多呢？让我们先想象一个情景：在宽阔的海平面上露出一处礁石。如果海平面降低的话，礁石就会变大，可能会形成一座小山；如果海平面继续下降，本来的一座小山可能会变成许多座互不相连的小山；随着海平面下降，小山们变成了一座座小岛，有些本来不相连的岛甚至可能会连接起来。假如我们抽干所有的水，那么你会发现所有的岛其实只不过是同一块陆地的不同部分。

这样一来，你看到的椭圆曲线实图形其实只是整个椭圆曲线中的很少一部分，大部分都隐藏在实坐标平面背后。海面上的岛屿千差万别，但实际上无非是同一块陆地的不同部分。这就是我们所要的答案——有点类似于“盲人摸象”的典故。

上面的讨论告诉我们，如果仅考虑实数情形的话，我们其实损失掉了很多有用的几何信息。仅考虑实数平面图形显然是一个不必要的思维枷锁。因此我们完全可以放弃掉这一假设，即允许

便，人们仍然习惯于用实数平面的图形作为椭圆曲线的示意图——上一节的几张图都是这样。以后我们谈到椭圆曲线就默认它是在复数坐标上的。

接下去的问题就来了：这样的椭圆曲线的图形到底是什么呢？它当然不再是我们前面看到的实曲线的样子了。事实上，它是四维空间里的一个环面！所谓环面，就是指如下的救生圈：

四个变量满足两个方程，这就意味着其中有两个变量是独立的，它们可以表达出剩下的两个变量。从几何上说，这就是指椭圆曲线的图形是个曲面。

至于为什么它是环面，这可不是三言两语能说清楚的。它涉及到复变函数和拓扑学的一些简单技巧，我们这里不再详细解释了。有兴趣的读者可以参看伏•巴尔佳斯基写的一本极有趣味的科普书——《拓扑学奇趣》。

尽管扩充到复数域上的椭圆曲线是环面，但是我们仍然称呼它为“曲线”，毕竟它在实数坐标平面上的图形仍然是曲线——示意图仍以实图形为标准。我们也可以把它想象成是复数坐标下的“曲线”，即复一维图形。

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举一反三：退化的椭圆曲线是什么图形

好奇的读者可能会问：按照上面的办法，我们也能够把直线和圆锥曲线扩充到复数情形，那么它们是四维空间中的什么图形呢？答案是：它们都是球面。（作者按：它们是球面的原因来自于所谓的球极投影，以后将撰文介绍，这里不再详细解释了）

既然如此，直线和圆锥曲线岂不是一样了？事实正是如此！我们平时之所以看着它们觉得不一样，除了上面说的原因之外，还有一个原因，就是我们没有把曲线上的无穷远处的点放进曲线——射影几何中这样的无穷远点都是作为通常的点来看待的。一旦我们把这些所谓的“虚无飘渺”的无穷远处的点加进去，你就会发现它们完全是一样的。事实上，上一节的讨论中，我们也默认了这一点。

很显然，球面和环面有着本质的差别，环面中间有一个洞眼而球面却没有——这种洞眼数学上叫做亏格。因此椭圆曲线要比圆锥曲线及直线复杂得多。前面我们讲的椭圆周长积分——实际上可以看成环面上的积分。这里插一句，我们古典的数学分析实际上都是在平直的空间上（直线、平面……）建立微积分的理论。因此我们当然也可以在弯曲的空间（环面）上建立微积分。

聪明的读者一定也会想到，退化的椭圆曲线扩充到复数情形，又是什么图形呢？比如

(1) 三条直线的并集（如图）