用数学解决我们的问题 - 《华尔街日报》

每逢报税季，总会有个梗图流传，内容大致是这样的：每次三角季到来时，我都特别庆幸自己学过三角形知识。其潜台词是：现实生活中我们根本用不到三角形，却需要理解税务知识，所以学校与其教那些没用的三角形知识，不如教报税实用得多。

这个梗图瞬间让我感到多重悲哀。它确实包含部分事实：我们在学校学的很多数学知识确实永远不会直接应用于日常生活。

改进方式之一是改教直接有用的数学。我猜大概就是税务、房贷、通胀、债务偿还、预算制定之类的内容。个人觉得这听起来无聊透顶，而且具有局限性——如果你教"如何报税"，那除了报税之外基本没有其他适用场景。

另一种方式是更好地传递数学真正的价值：探索、逻辑与想象。

新冠疫情期间还流传过另一个梗图：数学老师正在讲解指数函数，无聊的学生们抱怨"这辈子什么时候能用上这个？“可悲的是，当疫情爆发时，如果更多人理解指数函数本会大有裨益。相反，当科学家试图用指数函数解释形势将恶化时，太多人认为他们在危言耸听或胡编乱造。

有些人喜欢数学，是因为他们认为数学有明确的对错答案。他们觉得得出答案很容易，这让他们感到聪明。而另一些人出于大致相同却相反的原因不喜欢甚至害怕数学：它有明确的对错答案，但他们发现得出答案很难，并且可能因此被贴上愚笨的标签。

然而，这种将数学视为答案非黑即白的刻板世界的观点，是对数学极其狭隘的理解。正是这种印象，让太多人过早地对数学望而却步——他们接触到的只是数学非常局限、缺乏想象力的版本，一个不允许任何个人思考和好奇心存在的版本。

我想用另一种情感基调来展现数学。我希望鼓励和认可那些提问行为，那些孩子们想问但数学课似乎从不解答的问题，那些让人们说"你只管埋头做作业就行"的问题。正是这些问题让一些人觉得自己不是"学数学的料”，因为考试得高分的人似乎从不提出这些问题。比如：为什么1+1=2？为什么不能除以0？数学从何而来？我们如何知道它是正确的？这些问题通常不在教学大纲里。

课程和考试体系的僵化让我在小学时就对数学失去兴趣。5岁时我其实挺喜欢数学。但整个小学阶段我的兴趣持续减退，到初中时我甚至开始讨厌数学课，觉得它们枯燥又迂腐。对许多孩子来说，乘法表的突出地位是个问题。背诵乘法表似乎成了优秀数学家的关键能力，这完全是个误解。我个人从未背过乘法表（我理解乘法表的原理并能较快运算——但仅限于11以内的乘法）。我出色的博士导师马丁·海兰曾讲述他童年与乘法表的遭遇：8岁时全班每天测试乘法表，连续三天全对的学生可免测。他是班里唯一从未达标的孩子，却也是唯一成为世界知名数学家的人。用他的话说，他对"看似无意义的内容记忆力差"，但对"思想的结构记忆力极佳"。

在学校数学教育中，我们过分强调回答问题而非提出问题。数学看似是关于解答问题的学科，但提出疑问恰恰是数学最重要的组成部分之一。这些问题有时可能显得模糊、天真或混乱，但它们往往能引向数学中最深邃的领域。这些特质——创造力、打破常规、游戏精神——通常不被认为与数学相关，我们应当鼓励而非压制它们。如果我们让学生产生"不该提问"的错觉，就等于在告诉他们数学是僵化专制的，而这与数学的本质背道而驰。

以"1+1=2"为例。这个看似不言自明的数学真理，在某些情境下会产生不同结果：将两种颜料混合会得到新颜色而非两种颜色；将纸张连续翻转两次会恢复原状。这些同样被数学家研究的有效结果说明，质疑这个等式能引领我们深入更本质的数学。

就我个人经历而言，大学数学教育将焦点从答案转向论证过程，这种转变往往让那些原本因轻松解题而喜欢数学的学生感到不适。大学阶段的问题会从"这个问题的答案是什么"转向"证明这个答案的正确性"——答案本身已被包含在问题陈述中，重点完全转移到论证过程本身。

我们也可以为孩子们这样转移重点。与其问“6×8等于多少？”，不如让他们“证明6×8=48”。我可以不假思索地背诵“六八四十八”，但关键在于如果有人质疑，我能提供多种不同的解释来支持这个答案。

对事物拥有多元的思考方式意味着更深刻的理解，也提供了更多验证正确性的途径。就像你要搭脚手架爬上屋顶——在冒险之前，你会用多种方法确认脚手架是否稳固，而非仅依赖单一检验。这正是数学的核心价值：重要的不仅是正确答案，更是你如何知道它正确。掌握判断正误的方法，远比知道特定问题的答案更具普适性，因而也更有价值。

这正是数学严谨性与抽象性的意义所在。它让我们能将概念封装成基础模块，进而理解日益复杂的事物。通过持续追问与探索，我们得以构建远离这些基础模块的新知——比如从指数增长的概念出发，最终理解病毒传播的规律。

郑乐隽为《华尔街日报》撰写"日常数学"专栏。本文改编自她的新书《数学是真实的吗？简单问题如何引领我们发现数学最深刻的真理》，由Basic Books出版。

出现在2023年8月19日的印刷版中，标题为’用数学解决我们的问题’。