他们或许忘光了公式，却最懂怎样学数学（上）_风闻

怎样学数学？对此，美国南密西西比大学数学系教授丁玖有独到看法。他从教逾33年，回忆起自己当年在密歇根州立大学数学系受教的点滴，他很有体会感想。在念书的四年半中，他修过、旁听过的各门课老师，各有授课特色与个人风格。这里应有尽有的课程设置和多多益善的讨论班，成了他取之不尽的知识源泉。

他认为，中国的教育太重视记忆术了，把学生大脑的存储功能，挖掘到极致，但对大脑的最重要功能——思维——却不闻不问。不会思考或不想思考，是中国几千年填鸭式教育的后果之一。

撰文 | 丁玖（美国南密西西比大学数学系教授）

1986年元旦，对我颇有纪念意义。那天中午，我从上海飞往美国读博，在旧金山进关并住宿一夜，第二天清晨飞去密歇根州立大学。所以那天我在中美两国各度了“半个元旦”。

1990年夏，我在李天岩（1945-2020）教授门下获得应用数学博士学位，随即受聘南密西西比大学数学系，迄今教书三十三年半。回忆起当年受教的点滴，很有体会感想。

考试历史中的一个污点

我就读数学系的研究生事务主任普拉金（Jacob Plotkin，1941-）教授，对那时中国研究生的强项劣势了然于胸。在我报到的第一天，他就规劝我：数学不要慌，英文先大抓。虽然我听从了他的建议，修了英语听力与写作两门课，但除了正式注册颜宪尧（David H. Yen，1934-2011） 教授的一门数学课外，我还旁听了几门研究生课。其中两门是博士生两大过关考试之一——博士资格考的课程，目的是一箭双雕：既能帮助提高英文听力水平，又能复习巩固资格考的数学内容。颜教授是系里指派给我的学术顾问，如果我需要修课方面的指导，就可以找他请教。

博士资格考基于的这两门一学年课，所覆盖的内容——分析与代数——我在南京大学数学系读本科时基本学过，但时隔多年未再复习，不重温一下是不行的。事实上，我到达学校的1月2日晚上，一直对我帮助很大的博士生沈韻秋就告诉我，系里当天已经考过上半年的资格考第一门，第二天继续考第二门。他建议我去试一下，反正按规定，刚进校就参加资格考通不过，不算失败。于是我在翌日上午，昏昏沉沉地就去碰运气了，但是却碰上了难题，因为我的记忆库经多年失修而漏掉许多公式，结果没考过。尽管这个大胆的仓促应试，没给未来的博士论文导师李天岩教授留下不佳印象（但他常说资格考仅用来“考美国笨蛋的”），我实在是惭愧不已，因为这是自己的考试历史中一个刷不掉的污点。我听说在秋学季开学前，有两个四川大学的年轻硕士前来攻博。他们向系里要来过去几年资格考的卷子看了看，准备了十来天，就通过了9月初的这两门考试。而4个月后冬学季刚开始，他们又通过了更难的两门“博士预备考”。如此的神速让我自叹弗如。这两位成都数学才子——吕克宁和郑德超——做学问的精神与做人的方式都一直为我所敬重，几十年来他们已成为各自研究领域中的佼佼者。

但是，我对自己的实力是有自信心的。回想起刚进南大时，看到早一个月入学的同学，好像都是“拼命三郎”，个个似乎“武林高手”。不少人超前学习，仿佛什么都懂，吓得我一周下来瘦了一圈，让来南京出差顺便看我的家兄大吃一惊。但是不久我就发现，只要我能真正搞懂关键数学概念，循序渐进，学习上就会立于不败之地。多年中逐步养成的自学能力，这时派上了用场，很快就在同批录取的学友中脱颖而出。我至今清晰地记得，第一学期教我们《空间解析几何》课的王永成（1939-）老师对我们说的话：“我大学毕业时几乎忘光了所有公式，但我却学会了怎样学数学。”的确，掌握学习方法，远比牢记所学内容更为重要，这和成语“授之以鱼，不如授之以渔”所蕴含的道理一样。后去上海交大任教的王老师成了一位在汉语排版方面颇有建树的计算机专家，大概和他学会了“怎样学数学”不无关系吧。他早年“忘光公式”的读书经历，验证了日本菲尔兹奖得主广中平佑（Hironaka Heisuke，1931-）所说的名言：“学习的目的在于掌握智慧。”

