他们或许忘光了公式，却最懂怎样学数学（下）_风闻

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

导师李天岩的“治学之道”

李天岩教授是个传奇人物，极具个性。他于七十五岁不幸病逝后，第二年我由上海科技教育出版社出版了回忆录《走出混沌：我与李天岩的数学情缘》，其中有一章谈了他的“治学之道”。他对讨论班的报告要求极高，不希望只讲什么定理证明的逻辑推理，或“莫名其妙的ε-δ语言”，他想听到的是那些条件和结论背后的基本思想。如果你只想背书式地展示某命题对所有自然数n都成立的证明，那你就错了。他想看到的是，你对n等于3时的具体推演。对任意n都成立的论证步骤，也许你能倒背如流，却不会应付更简单的n=3特殊情形，因为你没有真懂这个定理，还仅仅停留在背诵证明的阶段。这样的学生其实大有人在。李教授告诉过我们，一位研究生在博士资格口试时要求将“证明两个紧集的乘积是紧集”的问题改为“任意个紧集的乘积为紧集”，因她早就将后者这个著名的吉洪诺夫定理的证明背得滚瓜烂熟。

还没参加讨论班前，进校仅三周，我就领教了李教授对学术报告的严格要求。那天，他将一篇厚厚的文章递给我，说“我还不知你的水平到底在哪条线上，三个礼拜后你向我报告它的内容。”他在给我一个非官方的“博士资格考”！文章作者的博士导师是大名鼎鼎的斯梅尔（Stephen Smale，1930-），毕业后成了康内尔大学的年轻教授，在学术界已崭露头角。七十多页的这篇长文，用到积分几何研究线性规划一类算法的计算复杂性，而对这个领域我是门外汉。但是，尽管我每天忙于修课旁听，还要对付时差的进攻，我不能知难而退，而是应以实际行动，不辜负老师的期望！我从系图书馆借了西班牙数学家桑塔洛（Luis A. Santaló，1911-2001）关于积分几何的经典大著。多年来不断提升的自学能力，让我很快了解到这门学科的基本概念，并被以概率观点研究几何之美倾倒。任何人只要听说在画有两条直线的平面上，随机投掷细针大量次数，则可以用概率方法估计圆周率的值，就会对积分几何的先驱之一、法国植物学家和作家布丰（Georges de Buffon，1707-1788）古稀之年的天才创造啧啧称奇。

当我站在李教授办公室的黑板前准备大显身手之时，只见他坐在椅子上，双脚放在办公桌上（这并不显示他傲慢无礼，而是在美国司空见惯的现象），嘴里突然吐出令我惊讶的一句话：“你要把我当成笨蛋，我什么也不懂。”堂堂大教授，什么也不懂？一霎那，我全明白了，他是在考察我讲课的本领、演讲的效果，是否真能让“笨蛋”也能听懂“高深的数学”。我知道我的短处和长处，短处是普通话发音较差，家乡口音颇重，这是我少年十四岁开始谋生，与只说家乡方言的工人师傅为伍数年后才进大学的结果。但我希望能“取长补短”。这个小小的长处就是：只要是已经真正弄懂的东西，我基本上能讲得让普通人也能听懂。歇后语“茶壶里的饺子——肚子里有货，嘴上倒不出”，可能难以用到我的身上。这部分是源自先天的父母教书基因，部分是受到后天的南大教学训练。

第一次报告完毕，李教授未置一词。他很少当面表扬人，但我清楚得很，我把这个“笨蛋”讲懂了。第二周我更胸有成竹，讲完后，他说“你回去给我写个报告吧。”我舒了一口气，终于通过了他独特的“资格考”。后来才知道，该文是投给期刊《数学规划》（Mathematical Programming）的稿子，编辑部送到李教授手里审阅。他就想出这个鬼点子，一石二鸟，既能看看我的数学功夫和演讲能力，又给我机会练习写审稿报告。当然，他自己也节省了审稿时间，何乐而不为呢？这是我学术生涯中的第一次审稿，虽然是非官方性的，因为我还是博士生，但对我却意味深长。

