μ子g-2实验：很可能没有超出标准模型的新物理_风闻

2021年4月，美国费米国家实验室的µ子g-2实验团队曾宣布对µ子磁矩的测量结果精度达到0.35ppm，与标准模型理论预测存在偏差，置信度为4.2σ。今年当地时间8月10日，费米国家实验室发布了基于前三年数据的最新实验结果，精度为0.2ppm，与理论预测的偏差置信度提升到了5σ。那么，这一实验结果是否预示着产生了超出标准模型的新物理？

撰文 | 季燕江

在物理实验中，独立实验的次数越多，测的就越准确，涨落σ（均方差，standard deviation）越小。假设测量的平均值是μ，真实值处于μ-σ和μ+σ之间的概率是0.6826，处在μ-2σ和μ+2σ之间的概率是0.9544，处在μ-3σ和μ+3σ之间的概率是0.9974，换句话说真实值不处于μ-3σ和μ+3σ之间的概率仅不到0.3%。

在粒子物理里，新发现成立的阈值一般是5σ，这个数值越高，就说明发现的证据越坚实，5个标准差表示新发现的置信度高达99.99994%。补充一下标准差的定义：

这里N是独立实验的次数。但这里忽略了系统误差，不过系统误差一般是可以排查出来的。

目前粒子物理的最高成就是标准模型，根据标准模型，除引力外，其他三种相互作用：电磁相互作用，弱相互作用和强相互作用都统一地被量子力学表述。不过标准模型（standard model）看上去很丑陋。

以上为标准模型的拉格朗日量。一点不简洁，一点不美。因此，很多物理学家都在寻找超越标准模型的新物理。更多的时候，我们用下图表示标准模型：

紫色是6种夸克，绿色是3种轻子（电子，μ子和τ子）以及对应的三种中微子。这些都是费米子。橙色的玻色子用来传递相互作用。夸克通过交换胶子（g）传递强相互作用，光子（γ）用来传递电磁相互作用，向量玻色子（W±，Z）传递弱相互作用。最后希格斯玻色子（H，黄色）解释了质量的来源。

能量最高的希格斯玻色子（H）和顶夸克（t）是最后被发现的，前者于2012年被LHC发现，后者于1992年被Tevatron发现。超越标准模型的新物理，意味着需要更高能量的加速器，这意味着很多很多钱。

不过也有一些不那么昂贵的实验可检测偏离标准模型的蛛丝马迹。比如，最近Fermilab刚刚发布一组数据的μ子g-2实验。μ子是3种轻子之一，我们可以把它理解为一个更重的电子，μ子的质量大约是电子质量的207倍，同时和电子一样，μ子的自旋也是1/2。

g=2

根据经典物理学，电子的轨道角动量L和电子的轨道磁矩M成正比：

轨道角动量：L=mvr，这里m是电子质量，v是电子做轨道运动的速率，r是圆轨道的半径。

轨道磁矩：M=iA，这里i是电流，A是圆面积。因此：M=evr/2。

磁旋比被定义为：M/L=e/2m

或：M=(e/2m)L

对自旋角动量S来说，自旋的磁矩是：Ms=(e/m)S

或改写为：Ms=g(e/2m)S，对电子自旋而言g=2，这里g就是朗德g因子。

为什么对电子的轨道运动来说g=1，而对自旋来说g=2？这需要在相对论性量子力学的框架下理解，我们从狄拉克方程出发，并考虑电子在电磁场中运动，正则动量：p=mv+eA。

根据狄拉克方程，并考虑非相对论极限，得到泡利方程：

这里σ是泡利矩阵，q是电量（即上文中的e）

利用恒等关系：

并考虑p是偏微分算子，得到磁矩在磁场中的能量（塞曼项，Zeeman term）：

磁矩M在磁场中的能量可表示为：-M·B

因此，磁矩M可表示为：M=g(e/2m)S，这里g=2，自旋 S=ħσ/2

g因子为2，是一个相对论性量子力学框架下的理论结果，同时g也可由实验直接测量。比如，磁矩M在均匀磁场B中将发生进动，进动频率（拉莫频率）是：ω=g(eB/2m)。知道了拉莫频率，我们就可通过实验确定g值。

回到泡利方程，(p-eA)^2在对称规范：A=(1/2)B x r 下，可化简为：

上式S前的2就是电子自旋的朗德g因子。μ子的推导在这里是完全一样的，换句话说对μ子而言：g=2。

那么g-2就应该是0。

费曼图

我们的宇宙并不仅仅是由电子构成的，当然也不是仅仅由μ子构成的。换句话说宇宙里可能有电子，也可能有光子，甚至更多……

电子（或μ子）可以和光子发生相互作用，用如下费曼图表示：

这里e表示电子，γ表示光子，整个图的意思是电子可以在从左到右的传播中吸收或放出一个光子。这是一个“裸”顶角，即没考虑高阶的图形修正。

根据微扰论，存在更高阶的图形，比如再多一根相互作用的线（光子的线），如下图：

这里l表示轻子（即电子，μ子，或τ子），当轻子l在从右向左跑的过程中，如果只考虑外线，看起来也是只吸收或发射了一个光子γ，但还有一根内线（波浪线），表示轻子l在右侧先放出（或吸收）一个光子γ，然后传播到左侧的时候又吸收（或放出）这个光子γ。这个内线的光子γ也被称为虚光子。如果考虑这个图形的修正后，g就不是2了，而是比2稍大（g=2+α/π=2.0023234，这里α是精细结构常数）。

