Navier–Stokes方程的200年_风闻
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撰文 | Sylvio R.Bistafa
1 引 言
Navier–Stokes 方程 (以下简称N-S方程) 的首次推导出现在 Claude-Louis Navier 的两篇论文中：《关于流体运动规律以及分子粘性》[1]，发表于 1821 年的《化学和物理学年鉴》（印刷版实际上出现于 1822 年），本文称其为第一篇论文；以及《关于流体运动规律》[2]，发表于 1823 年的《法国皇家科学院论文集》（实际上出现于 1827 年的印刷版），本文称其为第二篇论文。尽管如此，根据记录，这两篇文章都是在 1822 年 3 月 18 日在巴黎学院宣读的，这一年被认为是该方程出现的年份，也是该方程首次公开发表的年份。这两篇文章首次在流体运动方程中正式引入了摩擦。在此之前，在 1755 年发表了著名的非粘性流体欧拉方程之后，运动方程一直局限于完美（理想）流体。
Navier 对学术的热爱，以及他在巴黎综合理工学院从事高等分析工作和在路桥与公路学院的实用工程背景，使他具备了为流体流动科学做出重大贡献的理想条件，因为他意识到流体摩擦是实验偏离理论的主要原因。文献[3]对 Navier 发展的 N-S方程进行了深入讨论，该方程包含在两篇论文中。在他的研究中，Navier 首先采用拉普拉斯的分子理论，将一般物体视为由彼此接近并通过两种相互作用的力（一种是吸引力，一种是排斥力）的粒子组成，当处于平衡状态时，这两种力互相抵消。当流体移动时，所有分子都被共同的运动带走，保持各自的状态，这些分子的状态不会改变，流体内部也不会产生新的作用。然而，当两个分子之间存在速度差异时，这两个分子之间的排斥力就会发生变化。根据 Navier 的说法，两个分子之间的速度差乘以这两个分子距离的函数（随着距离的增加，该函数会迅速减小），再乘以相对于“流体分子的粘性”（粘度）的常数，得出两个分子之间的排斥力（如果该量为负，则变为吸引力）。
在确定了运动流体的分子力性质之后，Navier 提出了一种类比，将粘性流体的运动与弹性固体的运动进行了对比，这是在第一篇论文中发展出来的，首次得到了今天所知的 N-S方程的不可压缩形式。由于实验结果的矛盾，Navier 之后的主要关注点是要知道在固体边界处应满足什么适当的边界条件，对于分子壁对流体分子施加特定作用的情况。然后，在第二篇论文中，通过应用拉格朗日矩量法 (Lagrange’s method of moments)，他再次得到了 N-S方程，但带有新的边界条件。
2 什么是 N-S方程 ?
Navier-Stokes 方程 (N-S方程) 是一个非线性偏微分方程，它控制着真实粘性流体的运动，可以看作是流体的牛顿第二定律。它描述了许多科学和工程领域感兴趣的流动现象的物理学，可用于模拟天气、空气和海洋流、这些流体介质中的污染扩散、管道中的水流、机翼上的空气流动、动脉中的血液流动等。它可以帮助工程师设计发电站、飞机、汽车、泵、涡轮机、通风机等流体流动设备，以及许多其他类型的设备。
不可压 N-S 方程如下：
连续性方程▽·u=0，加上 N-S 方程的三个分量，构成了一个必要的方程系统，用于获得三个速度分量和压力。
这个方程的边界条件是在固体边界u=U，其中U是边界速度。
N-S方程是 Euler 方程的演化。Euler 方程控制着无粘性流体的运动，因此可以看作是没有粘性项μ▽2u的 Navier-Stokes 方程。
在19世纪初，关于流体阻力和流动阻滞现象的知识是经验的。Navier 也是如此，他甚至负责编写了 Belidor 的 Architecture hydraulique 的修订版，当时是一本非常受水利工程师欢迎的实用书籍。尽管如此，是 Navier 第一个尝试在 Euler 方程中插入新的术语，他将拉普拉斯的新分子理论应用到粘度模型中。
与当时使用的经验方法相反，这些方程被认为过于复杂，无法为当时工程师面临的实际问题提供现成的答案。此外，当时的数学能力还没有准备好处理这些方程。事实上，它们是有史以来第一批被写出的偏微分方程，其中涉及到了非线性项(u·▽)u，这一项至今仍困扰着人们。即使有人愿意修改欧拉方程，他也会缺乏关于新项结构的线索，也因为内部流体摩擦的概念尚不成熟[4]。
3 N-S 方程诞生的前五个阶段
这一部分的标题是从文献[4]借鉴来的，Darrigol 在这篇文献中对 N-S方程的最初提议进行了彻底而出色的描述，将其置于这个方程出现之前和之后的历史发展背景中。
流体摩擦力与粘度的关系直到十九世纪才有了合适的模型。将粘性力纳入流体运动方程是由 Claude-Louis Navier 于1822年首次提出的[1]。现代弹性理论可以认为是在同一份出版物中诞生的，当时 Navier 第一次给出了 (各向同性的，单常数的) 弹性固体的平衡和运动方程。通过提出 (被认为是第一个现代) 弹性理论，Navier很快意识到这些方程可以扩展到其他连续介质，并以弹性固体方程为起点，他写了粘性流体的运动方程，用流体颗粒速度代替弹性固体位移，用流体粘度常数 (Navier 称之为“粘性系数”) 代替弹性固体常数。
