广义对称性：联结高能理论、凝聚态理论与数学的新概念（上）_风闻

在理论物理学的最前沿，正在发生着一场“广义对称性”的概念革命，新的对称性思想正在不断涌现。重要的是，这些概念被广泛应用于高能理论、凝聚态理论与数学等领域中，让这些不同方向的学者因为对称性这一核心概念而联系在一起。本文将简要介绍一些新颖的对称性概念，包括高形式对称性、范畴对称性，以及在弦论、全息原理等方面的应用。

撰文 | 王一男（北京大学物理学院研究员）

理论物理学的目标是建立物质相互作用的理论体系、解释自然现象背后的本质规律。为了将理论化繁为简，一个至关重要的指导思想是寻找物理体系中的对称性。对称性不仅能限制物理理论的形式，还能引出守恒量的概念，可帮助我们理解物理体系的演变过程。

近年来，理论物理领域正在发生着一场“广义对称性”[1-4]的概念革命。来自高能物理、凝聚态物理与数学等不同领域的学者们会聚一堂，提出各种新颖的对称性概念，并在物理体系中的寻找它们的痕迹。本文试图引领读者了解这个充满活力的数学物理领域，一窥其背后的思想与魅力。

对称性与守恒量

无论是在宏观的日常生活中，还是微观的物理体系中，对称性都无处不在。从美学的角度来看，对称性是美的极大体现。甚至可以说，对称性的美学追求深深刻在了人类基因中。

著名数学家艾米·诺特（Emmy Noether）提出了关于对称性的基本定理——诺特定理。她指出：每一种连续对称性都能引出一个守恒量。常见的例子有：

(1) 空间平移对称性——动量守恒；

在具有空间平移对称性的系统里，体系的总动量不随着空间平移而变化。

(2) 时间平移对称性——能量守恒；

想象一下，在房顶上放置了一个铁球。在具有时间平移对称性的系统中，铁球的重力势能并不会随着时间的推移而变化。不论是今天还是明天将其推下，铁球着地的速度都是相同的。

(3) 空间旋转对称性——角动量守恒；

花样滑冰为角动量守恒提供了一个生动的例子。因为角动量等于转动角速度乘以转动惯量，选手缩起手臂时，转动惯量减小，从而使转速加快（此处忽略摩擦等耗散现象）。

也许你会思考：那我们熟知的电荷守恒，又对应着什么样的对称性呢？

局域场与规范对称性

让我们回到19世纪，当时物理学家使用了一个重要的新概念——“场”以描述电磁现象，它对人类哲学也产生了冲击，因为这是一种无形且无处不在的物质。最终麦克斯韦总结了后以他命名的方程组，为经典电磁学奠定了理论基础（此处“经典”是与量子对立的概念）。

经典电磁理论的一个重要推论是电磁波的存在，例如可见光、微波等。电磁波在真空中的传播速度是恒定的，即光速。在经典电磁场理论中，所有相互作用都是局域的。也就是说，物质只能影响其附近的事物，而电磁相互作用的传播速度不能超过光速。这一特性启发了爱因斯坦在20世纪初建立狭义相对论，将三维空间与一维时间统一为有机的整体——四维时空。

狭义相对论可以自然地描述电磁场的动力学（即“电动力学”）。在其现代版本中，基本的物理对象包括由电磁四维矢量描述的场A，以及描述带电粒子的局域物质场Φ。这样的理论具有“规范对称性”（或“局域对称性”），即拉格朗日量在变换Φ→exp(iλ)Φ，A→A+dλ下不变，这里“规范参数”λ是依赖于时空坐标的函数。因此，四维矢量A也被称为规范场。

在理论物理中，人们通常不将这种规范对称性视为“真正”的对称性，因为它意味着理论中存在一些冗余的自由度。实际处理中，需要选择特定的λ进行“规范固定”，以得到真实的物理自由度。

与此相反，诺特定理中的对称性要求λ与时空坐标无关，即对应于 “全局对称性”（global symmetry）。本文中提到的“对称性”默认都指的是全局对称性。

回到之前的问题：电荷守恒是由什么连续对称性得到的呢？

答案是：全局规范对称性！电荷是令规范参数λ与时空坐标无关后，应用诺特定理推出的守恒量。

对称性背后的数学——群

群是由19世纪数学天才伽罗瓦（Évariste Galois）、阿贝尔（Niels Henrik Abel）等人提出的代数结构，它作为描述对称性的基本数学框架，具有高度的美感。

