拉马努金：我做数学只用三个词，“显然”、“显然”还是“显然”_风闻

“拉马努金更像莫扎特，在他眼里数学是一门自然而然、显而易见的学问。”

撰文 | Kasper Müller

翻译 | 藏痴

审校 | 牧羊

你能解出下面的式子吗？

这是1911年拉马努金尚未成名时公开提出的第一个问题。答案会在下面的“数学”章节公布，如果你想试着求一下，记得在滑到那里之前得到答案。

斯里尼瓦萨·拉马努金 (Srinivasa Ramanujan) 是有史以来最伟大的数学家之一。今天的数学家还没能完全理解他的成果。他的工作不仅被应用到数学中，后来还被用到物理学的黑洞和弦论中。

著名数学家小野健（Ken Ono）写道：“拉马努金的智慧甚至比全世界所有顶尖数学家的加起来还要多。”

与拉马努金相识的大数学家林特伍德（J. E. Littlewood）说“所有自然数都是拉马努金的密友”，他仿佛知道每个数字的个性一样。

弗里曼·戴森（Freeman Dyson）这样评价他：“我觉得拉马努金更像莫扎特，在他眼里数学是一门自然而然、显而易见的学问。他的天赋是我们无法理解的奇迹。”

更出名的是这样一则轶事：

尽管拥有非凡的成就，但拉马努金基本上是自学成才，没有接受过正规的数学教育。

他对分析、数论、无限级数和连分数等领域做出了重大贡献，包括解决当时被认为无法解决的数学问题。事实上，人们估计在拉马努金短暂的一生中，他发现了大约3900个有意义的公式！

拉马努金的故事是数学界最伟大的故事之一。通过对薄薄一本书的启发和研究，拉马努金能够提出数千个定理。其中一些是对数学界已经证明和已知的结果的重新发现（他独立推导出了欧拉、高斯等人在他之前发现的许多结果），还有一些是前所未见的新发现。

在这里，我们将尝试了解拉马努金的生平和数学天赋。我们还将看到他的一些惊人成就，直到今天，数学家们还不知道他是如何取得这些成就的。

自学成才的神童

拉马努金小时候就才华出众。

1887年，拉马努金生于印度。全家住在一个传统的小房子里。他的母亲是家庭主妇，有时会去当地寺庙祈诵。大约十岁时，拉马努金以全地区第一的成绩从小学毕业。进入中学后，他第一次接触到了正式的数学。

13岁时，他借到了一本高等三角学的书，掌握了这个领域。这个年纪，他已经独立发现了一些复杂的定理。14岁时，他帮助老师把1200名学生分派给35名老师指导。

在数学考试里，拉马努金只用一半时间就能答完题，并且他对几何和无穷级数也十分熟悉。1902年，拉马努金已经了掌握如何求解三次方程。后来，他发展出了自己独特的四次方程解法。

真正唤醒拉马努金天赋的转折点是在1903年，16岁的拉马努金拿到了一本凯尔（G. S. Carr）的《纯粹和应用数学基本结果概要》。这本书写于1886年，总结了当时已知的绝大多数数学结论。据说拉马努金仔细地研究了这本书里面5000个数学定理。

第二年，拉马努金发现并研究了伯努利数，并将欧拉-马斯切罗尼常数计算到了小数点后15位——这是一项里程碑式的成就。当拉马努金1904年中学毕业时，校长说他是一个应当获得比满分还高的分数的优秀学生。

接下来在大学里，只有数学才能让拉马努金集中注意力。这给他带来了一些麻烦，因为他很难通过其他课程。他最终肄业，也没找到工作。他陷入了极端贫困中，经常食不果腹。然而，他仍然尽一切可能进行独立研究。

当时，拉马努金疾病缠身，到1910年下半年，他已经十分虚弱了。他把笔记本交给一位朋友，并叮嘱朋友，如果自己出现意外，就把笔记本寄给其他数学家。好在拉马努金最终康复并拿回了笔记本。就在同一年，其他数学家逐渐了解了拉马努金的才华。最终，他的一些工作发表在了印度数学会的学报上。

拉马努金与哈代

1913年1月16日，拉马努金向当时第一流的数学家哈代（G. H. Hardy）写了一封信。在信的开头，拉马努金提到自己是自学成才。他写道：“我是一名职员…… 我并未受过大学教育…… 但我正在为自己开辟一条新道路……”

接下来是几页数学推演，其中一些内容之前有人推导过，还有一些不完全正确，但这封信结尾有三个非凡的公式。哈代被这几个公式震惊了，他回信说：

这些公式完全征服了我。我之前从未见过类似的东西……能写下它们的人一定是最顶尖的数学家。这些公式肯定是对的，因为没有人会拥有发明它们的想象力。

——哈代

哈代请同事林特伍德来审读这些论文。林特伍德同样被拉马努金的天才所震惊。在与林特伍德讨论过这些论文后，哈代总结说拉马努金一定是“最优秀的数学家，一个拥有非凡创造力和力量的人”

