《华尔街日报》：地图如何通过“固定点”保持目标定位

数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击这里。

当我用电脑查看数字地图时，常常因点击“放大”图标而感到沮丧。问题在于，我想要放大的位置总会从屏幕上消失，然后我不得不移动地图重新寻找它。为了避免这种情况，我试着记住将感兴趣的地方放在屏幕中央，因为放大时中心点会保持不动。

在数学中，保持不动的部分被称为“不动点”，尽管名字听起来像没有任何变化，但不动点理论是一个成果丰硕的研究领域。数学家研究所谓变换的不动点。放大是变换的一个例子；另一个例子是旋转，其中不动点是你旋转的中心。我们还研究函数的不动点。例如，如果你将所有数字乘以2，唯一保持固定（即其值不变）的点是0。如果你对每个数字取平方，那么0和1都会保持固定并维持其值。

20世纪初，荷兰数学家L.E.J.布劳威尔证明了一个被广泛使用的不动点定理。该定理指出，如果你从一个圆形区域开始，并用一个“连续”函数（不破坏任何部分）对其进行映射，那么必定存在一个点保持不动。但实际上，区域不必是圆形的。例如，如果你拿两张相同的图片，将其中一张揉皱并压平放在另一张上面，定理表明揉皱的图片上至少有一个点会完全位于平坦图片的同一位置之上。

不动点理论的应用涵盖微分方程、博弈论、金融和互联网搜索等领域。谷歌最初的网页排名系统理念是通过计算用户基于其他页面链接频率访问每个页面的概率来对搜索结果进行排序。如果一个页面被许多其他页面链接指向，用户更有可能访问该页面，但这同时也取决于那些其他页面是否也有大量链接指向它们。这个（非常庞大的）概率矩阵在经过一定次数的假设点击后会趋于稳定，并可以计算为不再随进一步迭代而变化的固定点。在谷歌初创时期，矩阵背景下的不动点理论已被充分理解，而排名系统有效地利用了这一现有理论。

数学家经常进行这种重构，利用现有理论解决新问题。这种做法催生了一个笑话：一位知道如何用空锅煮鸡蛋的数学家，当拿到一个装满水的锅时，不是直接煮鸡蛋，而是把水倒掉，然后得意地宣布：“我已经把问题简化为之前的问题了。”

有时涉及无限的问题可以通过不动点来解决，因为无限可以被视为在给所有事物加1的函数下保持不变——每个有限数都会增加1，但无限保持不变。在我自己的一些研究中，我曾利用这一点将无限维对象构造为不动点，而不是试图通过无限构建过程直接构造它，因为后者可能需要无限长的时间。

更具体地说，不动点理论可以用来证明，如果你搅拌一杯马提尼酒，总会存在一个固定点——即搅拌后仍停留在原位置的点。这为"马提尼要摇匀，不要搅拌"的偏好提供了一个可能的科学依据。

该内容曾以《“不动点"如何确保地图定位准确》为题发表于2023年7月1日的印刷版中。