数学中的一个神话：黄金比例_风闻

​「译者 | 实验室的猫」语：黄金比例，这个神秘的词汇常常被赋予深奥而完美的意义，似乎在艺术、建筑和自然界中无处不在。然而，这篇Chris Budd 教授的文章中，他用理性的观点揭示了这种看似神奇的比例，其实可能并非我们想象中的那样。

首先，黄金比例在本质上并无特别神奇之处，与我们生活中遇到的其他比例一样。是的，它在历史长河中曾被赞誉为艺术和建筑的黄金法则，然而，实际证据却并不完全支持这种说法。帕特农神庙，被人们誉为“黄金比例”的典范，仔细测量却发现其并无完全符合。音乐大师莫扎特和贝多芬的作品，也并未严格遵循黄金比例。

自然界中的黄金比例神迹也并未得到科学的证实。许多植物的生长模式，并未完全契合黄金比例。牛顿认为太阳系的运转遵循黄金比例，但现今的模型计算已经否定了这一观点。

尽管黄金比例并无我们想象中的那般神秘，但也不能否认，它在艺术创作中的应用，确实能带来一种平衡和美感，触动人们的审美神经。不过将其神化为一种完美比例，无疑是过度的夸大和神秘化。

撰文 | Chris Budd

翻译 | 实验室的猫

我相信，大多数人都听过数学中一个被赞誉为神奇的数——黄金比例 (或黄金分割比)。

许多文章、书籍、电影和学校课程中都出现了它的身影，这些作品旨在展示数学在现实世界中的重要性。

许多作者（包括《达·芬奇密码》的作者丹·布朗）将黄金分比例描述为自然界美丽图案的基石，有时甚至被称为神圣比例。

有人甚至宣称在艺术和建筑中，诸如帕特农神庙和金字塔等，也都遵循着黄金分割的比例；人体的比例，例如成年人的身高与肚脐高度之比，或者前臂长度与手掌长度之比，也被认为与黄金分割有关。

然而，在我数十载用数学解决现实问题的职业生涯中，仅有两次遇到过黄金分割比。是的，只有两次！那么，关于黄金比例的那些美好传说，究竟可信度有多高呢？

黄金分割是什么？

首先让我们快速回顾一下黄金分割究竟是什么。它是由古希腊数学家欧几里得定义的。设想有一条线段，整个线段与较长的那一段之比等于较长的那一段与较短的那一段之比。那么这个比值应该是多少？

黄金比例_演绎

经过一些数学推导，我们算出这个比值应该是：

人体中的黄金分割

黄金分割被认为是人体中存在的许多比例的核心。这些比例包括完美面部的形状，以及肚脐高度与身高的比例。事实上，有人声称几乎所有完美人脸的比例都与黄金分割有关。

然而，这些说法并非正确，甚至可以说是毫无根据。

你可以在美丽的脸上叠加各种矩形，然后声称美丽源于矩形的比例。

人体有许多可能的比例，其中很多都在1到2之间。如果您仔细观察足够多的比例，最终必然会找到接近黄金分割值（约为1.618）的数字。

这种现象尤其明显，当所测量的事物没有特别明确的定义（如上图所示），而且可以通过改变定义来获得想要找到的比例。

有一点需要注意，由于黄金分割是一个无理数（即无限不循环小数），任何比例都只能是黄金分割的近似值。

所有这些都是人类大脑发现伪相关性的例子。事实上，只要有足够的数据，就有可能找到与几乎任何假设相符的模式。

一个很好的例子是在晴朗的日子里走出户外，仔细观察云彩，早晚你能发现一朵符合某种新奇模式的云。

这种现象实际上可能相当危险，当在数据中发现伪相关性来证明某一观点时。例如，它们可能导致错误的指控，甚至错误的定罪。

螺旋，黄金矩形与其他

如果你将一条线段分成两段A和B，使得A/B是黄金分割，然后用A+B和A构成一个矩形，那么这个矩形被称为黄金矩形。

黄金矩形是由一个大正方形（白色部分）和一个较小的矩形（灰色部分）组成的。这个较小的矩形也是一个黄金矩形。

我们刚刚构成的黄金矩形包括一个正方形和一个较小的矩形，而这个较小的矩形本身也是一个黄金矩形。这个黄金矩形又包括一个正方形和一个较小的矩形，这个较小的矩形也是一个黄金矩形。如此循环往复。

通过这一系列越来越小的黄金矩形，我们可以构成一个类似螺旋的图形。只需在黄金矩形中出现的每个正方形内画一个四分之一圆。

黄金矩形构成的螺旋形状

这种类似螺旋的形状常被认为在自然和艺术领域的许多地方都有出现。例如，鹦鹉螺壳的形状、星系的形状、飓风的形状，甚至是波浪的形状。

这里有两个问题。首先，这个形状并不是真正的螺旋曲线，而是一系列的圆弧拼接而成。当从一个弧线过渡到另一个弧线时，实际上曲率会突然改变。在自然现象中，不太可能看到这样的跳跃。

实际上，这个形状只近似螺旋曲线。它近似的螺旋形式是对数螺旋的一个例子。这种螺旋在自然界中非常常见。它们具有极坐标方程：

艺术与建筑

在探讨黄金比例与艺术建筑的关系时，就需要谨慎对待了。因为确实有一些艺术家和设计师，如勒·柯布西耶，在他们的艺术作品中刻意运用了黄金比例。

这是因为有人声称，黄金矩形在审美上特别悦目，相较于其他矩形，人们会更为欣赏。因此，在艺术作品中使用它们是有道理的。于是，又有人声称，几乎所有的艺术品与建筑作品都能找到黄金比例的痕迹。

