说到数学的实用性，再没有比这段描述更简洁的了_风闻

宇宙是一本“大书”, “在掌握它的语言并学习组成它的符号之前, 你是无法理解它的。它是由数学语言写成的”。

——伽利略

撰文 | [美] 威廉·邓纳姆（William Dunham）

翻译 | 冯速

多少世纪以来, 当我们挖掘出石油层或者岩石层时, 学者们追溯过去, 通过简单的观测来推测史前遗迹的相对年代。这是很容易的。但是,一个被挖掘出来的鹿角、一块古埃及人的裹尸布、一块来自窑洞的烧焦了的木头, 它们的绝对年代是什么呢？考古学家如何估测这些物品自出现以来已经历时十年、一百年甚至是一千年了呢？这样的信息似乎不可知并永远丢失了。

但事实并非如此。科学最深刻的属性之一就是不懈的探索, 即使面对绝望的境地。用托马斯·布朗（Thomas Brown）爵士一段风趣的话说：“塞壬女妖唱的什么歌, 阿喀琉斯用的是什么名字混在女人堆里, 这些问题都令人费解, 尽管如此, 它们却并非琢磨不透。”

正是有了这种精神, 化学家威拉德·利比（Willard Libby）和他的助手在第二次世界大战爆发后的几年间做出了放射性碳测年法的重大发现。因为这项成果, 利比在 1960 年获得了诺贝尔化学奖, 他也因为揭示了古代取火及史前骨骼的秘密而得到了充分的认可。利比发现, 那些古老的骨头和木头碎片的确是微小而精确的时钟。而破译其中隐藏着的信息, 需要了解碳的化学性质和自然对数的数学性质。

首先看一下化学。碳存在着三种同位素。其中两种在地球上含量丰富而且比较稳定, 分别被称为碳 12 和碳 13；而第三种比较稀有且不稳定, 是碳 14, 这是一种放射性同位素, 半衰期约是 5568 年。半衰期是一个术语, 具有简单的含义：经过 5568 年, 碳 14 的质量的一半将由于放射性衰变而失去。因此, 今天质量为 1 磅的碳 14 在不受干扰的情况下在 5568 年之后将降低到半磅, 从那时开始再过 5568 年将降低到四分之一磅。

碳 14 源于高层大气的宇宙辐射, 在那里碳 14 与氧反应生成放射性二氧化碳。最终放射性二氧化碳沉积到地球表面, 成为所有生物赖以生存的碳混合物的一部分。利比直截了当地指出：“因为植物的生存依赖于二氧化碳, 所以所有植物都是放射性的；因为地球上所有动物的生存都依赖于植物, 所以所有动物也是放射性的。”因此, 放射性碳就存在于你用作午餐的胡萝卜之中, 存在于你花园里的牵牛花里, 存在于你的宠物仓鼠的身体里, 存在于副总统的身上。它是地球上生物的共同标志。

利用复杂而巧妙的化学, 我们可以确定活体组织中放射性碳和非放射性碳的比例, 从而合理地假定过去的动物和植物体内也有类似的比例。有机体从事着生命活动, 它们不断地从食物链中补充丢失的碳14, 该比例能维持相当持久的平衡。

但是, 在庞大的动物死去或树木倒下之际, 它补充碳的日子就结束了。自此, 它体内组织中的碳将永远不会增加了。随着年代的流逝, 非放射性碳保持不变, 而碳 14 进行放射性衰变, 也就是说, 它在逐渐消失。放射性碳和非放射性碳之间的相对比例因此会随着时间的流逝减小。就如一台失调的老钟一样, 放射性的释放成比例地减慢。碳 14 的这种衰变是从有机体的死亡开始的, 一直持续到这些骨头或木制物品被从地里挖出来的那一天。

使用特殊的仪器, 化学家能够确定物品中碳 14 的当前放射量, 生命逝去的时间越长, 放射性的量就越少。因为我们知道碳 14 衰变的速率, 所以能够在一定的精度范围内计算出某一物品已经花费了多长时间到达目前这一减少了的放射水平。当然, 这就是一块骨头或木头不再是生物体的一部分的精确的时间长度; 再简洁点说, 这就是这个物品的年龄。这就是我们在这里展示的科学侦探的杰作, 它的确应该获得诺贝尔奖。

但是, 正如科学中常有的事, 整理最终的细节需要数学。

无论是测量珠穆朗玛峰的高度、测量光速, 还是测量法老的遗物,数学已经穿过层层疑云证实了自己的用途。莫里斯·克莱因更断言：“数学的首要价值不在于这门学科本身提供了如此之多的东西, 而在于它能够帮助人类实现对物质世界的认识。”

很多人也许会争论说, 克莱因有些言过其实。他似乎是要说, 如果天文学家和化学家突然得到他们所需的所有数学知识, 那么数学家就会清理办公桌, 退休回家。

堪称“纯数学家”之首的哈代提出了相反的观点。一贯言语犀利的哈代承认：“很多的初等数学……都相当实用。”但是随后他又声称,这些实用的思想“大体上都相当无趣；它们恰恰是最没有美学价值的部分。‘真正的’数学家的‘真正的’数学, 费马、欧拉、高斯、阿贝尔和黎曼的数学几乎统统是‘不实用的’”。

虽然大部分数学家不会因哈代坚定的不实用论而有丝毫退缩, 但是职业数学家有这样一种共识, 即数学不仅仅是科学的奴仆。例如, 质数定理结果尽管根本没有实际用途, 但仍是那样地完美和迷人, 因此有数学的合法性。当我们仅以功利思想判断数学时, 就忽视了人类的一个重要特权：寻找享受思想自由翱翔的机会。

尽管真理可能存在于克莱因和哈代之间, 但数学的实用性是无法回避的, 数学家们毫不动摇地致力于数学的应用。你可能会听到数学家们这样的至理名言：成为一名普普通通的应用数学家很容易, 成为一名普普通通的纯数学家稍微困难些, 最艰难的是成为一名杰出的纯数学家。为了在数学应用中做出杰出的贡献, 你必须掌握多门学科：数学、天文学、化学以及工程学。纯数学家可以随意修改基本条件或者假设使得他们的工作更容易, 相比之下, 应用数学家却只能凑合着利用外部世界无法控制的事实。纯数学家受逻辑驱动, 应用数学家受逻辑和自然驱动。纯数学家可以改变基本原则, 而应用数学家却被迫接受现实给予他们的一切。

说到数学的实用性, 再没有比伽利略谈论宇宙时的这段描述更简洁的了：宇宙是一本“大书”, “在掌握它的语言并学习组成它的符号之前, 你是无法理解它的。它是由数学语言写成的”。

本文转载自微信公众号“图灵新知”。特 别 提 示

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