折纸能抚平问题——《华尔街日报》

图片来源：托马斯·瓦伦塔数学家尤金妮亚·程探索数学在**课堂之外的用途。阅读更多专栏文章请点击此处。

最近我不得不寄出一封纸质信件，这是多年来的第一次，于是我将一张纸对折成三份以便放入信封。在我成长的过程中，我一直困惑于如何准确估算出三分之一的位置。最终我学会了先将纸卷起来再压平，而不是一次只折一次。

数学中有一个完整的分支专门研究仅通过折叠纸张（即折纸艺术，最为人所知的是日本的艺术形式）来进行精确计算。使用物理工具进行数学运算的想法可以追溯到古希腊人，他们尝试仅用圆规和直尺进行数学构造。直尺没有刻度，也不用于测量，因此这种方法只有两个基本操作：绘制任意大小的圆或在任意两点之间画一条直线。通过折纸，我们甚至无法画圆，但可以进行更多的直线构造。

任何数学研究的第一步都是确定系统的基本规则，这被称为公理化。这有点像为一项运动制定规则，比如规定球员可以用球做什么和不可以做什么。在折纸数学中，允许的操作包括通过任意两个给定点进行折叠（类似于直尺的使用），以及将一个点折叠到另一个点上。仅通过这种折纸的使用，你可以进行大量的计算——包括三等分角和求解三次及四次多项式方程。

一个运用这些规则的更简单练习是将一张纸精确地折成三等分。首先，将纸张对折，使中间形成一条水平折痕。然后，从纸张左下角向右延伸至中间折痕的右端再折一条斜线。最后，从左上角向右下角折出另一条斜线。这两条斜向折痕的交点恰好位于纸张高度的三分之一处，本质上是因为一条折痕的斜率是另一条的两倍。

在这个我们口袋里装着越来越强大计算机的时代，你可能会疑惑：用折纸进行计算到底有什么意义？许多纯数学研究与其说是直接应用，不如说是在受控环境下培养思维纪律和技巧。在严格限制条件下探索方法能激发创造力，并带来极大的满足感。就像打高尔夫球：直接捡起球放进洞会容易得多，但也无趣得多。

在受限条件下实现非凡成就的学科，对于探索外太空尤为重要。计算折纸学这个相对新兴的领域——使用计算机算法解决与折纸相同的问题——由物理学家罗伯特·朗在20世纪末开创，他将折纸专长与美国宇航局喷气推进实验室的工作相结合。计算折纸学已被用于设计必须折叠的大型遮阳板和望远镜镜片，以便通过火箭发射后在太空中顺利展开。这些原型展开的视频令人叹为观止。

尽管将信纸折成完美的三等分并不需要如此精确，但我很享受这个探索过程。有时候，数学的意义在于练习如何从极少的条件出发创造出尽可能多的可能性，这一理念具有广泛的应用价值。

本文曾以《折纸艺术能抚平难题》为题刊登于2023年2月11日的印刷版。