事实上，黄金矩形极具吸引力的观点并无充分证据支撑。心理学研究显示，人们对矩形的喜好范围相当广泛，开方比例为二比一的矩形往往更受青睐。试试看，你更偏爱下面哪个矩形？

根据基思·德夫林的书《永不消逝的神话》，黄金比例与美学之间存在任何关系的观点主要来自两个人。

其中一人就是卢卡·帕西奥利，他在 1509 年写了《神圣比例》一书。这本书似乎是以黄金比例命名的，但里面并没有提出基于黄金比例的美学理论，也没有主张将其应用于艺术和建筑。但在 1799 年，有人将此书与黄金比例联系起来，然后把这种无中生有的观点归于帕西奥利头上。

帕西奥利与莱昂纳多·达·芬奇关系密切，人们常常声称，达·芬奇在其绘画作品中运用了黄金比例。然而，并无确凿证据支持这一观点。最著名的例子莫过于《维特鲁威人》，但该作品中的比例并非黄金比例。实际上，达·芬奇在作品中仅提及整数比例。他的画作中所谓的黄金比例出现的例子，与在自然界中发现黄金比例的道理类似。

而另一个人是 19 世纪的德国心理学家阿道夫·泽辛（Adolf Zeising），他认为黄金分割是一种普遍规律，描述了“自然和艺术领域中的美与完整性，作为一种卓越的精神理想，渗透在宇宙或个体、有机或无机、声学或光学的所有结构、形式和比例中。” 然而，这不过是一个看似有规律的虚假模式。尽管如此，泽辛的观点仍影响了许多人，为神话黄金比例奠定了基础。

其中一则关于黄金分割的神话是，它出现在希腊雅典卫城的帕特农神庙的比例之中。

所谓的黄金螺旋叠加在帕特农神庙上。没有证据表明黄金比例在这座建筑的设计中发挥了作用。帕特农神庙的基本图像来源：Oyvind Solstad，CC BY 2.0

在希腊学术研究中没有任何证据支持这一观点，认为帕特农神庙的比例是由黄金分割给出的观念仅可以追溯到 19 世纪 50 年代。此外，对帕特农神庙的实际测量并未显示出特别接近黄金分割的比例，除非你刻意地选择矩形。

实际上，帕特农神庙的和谐外观源于巧妙地运用看似平行，实则相交或弯曲的线条，因此几乎不可能进行足够精确的测量以得出确切的比例。由于帕特农神庙的比例随着其高度而变化，因此不可能找到一个与黄金分割相符的总体比例。

同样的道理也适用于其他希腊建筑：没有任何证据表明希腊人将黄金分割视为美的象征，以至于要在他们的艺术和建筑中特意应用它。

同样的道理也适用于音乐。有人宣称黄金分割在音乐创作中至关重要。然而，关于这一点的证据少之又少。

实际上，在音乐创作中，音阶才是关键，而音阶与2的12次方根息息相关。正是这个后者位于音乐的核心，而非黄金分割。

伟大的现实

在正视了这些曾被神话的事实之后，我想强调一下黄金分割本身是多么惊人——它真的不需要那些虚假的主张来装扮它的独特魅力。

首先，让我们来看看确实与黄金分割有关的自然现象。黄金分割与著名的斐波那契数列有着密切的联系。

斐波那契数列确实出现在自然界中，因为它既与人口增长的方式有关，也与形状的拼接方式有关。

1,1,2,3,5,8,13,21,…

例如，我们可以在向日葵的螺旋中观察到这个数列，它们必须有序地排列在一起；我们也可以在某些植物的叶子上观察到，它们排列在一起需要获得最大的阳光。因此，在某些自然现象中，我们可以观察到接近黄金分割的比例。

这些现象包括蜂巢中雄蜂与雌蜂的分布，这与蜜蜂多代繁殖的方式有关。因此，确实可以在花园中观察到黄金分割，这有非常好的数学原因。

但也许更有趣的是黄金分割具有的许多迷人的数学性质。这里，我想指出一个特别吸引人且确实使黄金分割区别于其他数字的性质：极端的无理性。

无理数不能用分数表示，就是说它是无限不循环小数。

黄金分割具有惊人的特征，它是所有无理数中最无理的数。这意味着它不仅无法用分数精确表示，甚至很难用分数来近似表达它。

用分数近似黄金分割的难度之高，使它对研究同步（synchronisation）过程的数学家和科学家们非常有用。同步是指具有固有频率的系统受到不同频率的强迫驱动而采用强迫频率的现象。一个例子是人体与阳光的日常频率同步。第二个例子是地球的气候，它根据绕太阳运行的自然周期进行同步。

然而，同步本身可能会产生一个大问题，导致系统出现不必要的共振（例如，如果一个

率，我们可以避免由于黄金分割的极端无理性导致的同步。这个非常有用的特征似乎被大脑、昆虫种群、气候科学家甚至飞机制造商所利用。

因此，黄金分割的确在当代很多场合里扮演了主角，但这并非是你常在黄金比例神话中读到的那种。这真是太可惜了！黄金分割最有趣的地方在于它不是一个比例，这是一个可爱的悖论。

本文经授权转载自微信公众号“科学演绎法”，译自plus.maths.org/content/myths-maths-golden-ratio。

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