鸡兔同笼难倒过你吗？| 袁岚峰_风闻

最近，教育部等十八部门联合发布了《关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》（http://www.moe.gov.cn/srcsite/A29/202305/t20230529_1061838.html），提出要在教育“双减”中做好科学教育加法，一体化推进教育、科技、人才高质量发展，要开齐开足开好科学类课程，拓展科学实践活动。

《教育部等十八部门关于加强新时代中小学科学教育工作的意见》

尤其有趣的是，提出各校要由校领导或聘任专家学者担任科学副校长。我有几位同事和朋友，例如科大第一届少年班出身的王永教授，最近就兼任了中小学的科学副校长（快讯！中国科大教授任合肥一小学科学副校长）。

中国科学技术大学自动化系教授王永博士

作为科技工作者，我对加强科学教育自然是双手赞成的。然而，每次这种加强也都会引出一个问题，就是：要学的内容越来越多，怎么学得过来？

这个问题还经常升级成哲学性的思考，即：人类积累的知识越来越多，尤其是像数学这种学科，需要花费越来越长的时间来学习前人已有的知识，那么有没有可能最后陷入一种困境，一个人要花一生的时间才能学到前沿，结果这个学科就没法前进了？或者说，我们现在是不是已经处于这样的状态了？可能还会有人由此推论说，只有人工智能才能学完所有知识，所以人类要被人工智能取代了。

然而有趣的是，这并不是一个新问题。早在十九世纪末、二十世纪初的时候，已经有不少人在问这个问题，因为当时的数学已经变得相当复杂，分支越来越多。

此前的大数学家往往都是熟悉数学所有领域的全才，如欧几里得、阿基米德、牛顿、莱布尼茨、欧拉、高斯。但到十九世纪末，全才已经屈指可数了。而德国数学家希尔伯特（David Hilbert，1862 — 1943），就是这屈指可数的数学全才中的一个。

希尔伯特

1900年，在第二届国际数学家大会上，希尔伯特做了一个著名的演讲。其中他先是提问：“然而，我们不禁要问，随着数学知识的不断扩展，单个的研究者想要了解这些知识的所有部门岂不是变得不可能了吗？”你看，这正是现在许多人想到的那个问题。

但希尔伯特紧接着就给出了一个回答，这个回答十分经典：“为了回答这个问题，我想指出：**数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边，数学科学发展的这种特点是根深蒂固的。**因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路。”

我最初看到这段话，是在已故著名数学家、中国科学技术大学龚昇（1930 — 2011）教授的书《微积分五讲》。龚昇老师指出，跟希尔伯特那个时代相比，当代数学的分支变得更多，在2004年他写这本书的时候有60个二级学科、400多个三级学科，更加学不过来，所以希尔伯特的这段话现在显得更为重要。

《微积分五讲》

龚昇教授

一、数学的例子

希尔伯特告诉我们，数学发展的历程，其实就是“高级”数学替代“低级”数学的历程。但高级的不一定是复杂的，其实高级的往往可能是简单的！下面让我们举几个例子，来深入理解希尔伯特的论述。

一个典型的例子，就是“鸡兔同笼”。这是小学的典型难题：在一个笼子中有若干只鸡、若干只兔子，已知这些鸡和兔子总共有多少个头、多少只脚，请问有多少只鸡、多少只兔子？

鸡兔同笼

在学代数之前，解这种题需要大量的脑筋急转弯，设想所有的动物都抬起一半腿或者都抬起两条腿之类的。龚昇老师作为一个真正的数学家，都不禁要在书里吐槽：“当时我实在很纳闷，一是鸡与兔为何要关在一个笼子里？二是既能数的清有多少个头、多少只脚，为何数不清有多少只鸡、多少只兔？老师教我解鸡兔同笼问题的方法，更使我感到难懂，现已完全记不得了。”