1986年夏，李教授办了一个讨论班，讨论麻省理工学院教授斯特朗（Gilbert Strang，1934-）的新书《应用数学导论》（Introduction to Applied Mathematics）。尽管我那个夏天因为还未考过博士预备考（连资格考还没过呢），系里不给资助，但我没想去校外打工，因为过去半年拿的教学助理薪水所剩尚够这三个月开销，便理所当然参加了。李教授的两个博士生——来自韩国的李弘九（Noah Rhee）和北京的张红，加上颜教授的一个弟子等也参加了。每个学生必须报告一章内容，因我硕士专业为最优化理论，故让我报告关于数学规划的那一章。

这是我在美国所做的第一次讨论班报告。尽管有过南大讨论班的训练，我还是把它当成一生中首次作学术报告来准备。这的确是我的第一次英文讨论班报告。我精读了斯特朗教授书的那章内容，梳理了几年来对这门学科的心得体会，决定用自己的语言，几何化地介绍最优化理论的基本想法。当我成竹在胸地上场报告前，李教授和我打了招呼，抱歉因有事要提前十分钟离场。那天我根本没按作者采用的标准方法证明等式约束最优化中的拉格朗日乘子法则，而是采用了多元微积分中方向导数的概念，一下子就直观地推导出。我的英文口语表达能力肯定还停留在起步阶段，但我自信的神态流露出的是对这个法则比较透切的理解——这归功于在南大读最优化专业研究生时打下的基本功和认真的演讲准备。我从听众的面部表情中确信他们真的听懂了。演讲者最觉得意的事，莫过于感受到观众的共鸣！突然，我看到李教授站起来了，因为他要走了，但是他的嘴里先吐出了几个我永远记得的词，而且是中文词：“讲得不错，马列主义学得好！”

几天后，系里年纪与李教授相仿因而彼此常常聊天的博士生王铎告诉我，李教授跟他讲“丁玖有思想”。这五字评语虽然属于过奖之言，但让我高兴，因为我在未来博士论文导师的眼里基本过了关。中国的传统教育太多强调“有知识”，故催生了一句令人羡慕的成语“学富五车”。但是在西人眼里，“有思想”的学者，才是有创造力的学者。

“忘光公式”

王铎文革前考入大学，我进南大不久他考上了北大的研究生，毕业后来到这里访问李教授的师兄周修义（1943-2023）教授，后转为其门下的博士研究生。周教授是来自新加坡的华人，大学毕业后，没有像李教授那样要当兵一年，就直奔美国，1970年在约克教授的手中拿到博士学位。虽然他较师弟年长两岁，看上去却十分年轻，精巧的面庞、炯炯的目光，一看就知道是个能干之人，可以在任何领域有所建树。我第一次见到他时聊了会儿。我用中文提到中国某著名大学的一位数学教授在某个专业领域有个强大的理论团队，且其某个理论研究在国内独树一帜时，他却用英文回答我：“Not many people do that！（没多少人干那玩意儿！）”，意思是说这个研究题目太老了，一下子就把我镇住了，顿时对他格外尊敬。

虽然我在大学阶段读过的课外数学书，数目上可能不少于课内教科书，但国内研究生的培养机制，限制我们选修其他领域的课程。来到美国，我基本只修国内未系统学过的那些科目。第二年，我一见周教授要开一学年的《常微分方程与动力系统》研究生课程，就毫不犹豫地注册修课。周教授那时才四十余岁，手上有几个研究基金，在系里薪水最高，正处于研究生涯的高产期。他和布朗大学的黑尔（Jack K. Hale，1928-2009）教授于八十年代初出版的合著《分支方法理论》（Theory of Bifurcation Method），是这个领域的主要参考书之一。他与颜教授或阿克斯拉教授的教课风格迥异，各有千秋。颜教授教书像潺潺流水，滋润心田，但难见波澜壮阔之举；阿克斯拉教授的课堂证明思路清晰，逻辑性强，滴水不漏；周教授的讲台表演则是天马行空，随心所欲，从大处着想而不拘小节，极具研究风味。在推演过程中他常让我们帮忙，因为他忘记了下一步该用到的三角函数恒等式。这就从某一方面佐证了前述的王永成老师所坦诚的“忘光公式”，确有知音。记不得又有什么关系呢？我们学生最需要的只是思想，而周教授向我们传授了做研究的思想！

