对数学未来的思考_风闻

本文是著名数学家Avner Friedman在1998年撰写的。数千年来伟大的数学家们总是站在“不断扩展的地平线的门口”，而数学的发展也远远超越了他们的期望，因此Friedman认为去预言数学的长远未来是徒劳的。不过，他给出了一些科学中的例子，这些问题在今天依然给数学带来挑战。

撰文 | Avner Friedman

我们依然站在不断扩展的地平线的门口

让我们想象一下：Archimedes (公元前287-前212年) 这位在所有时代都是最卓越数学家之一的他正在提问：对于数学的未来，你们看到了什么？这位古代数学家刚刚计算了球的表面积与体积，或者一段抛物弓形的面积，伸了伸懒腰，坐在位于西西里东海岸他家乡叙古拉的沙滩上，凝视着天边。他感到困惑：在数学上，他或者其他任何人还能再做点别的什么？他的最大雄心之一是要计算任意几何体的体积和表面积；然而他还不知道该怎么下手。他使用的工具是纯粹几何的，基于希腊数学家们的数百年的研究，和在他出身的数十年前由Euclid编写在他的名著《原本》中的那些知识。鉴于数学工具的十分缺乏，局限了Archimedes的视野。他得不出分数相加、相乘的快捷方法。为此，人们得花上千年时间等待十进制由印度和阿拉伯传到欧洲并使其发展。十进制的引进所带来的符号简化在其力所能及的范围是革命性的。将Archimedes留在叙拉古的沙滩上，让他去思考数学的未来还有些什么吧，现在我们去造访 Issac Newton（1642-1727）爵士。

23岁时，当时刚取得剑桥大学学士学位，Newton便被迫回家度过了18个月光阴，因为那时正值大瘟疫，使大学关了门。在这短短的时间里，Newton有了许多基本的发现，数学上他发现了二项式定理及微积分的初期形式，在物理上则发现了白光的组成及万有引力定律。现在我们去会一会年事已高的Newton并问一问他那个同样对Archimedes提出的问题：什么是数学的未来？他可能会很快回应道，简单的回答是，继续建造微积分，借助于微积分，Newton可以把任何几何形状的体积和表面积用积分来表示，并能计算到任意精确度，这Archimedes是所不能想象的。Newton思考着这样的事实，即用万有引力定律和他自己的力学三基本定律（他会说“我的定律”），他能够以解微分方程的办法来算出运动物体的轨迹，而这些方程表现了力的平衡。那么，他自问道，“我们能用微分方程去描述其他的自然法则，从而能以发展解出这些方程的工具的方法来预言自然的进程吗？”但即便是Newton的视野也不可避免地有所局限。

从这时起到Gauss（1777-1885）在数论中的基本发展花去了一百年，而到发展微几何的复杂性和Riemann流形则又多花了五十年。当我们离现代越近则未来便越容易预测了，David Hilbert（1862-1943）是一位对数学的几乎每一个领域都有本质性的贡献的人。他在巴黎召开的国际数学家大会（1900）上列出一系列著名的数学问题，在这整个20世纪对各个数学领域有着极大的影响，比如在数论、集合论、几何、拓扑论及偏微分方程中。在最近的五十年中，我们亲自体察了在数学的许多领域中的巨大进展。在我所从事的偏微分方程（PED）这一领域中，我们现在有了一个巨大的知识主体，使我们能够去理解、预测并计算许多重要的物理和技术过程。例如，当我们测量一个固体的表面温度，我们就可通过解称之为“热传导方程”的偏微方程去推导出物体内部的温度，如果从外部加热一个冰块，它开始融化，我们在微分方程方面的知识使我们可以断定融化了的体积是怎样变化的，以及在融化了的体积中的水温。“梁杆方程”同样能预言当承受压缩力时一个弹性梁是如何变化的。当加在梁上的压力超过一个临界值时，它就会突然翘曲，形变为许多状态中的一种。这种情形解释了微分方程解的多重性。不管我们在微分方程方面的知识有多么丰富，仍然有许多东西我们不知道。举例来说，我们不知道气体动力方程是否有一个数学解，这个方程是用来确定飞机周围和发动机内的气流的。我们没有合适的知识来处理预测水的运动方程的解，从而我们对海洋的涡流缺乏了解，这些及其他许多的基本问题仍然期待得到数学的解答，在未来十年中它们仍是深入研究的主题。

数学的其他领域无疑也处在同样的不确定状态：虽然取得巨大进展，依然有许多基本问题没有解决。相对于早先的世纪而言我们处在一个充满冒险和刺激的地位：我们已经发展了许多重要的研究领域，已经有了许多强有力的计算和理论的工具。数学家们在未来许多年里可以继续忙于用现在的工具去寻找新方法，用来解决在数学和非数学（即科学和工程）领域中出现的问题。然而数学史表明，由现在去预言长远未来的发现是多么徒劳。的确如此，在今天难以想象的数学的新领域，会完全料想不出地冒出来。因此我不去预测下个世纪数学的未来，而在这里举出科技中三个关键领域的例子，在那里数学是以诚相待非常重要的成份出现的。这三个领域是材料科学、生命科学和数码技术。