简而言之，群是一个集合，一种被额外赋予的代数结构，即元素之间的群运算a·b（也可称为群乘法、群加法）。群运算需要满足

(1) 结合律a·(b·c)=(a·b)·c；

(2) 可逆性，即群中有唯一的单位元e，使得对任何元素a，存在它的逆元素a^（-1），a·a^（-1）= a^（-1）·a=e。

此定义比较抽象，但从对称性变换的角度来理解就显得非常自然。一个群的元素对应某种对称性变换，群乘法则表示两次接替的变换，而单位元对应于不变换，逆元对应于逆变换。

用群来表示前文提到的对称性例子：

(1) 时间平移对称性——实数上的加法群R；

(2) 空间平移对称性——三个独立实数的加法群R^3；

(3) 空间旋转对称性——李群SO(3)，每一个群元素可以用三个“欧拉角”来描述；

(4) 电磁场的规范对称性——李群U(1)，群元素exp(iλ)对应上文提到的相位旋转（规范参数），其中λ的取值范围是0到2π。

尤其留意，可逆性是群的一个重要定义特征。在后文中，我们将突破群的可逆性，探讨“不可逆”的对称性。

高形式对称性

在传统的局域量子场论中，人们研究的焦点通常是局域场算符，它们被定义在时空中的某个0维的点上。传统的对称性主要作用在这些局域场算符上。

然而，量子场论中同样存在着高维的非局域算符。以麦克斯韦电磁学理论为例，我们可以围绕一个一维的圈上对规范场A做积分，从而定义出

这一在规范对称性变换下不变的“威尔逊圈”（Wilson loop）算符。

在广义对称性浪潮的早期，奠基性工作“Generalized global symmetries”[1]首先提出了一种被称为高形式对称性（Higher-form symmetry）的新颖概念，作用在场论中的高形式算符上。

例如对于不存在带电粒子的麦克斯韦电磁学理论，可以定义一种拓扑算符——电通量算符（electric flux）作用于威尔逊圈上，形式是将其乘上一个额外的U(1)相位因子（见下图）。此种全局对称性被称作（电的）“1-形式对称性”（1-form symmetry）。

高形式对称性同样满足诺特定理，上文中1-形式对称性对应的守恒量即是电通量。由于我们假设不存在带电粒子，电通量的确是守恒的。

类似地，当理论中不存在磁荷时，磁通量也是一个守恒量，对应于磁的1-形式对称性。

更一般地说，以上图中拓扑方式作用在p维非局域算符上的对称性，我们称之为p-形式对称性。这个命名来源于定义这些拓扑算符的数学工具——微分形式。在这种语言下，高形式对称性可以自然地在弯曲时空中进行定义。

高形式对称性与禁闭

在基础物理学中，一个重大问题是解释量子色动力学中的夸克禁闭现象。具体来说，为什么夸克在长距离（低能标）下会组合成质子、中子和其他粒子，而我们无法直接观测到裸夸克呢？这个问题在数学上对应着克雷数学研究所千禧年七大数学问题之一，即杨—米尔斯问题。

在此理论中，威尔逊圈扮演着重要的角色，因为当圆圈的尺寸趋于无穷大时，其行为对应于量子色动力学在长距离下的行为。有以下两种可能的情况：

(1) 威尔逊圈的取值（真空期望值）呈exp(-A)的形式，与圆圈的面积相关，被称为面积律。当圆圈尺寸趋于无穷时，威尔逊圈的真空期望值趋于零，理论处于禁闭状态。

(2) 威尔逊圈的取值（真空期望值）呈exp(-L)的形式，与圆圈的周长相关，被称为周长律。这时当圆圈尺寸趋于无穷时，威尔逊圈的真空期望值可在加局域抵消项后不等于零，而理论处于解禁闭状态。

对于只有规范场（胶子），没有物质场（夸克）的杨—米尔斯场论，其中蕴含着离散的1-形式对称性，我们也可以讨论其中胶子的禁闭行为。上面提到的面积律（1）对应于1-形式对称性未发生自发对称破缺的情况，即禁闭状态；而周长律（2）则表明1-形式对称性发生了自发对称破缺，即解禁闭状态。

在广义对称性的研究中，一个终极目标是找到适用于真实世界的量子色动力学的广义对称性，研究其对称性自发破缺，最终理解禁闭与解禁闭相之间的相变过程等物理问题。这是一个长远而富有挑战性的研究问题。

量子反常，反常理论与SPT

量子世界是一个神秘且与经典世界截然不同的领域，其许多方面难以用日常经验理解。在对称性方面，经典场论中具有的对称性也有可能在量子水平下被破坏。这种物理现象被称为量子反常（或反常，anomaly）[5]。

具体而言，我们需要计算量子理论的配分函数是否依然拥有原对称性。量子反常可分为两种主要类型：

(1) 规范对称性的量子反常；它的存在表明量子规范场论本身是不自洽的，因而需要用某些物理机制来抵消（例如Green-Schwarz机制）。

(2) 全局对称性的量子反常，即’t Hooft反常；它的存在本身并不会推翻理论，但如果想将全局对称性变为有动力学的规范对称性，即进行规范化，’t Hooft反常将阻碍这一过程的发生。

在有’t Hooft反常的情况下，我们通常可以引入一个高一维时空中的“反常理论”（anomaly theory），与原来的物理体系相耦合。换句话说，原来d维的物理体系可以被认为存在于某个(d+1)维带边流形的边界上。反常理论是一个拓扑量子场论，其规范变换正好与d维物理理论中的’t Hooft反常相抵消，这样组合之后的大体系就没有反常，见下图。

在凝聚态物理中，一个重要的研究课题是探索和分类物理体系中的各种相，特别是被体系的拓扑性质所保护的“拓扑序”（topological order）。前述的反常理论的物理图像正好对应于文小刚老师等人提出的对称性保护拓扑序（SPT，Symmetry Protected Topological order）[6]。以上的讨论也可自然适用到高形式对称性的情况，为理解量子体系中的对称性和拓扑性质提供了新视角。

本文受科普中国·星空计划项目扶持

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