关于数学巧合存在非常多的例子：其中有错误的巧合，如通过算术上不正确的运算处理却得到正确结果；也有很多数学巧合具有一定实用价值，甚至为一门学问的发展带来了至关重要的影响。如果说数学的运算规则是一开始就被造物主所规划好的，那么很多巧合甚至让人觉得是否是有意为之，或是留给智慧生物的小小惊喜。
撰文 | 彭毅（中国科学院大学，培养单位：中国科学院物理研究所）
审核 | 邓正（中国科学院物理研究所副研究员）
也许你曾看过这样一张数学迷因图：
上过小学数学的人都知道这完全是一种错误的分数化简方式，然而令人气得发笑的是，这结果竟然是正确的！“我爱因斯坦看了只想掏枪啊！”
实际上，图中这种偶然事件正是一种数学巧合（Mathematical Coincidence）。
偶然对消
图中这种分式错误约分却得到正确解的情况被称为偶然对消（Anomalous Cancellation），我们可以定义为在分式中通过划去相同的数字但得到了与原有分数相同数值的运算方式。更为广泛地，可以定义为任何算术上不正确的运算处理却得到正确结果的处理方式。对于分式的偶然对消，美国数学家Ralph Philip Boas最早于1979年进行了严谨的数学讨论，至少这个错误的巧合曾经作为一个有趣的数学问题被一些人关注过。
这里我们可以再稍微深入地聊一聊这一巧合的规律性。当这个有趣的话题上升至数学问题时，人们就会开始思考：还有多少个符合这样约分的分数？是否存在规律性？我们可以从最简单的分子和分母均是两位数的情况下来着手。这时可以将分子分母，以及这一“约分”过程写成下面的等式：
这里c即为偶然对消中消除的数字。我们只考虑分子的个位数和分母的十位数相消的情况，因为分子十位数和分母个位数的情况和这是等价的，至于c同时处于十位或个位的情况则是不存在满足条件的分数的，因为这个问题中显然不会考虑分子分母相等或者分子分母出现0的情况。我们需要记住一些默认的范围条件，比如m、n、c均为整数，而且互不相等，它们只能取1到9之间的自然数。有这些前提条件，就能比较容易得出满足条件的整数解了，他们分别构成分数
这四个分数便是分子分母均为2位数的情况下满足偶然对消的解。有意思的是，人们发现基于这四个解可以得到分子分母数字位数在2位数以上的“扩展解”。比如对于26/65来说，如果在分子26后面在添加两个6，同时在分母65前面再添加两个6，构成新的分数2666/6665，再划去分子和分母相同的三个6，得到的分数2/5也正好是原来分数的值。这一特点允许我们在分子和分母添加任意同等数量的6，而均符合偶然对消的要求，也就是：
当然，另外三个分数也具有同样方式的“扩展解”，这一规律可以用数学归纳法证明。
然而如果将分子分母扩展到三位数，可考虑的消除方式就多了很多，不过从满足条件的结果中仍然能找到一些规律方便人们去构建符合条件的偶然对消分数。比如当我们选定一种消除规则，它与上文中分子分母均为两位数的情况相同，使可消除的数位于分子后两位和分母前两位，也就是
上面等式中把数字相同的十位数数字给消除了，但显然分式的值没有改变。当然，为了让分式更“符合要求”或是更有意义，四个正整数应彼此互不相同，比如
借助于编程人们可以得到分子分母均为三位数时满足偶然对消的解的数量，一共是161个。而如果再考虑进分子或分母不足三位数的情况，那么满足条件的解一共有190个。四位数的分子和分母条件下，解一共有1851个；考虑分子或分母不足四位数时，一共有2844个解。
