计算沙滩伞的阴影——《华尔街日报》

插图：亚历山大·格兰迪恩数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击这里。

我喜欢在夏天坐在户外，无论是在咖啡馆、海滩还是朋友的后院。然而，当烈日过于强烈时，我喜欢用一把大伞来遮阳。问题是，随着太阳的移动，阴影的大小和形状也会发生变化。

从数学角度来看，这是射影几何领域的一个问题，它研究的是形状在不同角度投射到各种表面上的样子。一个立方体在平面上可以投射出正方形的阴影，但如果斜着投射，也可能形成长方形，甚至六边形——如果只有八个角中的六个可见的话。一个完美的球体总是会投射出圆形的阴影，但这个阴影可能是圆形，也可能是拉长的椭圆形。

圆顶伞投射的阴影类似于球体的一部分。它投射出的三维阴影管会改变大小和形状，因此当太阳在天空中较低时，你可以得到一个很长的阴影，但当太阳直射时，阴影几乎不比伞本身大多少。无论你最初如何精确计算投影，都可能需要多次调整。

射影几何起源于对绘画透视的研究。艺术家们直观地发展了一些对透视的理解，但正式的论述是由文艺复兴时期的建筑师菲利波·布鲁内莱斯基和莱昂·巴蒂斯塔·阿尔贝蒂在15世纪提出的。几百年后，数学家们开始发展这一领域，探讨物体的哪些属性在投影下得以保留。

一个关键洞见是平行线不会被保留；相反，三维空间中的平行线在投影到二维表面时，会在地平线上某处汇聚于一个“消失点”。角度和长度同样不是固定的，正如约翰内斯·维米尔等画家所理解的那样——人们研究过这位巴洛克时期艺术家的画作，因其对方形瓷砖地板细致入微的投影处理。

射影几何与我们日常生活的普通物理空间几何截然不同，后者中的平面只是一个向所有方向延伸的平坦表面。数学家可以修改这种平坦表面来模拟奇特的射影行为。其结果甚至比熟悉的莫比乌斯带更令人费解——莫比乌斯带是通过将一条细长矩形纸带扭转一端后粘合两端制成的单侧曲面。要得到射影平面，理论上还需将左右边缘以扭转方式粘合，这在三维空间中无法实现且难以想象，因此数学家借助公式和方程来探索它。

在某种程度上，这只是思维变形的趣味游戏，但研究这些结构互动方式的过程，也让我们得以编写计算机程序代劳。

简单场景中我们或许能凭直觉理解几何：若将老式投影仪正对屏幕，调整投射角度时矩形光斑会变为梯形。但对于电子游戏或虚拟现实程序，虚拟3D空间需要通过海量计算来渲染，才能让观众以不同角度在其中移动环视。

这就是投影几何在你眼前发生——就像你调整遮阳伞让自己保持凉爽时，你也在进行投影几何。

出现在2023年8月5日的印刷版中，标题为“计算沙滩伞的阴影”。