我又像当年进南大一样地埋头读书了。尽管时差困扰了我好几个月——白天进了教室就想睡觉，半夜三更时却精神十足。一个学季后，我就通过了密歇根英文考试，不必再修听力与写作课了。我入学前因托福听力考分未达标而导致的“条件录取”，也因此升为名正言顺的“正规录取”。从春学季起，我的主要精力用在了数学上。我不仅注册了要交学费的研究生课程，而且还旁听了其他的数学课，它们中的一些与我当时设想的未来研究方向没有直接关系，但我比较喜欢涉及不同领域，尽量拓广知识。就像在南大时，学习再忙也坚持阅读人文书刊，在这里我像海绵一样地吸收纯粹数学的营养。为了尽快通过博士资格考，我继续旁听这两门基础课。其中具有欧洲绅士风度的拉彭（Peter A. Lappen）教授讲授实分析时不苟言笑，一进教室就上黑板，板书龙飞凤舞，他大概是我这辈子见到过的写得最快的人。当年9月初，我就顺利通过博士资格考，第二年一月，又考完了两门博士预备考，从日记中看至少有一门考了第一。

多多益善的讨论班

密歇根州立大学数学系应有尽有的课程设置和多多益善的讨论班，成了我取之不尽的知识源泉。系里还拥有一个藏书丰富、装饰典雅的图书馆。当我报到的第一天，从研究生事务主任的秘书手中，接过除了助教办公室及大楼以外的系图书馆钥匙，我差点惊呆了，竟然如此相信刚来念书的外国研究生，不怕书被偷了？回想起母校南京大学图书馆曾经相信过学生，为了方便他们起见，实施开架借书，结果几个月下来，许多书就不翼而飞了，因为部分读书人坚信鲁迅为小说《孔乙己》的主人公创造的名言“窃书不能算偷”。可是在这里读书的那几年，我从未听说系图书馆的“监守自盗”。每个人充分享受使用图书馆的便利，尤其是在静谧的夜间，坐在舒适的单人沙发上，沉浸在数学思维的海洋里，感觉真是美妙至极。

在念书的四年半中，我修过、旁听过的各门课老师，各有授课特色与个人风格。我修第一门数学课的老师颜宪尧教授，原籍山东，是孔夫子得意门生颜回的直系后代。他在纽约大学柯朗数学科学研究所获得博士学位。大数学家希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）的学生和同事柯朗（Richard Courant，1888-1972），逃离纳粹德国后，以祖国哥廷根大学曾经辉煌的数学风格建立的这个研究所，其应用数学在美国是龙头老大。颜教授比李教授年长十一岁，彼此是亲密无间的同事。我修此课是李教授建议的，尽管这门《偏微分方程数值解》的基本内容，我早在大三时学过。颜教授精通力学和微分方程，讲课风格如同他的处世为人，稳重厚实、逻辑严谨；说话语气是从容不迫、四平八稳；板书则是小巧灵秀，与他高大的身材形成有趣对照。我从他那里学到了做学问的严密和做人的平和。