此后，奥古斯丁·柯西（Augustin Cauchy）、西姆·泊松（Simsamumon Poisson）和阿德·巴罗·圣维南（Adhsamar Barré de Saint-Venant）几乎独立地并通过不同的论证重新得到了粘性方程。正如 Darrigol[4]所指出的，每一个新的发现者要么忽视要么诋毁他的前辈的贡献。每个人都有自己的方式来证明这个方程。
关于 Stokes 对粘性流动运动方程的研究，始于1845年，当时 Stokes发表了《论运动中流体的内摩擦理论》[5]。与 Navier 的方法类似，Stokes 使用连续性论证来证明弹性固体和粘性流体的相同运动方程。一个实际的动机是，Stokes 似乎已经意识到，在钟摆周围流动的空气的粘度可能会使钟摆的行为与真空中的理想钟摆不同。通过应用类似于柯西和泊松的方法，Stokes得出了N-S方程，他说这个方程和连续性方程“[…]适用于确定管道和运河中的水的运动，适用于计算潮汐和波浪运动的摩擦，以及诸如此类的问题”[5，p93]。
由于许多研究者已经证实了 Navier 提出的粘性流动的运动方程，人们可能会想知道为什么 Stokes 也会与这个方程联系在一起。答案可能是，他对不同研究者的理论和实验进行了广泛的比较，包括圆柱形杆、球体、长杆和短杆末端的球体、振荡盘、在空气和水中振荡的长摆和短摆等。因此，与研究N-S方程的其他作者不同的是，与 Navier 相似的是，Stokes 有一个非常明确的意图，即通过将理论与实验进行对比，非常明确地致力于实现其实用性，这可能是他和纳维一起与粘性流动运动方程联系在一起的原因。
4 N-S 方程的解
就 N-S 方程的解而言，首先应该指出，由它们的第一作者提出的 N-S 方程严格地只适用于毛细血管中的缓慢运动，即层流（laminar flows）。这些最初的推导并没有打算将这个方程用于最常见的湍流。这是一个严重的限制，因为大多数感兴趣的流动通常是湍急的。尽管如此，对 N-S 方程解的探索促进了非常有创造性的数学方法的发展，这些方法使人们对层流有了更深入的了解，并促进了更复杂层流和一般湍流的数值解的发展。
4.1. 精确解
N-S 方程的精确解可分为两大类。第一类，由于流的简单性质，包括非线性项(u·▽)u=0的解。属于这一类的流动有 Couette flow (lubrication theory 由此发展而来)、Poiseuille flow (均匀横截面管内的流动) 、旋转圆柱体之间的流动、Stokes 第一和第二问题以及平行表面之间的脉动流动。
第二类精确解是非线性对流项不等于零的解。这类流动的例子包括停滞点流动、收敛和发散通道中的流动以及多孔壁面上的流动。
4.2. N-S 方程-Stokes方程的低雷诺数解
4.3. 层流边界层
边界层是靠近物体表面的一个薄区域，在那里粘性效应很明显。边界层是在内部流动中形成的，例如在管道的入口，以及在外部流动中形成的，例如在飞机机翼上的流动。
在翼型的情况下，边界层首先平滑地流过翼型的流线型，而边界层中的流动是层流的。当气流接近机翼中心时，由于摩擦，它开始失去速度，边界层变得更厚和湍流。
任意形状翼型的层流边界层不存在解。尽管如此，对于受均匀流作用的平板，我们还是有可能从N-S方程的简化形式中得到一个解——实际上，对于一个复杂的问题来说，这是一个过于简化的问题。
5 Reynolds平均 N-S 方程
正如我们刚才看到的，N-S 方程对更复杂的层流没有解，正如前面提到的，它目前的形式不适用于湍流，而湍流是大多数感兴趣的流动的所在。
与粘性应力类似，湍流速度波动也产生应力，即所谓的雷诺应力，它是湍流波动施加在平均流动上的平均力（每单位面积）。
雷诺平均Navier-Stokes方程（RANS 方程）是常规N-S方程的扩展，适用于湍流。它们是通过所谓的雷诺分解得到的，即瞬时速度被分解成它们的时间平均量和波动量。
RANS 方程具有与层流 N-S 方程相同的结构，不同之处在于 RANS 方程中的速度用时间平均值表示。然而，在 RANS 方程中出现了一个附加项，它表示湍流的影响。这一项引入了六个与速度波动相关的未知项，但没有匹配的方程来关闭系统。因此，为了闭合方程组，需要对这一项进行建模。为此目的发展了几种方法。
计算流体力学 (CFD) 是流体力学的一个分支，它应用数值分析和数据结构来分析和解决涉及湍流的问题。计算机程序用于执行模拟自由流动和流体 (液体和气体) 与边界条件定义的表面的相互作用所需的计算。多亏了高速计算机，我们才能解决最大、最复杂的问题。图1显示了通过CFD模拟获得的飞机翼型周围的压力分布。