当相对论在全世界响彻云霄之时，曾有一名无知无畏的青年，想考一下伟大的爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955），问他声音在水中的传播速度是多少。爱因斯坦不慌不忙地回答道：先生，我记不得了，但是您可以从任何一本物理教科书上查到。我有次在回国飞机上，与邻座一位美国人闲聊中国教育。这位北卡罗莱纳大学教堂山校区历史系的毕业生，常年来广东指导出口家具生产。他告诉我，中国工程师在技术上非常听话，按部就班地遵循国外的设计方案，鲜有别出心裁的另辟蹊径之举。在谈到中国学生中普遍存在的创新不足现象时，他引述了他曾在北京教物理的一位同胞所说的俏皮话：如果老师在课堂上教等式2+3=5，美国学生会问为什么2 + 3不等于4或6，而中国学生则默默地将公式记在心里。不会思考或不想思考，是中国几千年填鸭式教育的后果之一。

中国的教育太重视记忆术了，把学生大脑的存储功能，挖掘到极致，但对大脑的最重要功能——思维——却不闻不问。因而这种记忆力，与理解力不能相辅相成，并驾齐驱。学校里到处鼓励的囫囵吞枣式的机械性记忆，一言以蔽之，就是死记硬背。动物也是有记忆力的，家养的犬对熟人摇尾，对生人狂吠，信鸽可以飞回千里之外的家。但是人和动物的区别就是，人可以思维，因此人可以被定义为“会思维的动物”。人会改造自然、改变世界，而动物则不能，就是归功于人的思维特性，而不是记忆特性。否则我们的宠物狗和猫，也能统治世界了。可惜，我们目前大行其道的应试教育，只能驱使我们的学生，成为仅会背公式的不爱思考者。美国伟大的物理学家费曼（Richard Feynman，1918-1988）有个好父亲。他从小就告诉儿子，仅仅知道事物的名称而对事物的本质一无所知，等于什么也不知。他举例说，有一只鸟，在不同的语言里，有不同的叫法。即便你背得了一百个叫法，却不知道该鸟的习性，你对那只鸟还是一窍不通。这对我们“知其然而不知其所以然”的教育法，确实也是极妙的比喻。

上他的课，没有人会打盹

如果说阿克斯拉教授的课程成绩不依据考试，只看平时作业，加上他的独特打分标准有点与众不同，周教授给注册他课学生的科目最终评分，那次所用的简单方法，更是出人意料。我事后听说，交了课堂作业的，基本都拿A，没交的也得B。也就是说一个婴儿，只要能注册此课，就能拿到B，因为婴儿当然是不会做作业的。姑且不论这种评分方式是否合理或太松，学生们却从这门课中，至少观赏到做研究的艺术。部分人甚至可从这里起步，奔向热门研究前沿阵地。真正做研究的教授往往在分数面前对学生特别宽宏大量。而有些早已在研究阵地上丢枪弃甲的教授，视分数为保持他们教授权威的最后一张招牌，不肯轻易放松，学生平均分数89.9时，也只能得到倒霉的B而与A无缘。