但在学了代数以后，一眼就能看出，鸡兔同笼只是一个二元一次方程组问题，即x + y = c1，2x + 4y = c2，把总头数c1和总脚数c2代进去，立刻就可以解出来了。推而广之，那些头和脚的系数也都是可以变的，无论是把九头蛇还是蜈蚣关在一起，都不在话下！

由此我们可以理解，“数字符号化”即代数是一个多么强大的工具。它跟算术相比是高级的，但高级的反而比低级的容易。现在我们不需要背诵一大堆解鸡兔同笼的技巧，因为记住方程这一个技巧就够了。

我们再来举一个例子，解析几何。在平面几何中有大量的难题，如“五点共圆”（江泽民同志出的数学题，你会解吗？| 袁岚峰）甚至“九点共圆”。这些难题的困难程度，足以让人怀疑人生，因为即使把解法告诉你，你也很难理解它们那神出鬼没的思路，为什么要画这么一条或者多条辅助线。

五点共圆

九点共圆

然而到十七世纪，笛卡尔和费马等人引入坐标系，发明解析几何以后，一下子就豁然开朗了。无论什么样的几何难题，都可以通过建立坐标系，转化成代数问题。然后通过代数运算，原理上就一定能算出结果。这是一种高级的方法，以不变应万变，却比平面几何那些千变万化的方法更简单，更容易理解。

一个特别有趣的例子，是椭圆的定义。我们现在是如何定义椭圆的？高中学的定义是x2/a2 + y2/b2 = 1，a和b分别是椭圆的半长轴和半短轴。

椭圆的标准方程

这是解析几何的定义，还有作图式的定义，如：椭圆是到两定点的距离之和为定值的点的轨迹。

椭圆的第一定义

或者：椭圆是到一定点的距离与到一定直线的距离之比为一小于1的常数的点的轨迹。

椭圆的第二定义

但真正神奇的，是古人对椭圆的定义。在欧几里得之后不久有一位大数学家阿波罗尼斯（Apollonius，约公元前262 — 前190），他写了一部皇皇巨著《圆锥曲线论》，用纯几何的方法研究了三种圆锥曲线即椭圆、抛物线、双曲线。

圆锥曲线

莫里斯·克莱因（Morris Kline，1908 — 1992）的《古今数学思想》对此书的评论是：“按成就来说，它是这样一个巍然屹立的丰碑，以至后代学者至少从几何上几乎不能再对这个问题有新的发言权。这确实可以看成是古典希腊几何的登峰造极之作。”

那么，阿波罗尼斯是如何定义椭圆的呢？他的定义是：

《古今数学思想》图4.20 阿波罗尼斯定义圆锥曲线的过程

“如果一个圆锥被一过其轴的平面所截，也被另一平面所截，该平面一方面与轴三角形的两边都相交，另一方面它既不与底平行也不是（底平面的）反位面，又若圆锥的底与截面的交线要么与轴三角形的底垂直相交，要么与它的延长线垂直相交，如果从截线到它的直径所连接的（纵线）线段平行于截面与圆锥底的交线，则其中任一个上的正方形将等于贴合于一线段[参量]上的某个（矩形）面，其中截线的直径与该线段[参量]之比如同连接从圆锥顶点到轴三角形的底直线且平行于截线直径的线段上正方形与该线段在轴三角形底直线上与其他两边截得的两线段所夹的矩形，该面的宽是截线到直径的连线在直径上截取的从其顶点开始的线段，并且亏缺一个图形，这图形相似于由直径和参量所夹的矩形，且有相似位置，将这样的截线称为亏曲线（英译：ellipse。也就是现在称为椭圆的曲线）。”

阿波罗尼斯对椭圆的定义（来自作者的朋友、浙江大学数学博士“贼叉”提供的《圆锥曲线论》照片，特此致谢）

这个定义长达300多字，令人目瞪口呆。再仔细看，这段定义只是一句话哦！不要说看懂这个定义，仅仅是念下来，感受一下它的复杂度，大脑都已经快死机了。阿波罗尼斯就是从这样吓死人的定义出发，完全用几何的方法画各种辅助线，硬生生地证明出了许多关于椭圆的定理，这种神技真是令人叹为观止。