材料科学中的数学

材料科学所关心的是性质和使用。目的是合成及制造新材料，了解并预言材料的性质以及在一定时间段内控制和改进这些性质。不久以前，材料科学还主要是在冶金、制陶和塑料业中的经验性研讨，今天却是个大大增长的知识主体，它基于物理科学、工程及数学。所有材料的性质最终取决于它们的原子及其组合成的分子结构。例如，聚合体是由简单分子组合成的物质，而这些分子是些重复的结构单元，称之为单体。单个的聚合体分子可以由数百至百万个单体构成并具有一个线性的、分枝或者网络的结构。聚合体的材料可以是液态也可以是固态，其性质取决于加工它的方式（譬如，先加热，逐渐冷却，高压）。聚合体的交错缠绕的排列提出了一个困难的建模问题。但是，在一些领域中数学模型已经表现得相当可靠，这些模型非常复杂，故而迄今只取得很少几个结果，它们对聚合体加工可能有用，聚合体的较简单但却更表象的模型是基于连续介质力学，但附加了要记忆的一些条件。对材料科学家来说，解的稳定性与奇点是重要的结果，但甚至对于这些较简单的模型仍缺少数学。

复合材料的研究是另一个运用数学研究的领域，如果我们在一种材料颗粒中搀入另一种材料，得到一种复合材料而其显示的性质可能根本不同于组成它的那些材料，例如汽车公司将铝与硅碳粒子相混合以得到重量轻的钢的替代物。带有磁性粒子的气流能提高汽车的制动气流和防撞装置的效果。最近十年来，数学家们在泛函分析，PDE及数值分析中发展了新的工具，使他们能够估计或计算混合物的有效性质。但是新复合物的数目不断增长，同时新的材料也不断被开发出来，迄今所取得的数学成就只能看作一个相当不错的开始。甚至对已经研究了好些年的标准材料仍面临着大量的数学挑战。例如，当一个均匀的弹性体在承受高压时会破裂。破裂是从何处又是怎样开始的，它们是怎样扩展的，何时它们分裂成许多裂片，这些都是有待研究的问题。

生物学中的数学

在生物学和医药科学中也出现了数学模型。炒得很热的基因方案的一些重要方面需要统计、模型识别以及大范围优化法。虽不太热却是长期挑战的是生物学其他领域中的进展，比如在生理学方面，拿肾脏作个例子吧，肾的功能是以保持危险物质（如盐）浓度的理想水平来规范血液的组成。如果一个人摄入了过多的盐，肾就必须排出盐浓度高于血液中所含浓度的尿液。在肾的四周上有上百万个小管，称作肾单位，负有从血液中吸收盐份转入肾中的职责，他们是通过与血管接触的一种传输过程来完成的，在这个过程中渗透压力过滤起了作用。生物学家已把这过程涉及到的物质与人体组织视为一体了，但过程的精确过程却还只是勉强弄明白了。肾脏的运作过程的一个初级数学模型，虽然简单，却已经帮助说明了尿的形成以及肾脏做出的抉择，比如是排出一大泡稀释的尿还是一小泡浓缩的尿。然而我们仅仅是在了解这种机理的非常初级的阶段。一个更加完全的模型可能会包含PDE、随机方程、流体力学、弹性力学、滤波论及控制论，或许还有一些我们尚不具备的工具。心脏力学、钙（骨）力学、听觉过程、细胞的附着与游离（对生物过程是非常重要的，如发炎与伤口愈合）以及生物流体（biofluids）是生理学中其他一些学科，在那里现代数学研究已经取得了一些成就；更多的成就会随后而至。数学将要取得重要进展的其他领域，包括有一般性的生长过程和特殊的胚胎学、细胞染色、免疫学、反复出现的传染病，还有环保项目如植物中的大范围现象及动物群体性的建模。当然我们决不能忘记还有人类的大脑，自然界最棒的计算机，还有它所具有的感觉神经元、动作神经元以及感情和梦想！

多媒体中的数学

大约五十年前建成了第一台计算机，从而开始了一场可从表面上看1760年到1840年发生在英国的产业革命相匹比的计算机革命。我们现在亲自证实了这场计算机革命的完全冲击：在商业、制造业、保健机构及工程业，与计算和通讯技术的进步相配的是数字信息的萌芽状态，它已为多媒体铺出了一条路，其产品包括了文字图像、电影、录像、音乐、照像、绘画、卡通、数据、游戏及多媒体软件，所有这些都由一个单独站址发送。多媒体的数学包括了一个大范围的研究领域，它包含有计算机可视化、图像处理、语音识别及语言理解、计算机辅助设计和新型网络。这些会有广泛的应用，应用于制造业、商业、银行业、医疗诊断、信息及可视化，还有娱乐业，这只点出了几个而已。

多媒体中的数学工具可能包括随机过程、Marko场、统计模型、决策论、PDE、数值分析、图论、图表算法、图象分析及小波等。还有其他一些领域中的一些，目前似乎还处在某种程度的监护下，如人造生命和虚拟世界。计算机辅助设计正在成为许多工业部门的强大工具：完全在计算机上设计，在键盘上一敲后产品便在远处的工厂里实现了。这种技术能成为数学家进行研究的工具吗？万维网已经成为多媒体最强劲的动力。它未来的辉煌取决于许多新的数学思想和算法的发展，目前仍处在孩提时期。随着多媒体技术的扩展，对于保护私人数据的通讯文本的需要也与日俱增。发展一个更加安全的密码系统就是数学家们的任务了。为此，他们必定要借助于在数论、离散数学、代数几何及动力系统方面的新进展，当然还有其他一些领域。在物质的与生命的科学和在技术的发展中，数学继续起着与日俱增的重要作用。正如Archimedes站在叙拉古的海滩上一样，这里我们正站在一个新世纪和一个新千年的门槛上。我们只能推测，新的理论最终会解决一切向数学挑战的问题，无论它是来自我们生活的世界还是来自数学本身。在过去的几个世纪里我们获得了惊人的大量知识，但正如Archimedes和Newton一样，我们依然在不断扩展的数学地平线的门口。

作者简介

Avner Friedman，美国Ohio State University 讲座教授、美国科学院院士、国家艺术与科学学院院士。

本文转载自微信公众号“数学大院”，载于《数学通报》（1999年）。

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