当然，最让我啧啧称奇的讲课风格，还是非李天岩教授莫属。在1987-88学年，他被日本京都大学数理解析研究所请去当了一年的讲座教授，据说薪水是日本大学正教授的一倍半。这个研究所共有十个讲座教授，其中九个是永久性职位，属于国内学者，只有一个讲座才向国外聘请。李教授在那里给京都大学数学系做了一系列的演讲：[0, 1]上的遍历理论。这一年里，我们几个他从祖国大陆招来的弟子，平时见不到导师表面上威严的面孔，像见不到猫的老鼠似的，活得自由自在，天天活蹦活跳，但每个人都很自觉，普遍用功。我已经通过了博士资格考和预备考各两门，以及两种第二外语的考试。在继续修课的同时，我开始阅读别人发表的最新论文，着手思考问题，撰写了我来美后的第一篇学术文章。当远在东方的李教授收到我的文章初稿后，给我回信时，不仅给予了学术建议，而且还大大褒扬了我做研究自己找问题动手干的主观能动性。

1988年秋季学期，刚从东瀛访问归来的李天岩教授，决定开一学年的遍历理论课，所讲材料主要是基于他在日本简单整理的演讲稿，目的是想经过课堂正式讲授，为以后可能写书做准备。这是我第一次正式注册他的课。课程叫《高等应用数学选讲》，注册者除了他几乎所有的中国博士生外，还有一对美国博士后夫妇，这迫使他不得不用英文授课。杰出实验物理学家丁肇中（1936-），为了提高来自国内访问学者的英文水平，平时故意不与他们讲中文。但李教授却恰恰相反，只要没有洋人在场，总是满嘴中文，甚至在大多是美国学生的课堂上，也偶尔耍点中文的小把戏。有一次，他对注册他课的几个中国弟子的作业表现不甚满意，那天一进教室，就直奔黑板，写下四个汉语大字：“眼高手低”，笑坏了不知其意的美国人，羞怯了只比他小了十岁左右的徒弟们。

写过皇皇巨著《古今数学思想》的美国应用数学家兼数学史家克莱因（Morris Kline，1908-1992），关于课堂教学，对教师曾给出如下的谆谆告诫：

“我想力劝每位老师成为演员。他必须借助戏剧的每一种道具使他的授课技巧彰显出生机与活力。他有必要在适当的时候运用戏剧效果，在讲述事实的同时展现激情。不寻常的怪异举动能够激发人们的兴趣，挥洒自如的幽默能够极大地活跃课堂，即便这与授课内容貌似无关。”

坐在李天岩教授的课堂里，你大概对克莱因的话更能体会，因为他就是诠释这段话的范本。上他的课，满脑子瞌睡虫的人也不会打盹。如果我来美的第一个学季就修他的课，那我的时差困扰也不会拖得那么久。他绝不是那种照本宣科的老学究，也不是叙述证明按部就班的标准师，更不是语速、频率、振幅几乎不随时间变化的教书匠。他讲课时面部表情多变，肢体语言夸张，吐出数学新概念前，总以生动例子鸣锣开道，好让我们从容不迫地登堂入室。抑扬顿挫的语气，有时像潺潺流水，有时如惊涛骇浪，有时则仿佛美国黑人民权领袖马丁·路德·金（Martin Luther King，1929-1968）在著名演讲中重复句子“I have a dream !（我有一个梦想！）”那样，连续强调同一个数学术语，声音的分贝越来越大，把我们的激情也完全调动起来了。

第二个学季，那一对美国夫妇没有再来旁听，这样每节课教室里，荡漾的全是标准的台湾国语声，李教授上课时的动感语言更加丰富多彩了，我们听得也更起劲了。本来，我们对遍历理论的基本概念几乎一无所知，但这一学年，我们跟随他浸润于集纯数学几个学科于一体的理论大海，“遍历”畅快地吸收着令人神往的新养料。至于我，就像“混沌”所揭示的“蝴蝶效应”那样，我根本没有预测到这门课居然成就了自己的博士论文。

而这篇学位论文该做什么，也是导师与我事先都“始料未及”的。下次写出这前后过程，或许会给因硕士、博士论文选题而烦恼的年轻学子提供一点“经验之谈”。

注：

本文基于2016年由商务印书馆出版的《亲历美国教育：三十年的体验与思考》第四章《读书日子》修改而成。

本文受科普中国·星空计划项目扶持

出品：中国科协科普部

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