《古今数学思想》图4.26 阿波罗尼斯证明的关于圆锥曲线切线与直径所成图形的面积的一个定理：若OP与OQ是圆锥曲线的切线，且若RS是平行于OP的任一弦，R’S’是平行于OQ的任一弦，又若RS与R’S’交于J（在圆锥曲线内部或外部），则有(RJ·JS) / (R’J·JS’) = OP2 / OQ2

这让我们看到，解析几何带来了多大的简化。可能不少人还觉得x2/a2 + y2/b2 = 1有点头疼，但跟阿波罗尼斯的定义相比，这已经上天堂啦！

鸡兔同笼和椭圆定义这两个戏剧性的例子，充分表明了希尔伯特的论述：数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边。只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，你就有可能更容易地找到前进的道路。

二、自然科学的例子

前面谈的主要是数学，但对于自然科学或者说经验科学也存在同样的道理。科学发展的一般脉络就是，用少量的原理解释大量的事实。

一个经典的例子，又跟椭圆有关。古人天然地认为，地球是宇宙的中心，太阳和其他星球围绕地球运动。什么轨迹的运动呢？天然的想法是圆周运动，因为圆是最完美的图形。但有很多观测事实跟这个观点不符，例如有时候有些行星看起来会倒着走。

现代人很容易理解行星为什么会逆行，因为这只是从地球看来的视运动

为了跟观测相符，地心说的集大成者托勒密提出了“本轮”（epicycle）和“均轮”（deferent）的体系，即在圆周运动上叠加圆周运动。只要你叠加的本轮足够多，那么任何复杂的运动都可以重复出来。

《古今数学思想》图7.2 本轮与均轮。一行星P在中心为S的一个圆周上作匀速运动，而S本身则在以地球E为中心的一个圆周上作匀速运动。S所沿着运动的圆叫均轮；P所沿着运动的圆叫本轮。对某些行星来说，点S就是太阳，但在其他情形下则只不过是数学上假设的一个点。P与S的运动方向可能相符，也可能相反。太阳和月球的情况就属于后一种

到十六世纪，哥白尼提出了革命性的日心说体系（在日心说与地心说之间，科学家们开了多少脑洞？| 科技袁人）。他大大减少了本轮的数量，不过基本的描述方法仍然是本轮和均轮。

哥白尼的日心说模型

然而到了十七世纪，开普勒终于发现，行星绕太阳的运动轨迹其实并不是圆，而是椭圆。这就是他的行星运动三大定律中的第一定律：所有行星都以椭圆轨道绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。

开普勒行星运动三大定律

从完美的圆换成不那么完美的椭圆，在美感上似乎是降低了一些。但一个椭圆就能代替好几个本轮，这才是真正巨大的进步。后来牛顿从万有引力定律证明了，行星绕太阳运动的轨迹确实应该是椭圆。这是人类理性最辉煌的成就之一。

英国诗人、画家威廉·布莱克（William Blake，1757 — 1827）画的牛顿

到这里，我们终于实现了“用少量的原理解释大量的事实”。这是真正意义的进步，需要记忆的知识也就大大减少了。

让我们回到最初的问题，科学会不会因为学不过来而停止前进？答案是不会，因为高级方法往往带来简化，而不是复杂化。这就好比数据压缩，我们对世界的了解越深入，就越能掌握数据的内在结构，就越能把压缩率提高，所以总的数据量并不见得会增长。

这也启发我们，在科学教育中应该适当地加强深度，而不仅是广度。经常有人担心，小朋友要学的东西太多会不会压力太大，不利于成长。实际上，尽快学高级方法反而会减轻负担。例如早点学会方程就不需要跟鸡兔同笼纠缠了，这也就避免了低水平重复的刷题（小学读6年，对正常智力的人来说都是一种浪费 | 科技袁人）。如果我们想培养创新型人才，建设创新型国家，那么这正是我们应该走的路。