这种微扰计算可以一直计算下去，比如引入两根内光子线，需要考虑9个图形：

这里图7，中间有个泡泡，表示的是μ子对的产生和湮灭，图8中的泡泡表示的是电子对的产生和湮灭，图9中的泡泡表示的是τ子对的产生和湮灭。迄今，我们只考虑了光子γ作为相互作用的中介，换句话说我们是在量子电动力学（QED）的框架下进行的微扰展开。

我们可以继续考虑三根内线，由于电磁相互作用较弱，QED的这种微扰展开很快就收敛了。即高阶的修正项，虽然要算很多图形（对应很多积分），但会快速变小。以下是三根内光子线的费曼图：

4根内光子线的费曼图简直就画不完了，以下是一些代表性的图形：

括号里是每类图形内的数量。还有5根内光子线的费曼图：

这意味着要算几千个积分……

还有弱相互作用，我们需要考虑如下图形：

这里外线都是相同的，换句话说我们看到的都是轻子从左往右跑，在此过程中吸收或放出了一个光子，但由于标准模型，或我们的世界中存在各种粒子，各种各样的虚过程在量子场论的框架下也要考虑。左边的图表示的是W玻色子参与的顶角修正，中间的图表示的是Z玻色子参与的顶角修正，右图表示的是希格斯玻色子参与的顶角修正。

类似QED里的微扰展开，我们可以在以上三个图里插入各种各样的虚过程，然后对它们进行分门别类的计算，比如考虑两根相互作用的内线：

这里f和f’表示费米子。a)，b)图表示的是一个电磁相互作用内线γ，和一个Z玻色子内线，c)图表示的是两根Z玻色子内线，d)和e)图表示的是两根W玻色子内线，f)图表示的是一根电磁相互作用γ和一根希格斯玻色子H内线。

值得注意的是f和f’也可以是夸克，这就涉及了量子色动力学（QCD）的计算了。换句话说，我们考虑弱相互作用修正的时候其实已经要用到QCD的知识了。对描述强子运动的QCD而言存在所谓渐进自由，即高能的时候，粒子反而更自由，相互作用小，我们可以使用微扰论进行计算。但对低能情形，由于相互作用很强，微扰论是失效的，我们只能通过寻找一些有效理论或非微扰技巧进行计算。

这里不做展开，直接进入最难的部分，即基于强相互作用（QCD）的顶角修正，费曼图如下：

这里表示μ子自左向右传播，传播过程中吸收或放出了一个光子γ，同时作为内线，里面包含了一个灰色的泡泡，这个灰色的泡泡里面表示的是强子的真空极化。灰色表示“棘手”，不好处理的意思。

由于强相互作用不能用微扰展开，这个灰色泡泡的计算必须另辟蹊径。根据光学定理，总散射截面，不论其中细节如何，可与向前散射矩阵元的虚部联系起来。这意味着我们通过测量正负电子对湮灭为强子的散射截面，即可推算出这个泡泡的值。

正负电子对湮灭可表示为：

我们关心的其实是右半部分，即强子产生的部分，通过散射截面的测量，我们可推出强子的真空极化部分（灰色泡泡）。

类似地，我们也可以考虑更高阶的修正：

以下不做进一步展开，我们已经可以理解最近的g-2实验。

消失的5σ

g=2是0阶意义下的QED结果，对g=2的偏离，一方面来自考虑了更多电磁相互作用（光子γ）内线，也来自包含弱相互作用（W, Z, H）的内线，和强相互作用的强子真空极化。这意味着我们只需要研究g对2的偏离就可研究真实世界是否偏离了标准模型。

我们定义a=(g-2)/2，来研究这个偏离。

比如，对电子e而言，计算光子（QED）对a的贡献：

QED框架下，考虑5根内光子线（Phys. Rev. D 96, 019901 (2017)），自能图如下：

共389个自能图，代表6354个顶角图。

实验值是：

可见一直到小数点后的第11位，QED给出的理论值和实验值都是一致的（弱相互作用和强相互作用导致的修正也可计算，但贡献非常小，和误差基本是一个数量级，Phys. Rev. Lett. 109, 111807 (2012)）。费曼曾经说QED是迄今为止最精确的理论，基于的就是以上理论值和实验值的比较。

对μ子而言，基于标准模型，考虑了QED，弱相互作用和强子相互作用后，最新的a值为（Physics Reports 887, 1-166, (2020)）：