我也从其他教授的课堂中学到了有用的知识，同时目睹了他们的讲课特征，并能熏陶于独特的教书艺术。1988-89学年，我注册了阿克斯拉（Sheldon Axler，1949-）教授的《高等泛函分析》。阿克斯拉教授具有典型的美国人风格，性格开朗，崇尚自由。他本科毕业于普林斯顿大学，是美国数学界中广受尊敬的匈牙利裔数学家、数学写作与演讲大师哈尔莫斯（Paul Halmos，1916-2006）的徒孙，论文导师为加州大学伯克利校区的萨拉森（Donald E. Sarason）教授。与其师爷一样，他也善于教书，清晰的解释、流利的板书与优美的英文相得益彰。我从本科起，就喜欢泛函分析，毕业前差点去考该学科的研究生。故决定通过阿克斯拉教授的课“更上一层楼”。泛函分析的概念对于计算数学家的功能，相当于高等微积分对于工程师的效用。这门课没有教科书，只指定了两本参考书籍——卢丁（Walters Rudin，1921-2010）的Functional Analysis（《泛函分析》）和约翰康威（John B. Conway，1939-）的A Course in Functional Analysis（《泛函分析教程》）。连上三个学季，却没有一次考试，全按布置作业的总分数计算学期成绩。让人叫绝的是教授的评分标准：布置的习题，做对了得10分，不做得0分，但如做错了，则得负5分。这就让修课的学生紧张起来，不敢做错题。因为不考试，可以想象部分习题有相当的难度。大部分修课者，是那些将来要从事分析、方程或几何、拓扑方面研究的纯数学博士生，其中至少两人就是教授本人的弟子。但他们也害怕得负分，经常互相讨论，不敢轻举妄动，贸然交题。班上有一位是刚通过国内某个留学基金考来的名校毕业生，计划跟随系里的名教授读博士，几年后却投奔了东海岸更有名大学的更有名教授拿到学位，后来成为某个研究型大学的教授，兼任母校特聘教授。当时他毕竟只有本科文凭，对这门难课信心不太足，不时来问我题目。有次作业发下来，某道题他拿到10分，我却被倒扣了5分，因为我的解题证明太精炼，而被认定不对。而他却因和我讨论，才会做该题，但写得较为详细。当然，我课后向阿克斯拉教授解释了我的正确答案。仔细考虑后，教授同意把分数从负5分上调为正10分，但不希望今后再看到我作业中的“马马虎虎”，从此我记住了他用的这个我第一次见到的英文名词sloppiness。阿克斯拉教授确是讲课高手，以至于我和其他人，提名了他竞争系里的教学奖，他当之无愧地拿到了。后来我申请大学教职时，他热情地给我写了一封推荐信，不吝笔墨地夸奖了我在他这门别具风味一学年课上的“表现”。

但是，真正让我折服，并对我后来的研究和教学生涯影响最大的教授，就是我投奔他而来的李天岩先生。1985年6月初，当他第一次访问祖国大陆时，和他已在通信中认识的我，专程飞去中山大学听他一周讲座，目睹了他手舞足蹈的课堂表演，也第一次听到那篇他与博士导师约克（James Yorke，1941-）合写的著名论文Period Three Implies Chaos，这题目被他妙译为“周期三则乱七八糟”。那一周，我在他讲座中学到的数学思想，可能比我在整个读硕士阶段获得的还要多。这种感觉对那些按部就班学习的人来说可能以为是夸大其词。其实只要读一读普林斯顿高等研究院戴森（Freeman Dyson，1923-2020）教授写过的东西，就会知道这种感觉的强烈。三十岁被奥本海默（J. Robert Oppenheimer，1904-1967）院长挖去当正教授的戴森回忆道，他在芝加哥大学与伟大的物理学家费米 （Enrico Fermi，1901-1954）谈论自己以为可行的一项物理计算时，对方的二十分钟评述，让他全然相信中国成语“听君一席话，胜读十年书”。

我在南京大学数学系何旭初（1921-1990）教授门下读硕士学位时，从第一个学期起，导师就让我们弟子举办讨论班。他也亲自参加，不时发表有启发性的真知灼见。他不光引导我们尽快在研究领域登堂入室，而且培养独立思考习惯，提高数学演讲能力。记得我报告斯坦福大学工程-经济系统系伦伯格（David G. Luenberger，1937-）教授所著的教科书《线性与非线性规划引论》（Introduction to Linear and Nonlinear Programming）中关于线性规划对偶理论的那一节前，本着“数学是一个有机整体”的基本观点，我以泛函分析中的对偶概念作为引子，用类比法将对偶思想贯彻到线性规划之中。这场我一生中的首次报告，得到大家的好评，平时不苟言笑的何先生也微笑起来。我本科在南大打下了比较坚实的分析基础，硕士研究生阶段，又有幸得到讨论班的训练。加上在读研第一年，教我们专业基础课《非线性方程组迭代解》的沈祖和教授，在授课一学期后让我们学生主讲所用英文教材的下半部分，这更强化了我们自学及讲课的能力。来美后，我信心十足地成为李教授讨论班中的一员。

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