筹算：小棍上的中国古代数学智慧

【科技文明探源】

◎本报记者 孙明源

今人眼中看似简单的数字，其实是人类数学发展数万年的智慧结晶。如何表示数、记录数，采用何种进制，直接决定了数学运算、应用乃至记录传承下去的方式。阿拉伯数字具有进位明确、便于书写等优点，成为现代世界通用的计数符号。

阿拉伯数字其实是印度人的发明，因为经阿拉伯人传入欧洲而得名。学术界称为印度—阿拉伯数字。在印度人这一发明之前，中国就发展出了一套实用、完善的记数系统——算筹记数法。中国科学院自然科学史研究所研究员邹大海表示，算筹是中国古代常用的计算工具，也叫算、筹、策、筹策、算子等。用算筹来记数和计算以及相应的方法，称为筹算。筹算是中国古代数学的特色。

在古代，中国数学是东亚数学的代表，在世界数学史上具有鲜明特色。邹大海认为，相比于其他地区的古代数学，中国古代数学以计算和算法见长，其主要原因之一就是普遍采用筹算，不仅产生了先进的记数法，而且有一套表示未知量和代数式的方法，它以独特的方式实现了代数符号的功能。

十进位值制记数法最早出现在中国

进制是数学的基本概念之一，其含义是“累计若干个基本单位即形成下一个单位”。人们比较熟悉的进制包括最常见的十进制、用于时间和角度计量的六十进制、计算机领域常见的二进制和十六进制等。

进制的基础上发展出了位值制观念，即数字所在的位置可以表示该数字单位对应的倍数。例如在阿拉伯数字5234当中，5所在的位置是“千”位，表示5个千，而2、3、4在“百”“十”“个”位，分别表示2个百、3个十、4个一。许多记数系统没有位值制观念，例如古埃及数字由于没有位值制观念，显得非常繁琐。

邹大海介绍，十进制最早见于古埃及；位值制最早见于古代两河流域，那里的人采用了六十进的位值制；而现代通行的十进位值制记数法则最早起源于中国。

中国人很早就采用了十进制，中国汉字的数字记法就是十进制系统。一既是基本数字，也是数字单位，此外常见的数字单位有十、百、千、万、亿、兆、京等。

例如“一兆八千五百三十亿二千一十八万八千八百五十一”这个数，只要把空着的数位用〇代替，将兆、亿、万、千、百、十等数字单位撤去，就变成“一八五三〇二〇一八八八五一”，这与现代的“1853020188851”一一对应。可见，中国文字记数法是相当先进的，可以很容易跟通行的阿拉伯数字表示法进行转化。但是，中国文字表示法只是准十进位值制，尚不完善。真正采用十进位值制的是算筹记数法。公元14世纪以前，算筹曾是广泛使用的计算工具，之后就逐渐被算盘所取代。

算筹的形象类似筷子，源于远古人们用长条形小棍计数的习惯。用算筹表示一至九有纵、横两种形式。

《夏侯阳算经》说：“满六以上，五在上方，六不积算，五不单张。”意思是，对于一到五，是几就用几根算筹表示；对于六到九，则将其中所含的五用一根算筹放在上面表示，余下几就用几根算筹与之垂直放在下面就可以了。比如╥表示七，上面一根表示五、下面两根表示二。

对于多位数，《孙子算经》记有其算筹表示法：“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。”古人在个位摆纵式，十位摆横式，百位又用纵式，千位又用横式，如此纵横交错进行。邹大海强调，本来只用两式的一种就够了，但纵横交错的方法更为清晰，也不容易弄乱。算筹记数法大约产生于西周、春秋之际，也可能更早。在出土的先秦陶片和货币上可以看到这种记数法的痕迹。

筹算具有强大的记数和运算功能

筹算加减法比较简单，古人没有记载。对于复杂的乘除法，古人将算筹摆成三行，中行为乘积或被除数，下行为乘数或除数，上行为被乘数或商。利用九九口诀与算筹记数法相配合，就可以得出结果。这个过程在本质上与现代的竖式乘除法很接近。

筹算还可以求解线性方程组，在公元前1世纪成书的《九章算术》中，用一种称为“方程”的方法来表示问题和求解，其表达方式和运算方法都跟现代的增广矩阵很相似，而求解线性方程组的增广矩阵方法在欧洲是18、19世纪之交才出现的。邹大海介绍，在筹算的方程中，不同位置具有指示不同未知量和常数项的作用，相当于现代的分离系数法。正是方程导致了正负数概念的产生，古代一般用黑色和红色的算筹分别表示负数和正数。

《九章算术》也用筹算来开平方、开立方，还用来求一元二次方程的解。这种方法不断发展，到宋代已形成了一套求一元高次方程数值解的方法。宋元时代还发展出列方程的普遍方法，先是出现了针对一个未知量求解的天元术，后来发展到最多可达四个未知量的高次方程组的列法与解法——四元术，用天、地、人、物指示未知量。邹大海强调，这种方法所列出的算式中除算筹和个别汉字“太”或“元”外，不使用符号，而是通过位置来体现未知量及其幂，实现了代数符号的功能，这在某些方面甚至比现代的符号方法更具优势。

中国古代以文字和筹算配合，使得数学工作得以开展并传承。筹算以其强大的记数、符号和运算功能，在中国古代数学的发展过程中发挥了重大的作用。

后来随着商业的发展，筹算捷法和相应的口诀发展起来，之后筹算被珠算取代。珠算通过沿用、改良筹算的口诀和方法，在商业、会计和日常生活中发挥着巨大的作用。

但筹算也有其局限性。邹大海指出，筹算的缺点之一是无法保留演算的过程，中间操作有误就难以追溯。二是算筹使用起来比较占地方。三是较难实现超过四元的列式和运算。

筹算影响中国传统文化

明代天元术、四元术等失传，筹算被珠算、笔算取代，但其方法和思想仍在数学发展中发挥作用，甚至已渗透到中国思想文化的方方面面。

邹大海强调，筹算的重要意义在于制订和利用一系列规则和方法。筹算靠的主要是智力，并特别讲究精准，所以在中国传统文化中很多反映智力活动的用语都与筹算有关。比如谋划叫“运筹”“筹划”，用“运筹帷幄，决胜千里”表示指挥官在后方谋划得好让前线取得胜利。又如考虑得周全叫“算无遗策”“胸有成算”，而谋划失误则叫“失算”“失策”。其他如人们常说的“算计”“暗算”“盘算”“算命”“胜算”等词汇，皆源自古代的筹算思维。

“古人充分发掘算筹记数法中的位置功能，并用算筹来表示代数式，设计相应的运算方法，形成了中国古代独具特色的筹算传统。中国古代的算术和代数在世界上曾处于先进乃至领先地位，与筹算有很大关系。筹算是中华文化的重要组成部分，筹算的思维也对社会文化和人们的生活产生了一定影响。”邹大海说。