不过数学十分擅长把问题拓展到更加广泛的情形，数学家们甚至研究了偶然对消在任意基数进制下的情况，将问题本质转变为对线性或非线性的丢番图方程（Diophantine equation）求解，结合扩展欧几里得算法寻求特征解。从他们的研究中得到了一些结果和规律，比如基数为b的进制下，若b为素数那么便不存在两位数分子分母的解；而若b-1是素数，那么仅存在一个解，比如4进制下满足条件的仅有324/134=24；另外解的数量必然是偶数个，除非b恰好是偶数的平方。
不过在本节一开始还提到有更为广义的偶然对消，比如
又或者甚至是下面这一种：
虽然这看起来更像是一种数学笑话了。
乐律学中的近似
如果说上面的数学巧合具有那么一丝趣味性，但看起来没什么用，那么接下来以及更后面的内容中要谈到的巧合更多具有一定实用价值，甚至为一门学问的发展带来了至关重要的影响。这种具备实用意义的数学巧合或许称之为合理的近似更为恰当。
在音乐领域，就有这么一个具有非凡意义的近似：
它的作用要从公元前六世纪毕达哥拉斯学派提出的五度相生律（或称为毕达哥拉斯律，Pythagorean tuning）说起。这是一种乐律学中常见的调音系统，毕达哥拉斯认为弹奏和谐的旋律需要让相邻音阶之间的音高以简单的3:2比例变化，换句话说，乐器弹出的两个相邻频率的音其频率之比为3:2。这一构建方式使相邻频率之比控制在相近或相同的数值，也就是说频率之间近似为等比数列，这很好地解决了如何在基频f与倍频2f之间划分出合适音阶的问题。
可以注意到，五度相生律在一个纯八度内产生音阶的方式（表中“公式”一列）可以按这样的表达式来概括：
不过从这个公式也能发现五度相生律产生的音阶是不等距的，尽管其偏差是很小的。由于这种不平均性，使得乐曲在转调的时候会产生困难，人们不得不在每次由一种曲调转入或插入另一种曲调的时候，都对每一个音阶的音高进行微调。而且从表格中也能注意到，五度相生律实际上没办法在生律后回到基准音的。
过圆的一周便是完成到一个纯八度。那么按照五度相生律的规则，这个圆会被下图中蓝色虚线划分成各个扇形，不过很明显这些扇形的圆心角是不全等的（实际上这便是五度圈的产生，是一种用纯五度关系将十二个调循序排列出来的办法）。而按照十二平均律来处理圆，就变成图中红色实线所划分的区域，这些实线严格地等分了圆。
上面的图中还容易发现，两种规则下所划的线是十分接近的。那么原因是什么呢？关键就在于存在近似等式(5)。这个近似让十二平均律避免了一种可能，即这种人造的平分音阶的方式是否会让生成的旋律听起来不和谐。前面提到五度相生律是一种简单、自然的和谐的生律方式，而平均律这种基于无理数的产生方式却不那么让人放心。不过最终数学上的这一巧合完全排除了这种可能。它们在各个音程下与主音（基频）频率比的对比表格也证实了这种结果。也因此使得十二平均律在保证了音律和谐的前提下还方便了乐曲转调。这一进步更是在后来促成了钢琴这种定音乐器的出现。
和π相关的巧合
圆周率π作为一个著名的无理数，它常常出现在很多领域的数学计算当中，而有时有些领域在涉及到这个数的时候可能会对其采用合理的近似，这样关于π的某些运算就会近似的等于更为常见简单的数字，甚至是看起来毫不相关的量。
首先我们来看看这个近似：
这里g就是我们熟知的地球上的重力加速度。那么这个巧合是否有一定的道理呢？答案是有的。这需要追溯到早期一种对于长度单位的定义。过去，一米长度曾被定义为半周期为一秒的单摆的摆长。由于当摆角较小时，单摆的周期公式为：
显然把定义带入进去就会得到(6)式的结果。不过也恰好是因为单摆实验是在地球上完成的，可以想象如果一开始在月球或者其他重力下的星球进行的，继续使用这种定义那么(6)式便不成立了。
此外，π和黄金分割率φ也存在一个近似的关系：