CFD 应用湍流数值模拟。这基本上可以通过直接数值模拟 (DNS) 和大涡模拟 (LES) 来完成。DNS显式地解析和捕获所有尺度的湍流，包括最小的湍流。LES背后的主要思想是通过忽略最小的长度尺度来减少计算成本，而最小的长度尺度在计算上是最昂贵的。对于大多数工程应用来说，不需要解决湍流波动的细节，因此，RANS模拟是更好的选择。
RANS方程的应用需要采用湍流模型，湍流模型是封闭平均流量RANS方程系统的计算过程。湍流模型允许计算平均流量而不首先计算完全随时间变化的流场。湍流模型提供了雷诺应力的表达式，从工程的角度来看，它必须简单、准确和经济。
6 N-S方程对流体动力学演化的影响
在 N-S 方程第一次出现之后，很快就清楚了，为了使这个方程更有用，它必须解决湍流现象。就是奥斯本·雷诺 (Osborne Reynolds)，流行的雷诺数的名字就是从他那里借用来的，他在1895年提出了通过对 N-S方程对湍流涨落进行平均来包含湍流的方法，这就产生了前面讨论过的雷诺兹平均 N-S 方程。
接下来的主要进展是湍流建模，最初是通过特别程序完成的。这就是普朗特尔 (Prandtl) 在1925年提出的混合长度概念。这是最简单的湍流模型，目前仍用于 CFD 模拟 RANS。混合长度的概念是由涡流粘度的概念演变而来的，涡流粘度与分子粘度类似，是由于湍流速度波动引起的内摩擦系数。1877年，Boussinesq在他的著作Essai sur la thsamorie des Eaux Courantes中首次发表了涡动黏度的表达式，这是建立在Saint-Venant提出的湍流的早期观点之上的[6]。
1933年，Nikuradse[7]发表了“粗糙管道中的流动定律”，这是基于他对湍流流过粗糙管道时所经历的摩擦的仔细测量。这些测量结果由 Colebrook 进行插值，得出了以他的名字命名的公式，这是公认的湍流摩擦设计公式。1944年，穆迪 (Moody) 绘制了著名的管道摩擦穆迪图，这被认为是流体动力学中最有用的图表。
就应用而言，N-S方程的原始形式在其适用性方面当然有局限性，尽管如此，自从它第一次出现以来，它已经促进了大量的工作来理解，建模和预测流体行为，这对流体动力学的发展做出了决定性的贡献。
7 结 论
N-S 方程存在的 200 年在流体动力学领域留下了不可磨灭的印记。从19世纪初它的诞生到21世纪的持续相关性，这个方程一直有助于扩大我们对流体运动的理解。Navier、Stokes 和后来的科学家们的贡献巩固了它作为科学和工程的基本支柱的地位。
方程从最初的形式演变为雷诺平均N-S 方程，并超越了它，这使我们能够解决从层流到湍流的各种流体流动问题。它在计算流体动力学 (CFD) 中的应用为模拟复杂的流体行为打开了大门，有助于飞机、车辆、发电站和各种流体机械的设计。
虽然N-S 方程有其局限性，特别是在湍流建模方面，但它一直是研究和创新的催化剂。对理解和预测流体行为的追求导致了湍流模型、数值方法和实验技术的发展。这种持续的追求将继续塑造流体动力学的未来。
在我们庆祝这一方程诞生200周年之际，我们承认它的持久意义以及它所激发的无数贡献。从基础研究到实际应用，N-S 方程仍然证明了科学探索的持久力量及其对我们对自然世界的理解的影响。
参考文献
[1] C.L. Navier, Annales de Chimie et de Physique 19, 244 (1821).
[2] C.L. Navier, Mémoires de L’Académie Royale des Sciences de L’Institut de France 6, 389 (1827).
[3] S.R. Bistafa, Rev. Bras. Ensino Fís. 40, e2603 (2018).
[4] O. Darrigol, Arch Hist Exact Sc. 56, 95 (2002).
[5] G.G. Stokes, in: Mathematical and physical papers, edited by G.G. Stokes (Cambridge University Press, Cambridge, 1880).
[6] A. Tamburrino, Fluids 9, 15 (2024).
[7] J. Nikuradse, Laws of flow in rough pipes, available in: https://digital.library.unt.edu/ark%3A/67531/metadc63009/m2/1/high_res_d/19930093938.pdf
本文经授权转载自微信公众号“数学往事”，文章译自《200 years of the Navier–Stokes equation》 。
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