随后哈代给拉马努金回信，请他来英国学习。但哈代也强调证据的重要性，“很有必要让我看一下你所写断言的证明。”

拉马努金在信中只简单写下了受书启发得到的公式，而完全没有写证明。但对于数学家而言，没有证明的命题并不比猜想更好。他们很快建立了通信联系，拉马努金给哈代寄了更多的数学内容。

仅仅在最初两封信中，拉马努金就给哈代提供了120个定理！哈代不知道的是，拉马努金有厚厚两本记满了漂亮的数学命题的笔记本，其中第二本就有21章。在与林特伍德一起看过笔记本中一部分内容以后，哈代评论说，“只有欧拉和雅克比能与拉马努金并肩。”

拉马努金在剑桥与哈代和林特伍德合作了近五年。尽管拉马努金的天赋肉眼可见，但他们之间的合作并不容易。哈代追求严谨的证明，但拉马努金有着完全不同的信仰，并且十分坚定。他相信女神在梦中赋予他数学直觉。

哈代和拉马努金开始一起证明拉马努金的一些命题。哈代竭尽所能以现代数学的方式教育和指导拉马努金。

一战期间，拉马努金在英国的处境十分困难。他是素食主义者，但几乎买不到蔬菜。作为印度人，他在英国受到了严酷的种族歧视，而且非常孤独（尽管他有无穷多个自然数朋友）。好在，拉马努金最终克服了这些障碍。

1918年5月2日，拉马努金凭借“对椭圆函数及对数论的贡献”当选英国皇家学会会员，他也是皇家学会史上最年轻的会员之一。1918 年 10 月 13 日，他成为第一位当选为剑桥大学三一学院院士的印度人。

拉马努金的数学

每篇介绍拉马努金的文章都会包含一些他的数学成果，所以在这里，我们列出了他的一些发现。但需要强调的是，这篇文章不可能包含他发现的所有公式，因为总共有3900个！

哈代曾说拉马努金的发现异常丰富，而且往往有比最初看上去更丰富的内容。拉马努金的发现还有另一个鲜明的特点，那就是它通常都涉及到很大的数字或者很复杂的表达式，几乎只能用计算机才能计算。当然，在20世纪初，还没有这样的计算机。

事实上，我们并不清楚拉马努金是如何做到的。这是整篇故事里最大的谜团。

拉马努金的π表达式

这部分很有趣，拉马努金发现了1/π的一个新的表达式，这是一个无穷级数。

这个级数收敛得极快，现在人们用来计算π的算法就以它为基础。这个级数的第一项就给出了π的前七位有效数字，前两项给出了15位有效数字。事实上，每多计算一项，这个级数就可以多给出8位有效数字！

发散级数

拉马努金研究了无穷发散级数——根据阿贝尔的说法，这是魔鬼的杰作，凡人不可触碰。然而，拉马努金可以给不同的发散求和赋予一些数学意义。其实，一个后来震撼互联网的发散级数就是拉马努金发现的：

我们可以通过为等号赋予特殊的含义来使这个式子成立。事实上，这样的结果与物理中的一些实验现象吻合，例如两个金属板之间的卡西米尔力。

无穷嵌套平方根

回到印度以后，拉马努金向数学界提出了一项挑战：求出下列无穷嵌套平方根的值。

拉马努金等了六个月，但没人能给出答案。于是他直接发表了答案，答案并不复杂，就是3。

几乎是整数

没人知道拉马努金是怎么做到的，但他确实找出了这样几个很接近整数的幂指数：

实际上，上面公式中的平方根通过L函数、椭圆曲线和模形式理论与所谓“类数”相联系。

无限连乘的积分

在寄给哈代的第一封信中，拉马努金在第三页末尾写下了一个逆天的积分：

它在0 < a < b + 1/2时成立。

一般来说，把这种倒霉函数连乘再积分，还能得到封闭且美观的解，是一件几乎不可能的事。这实在让人难以相信。

划分数

在集合论中，一个集合分成的一组非空子集叫做划分。对于一个n元集合，不同划分的方式叫做划分数p(n)。

拉马努金推导出了下面这个用于计算划分数的公式

其中，

这个级数的第一项就是p(n)的一个很好的近似，而拉马努金发现

最后的评论

拉马努金的公式优美、巧妙而独特。有些公式如同神迹，直到今天我们仍不知道拉马努金是怎么得到它们的，这是一个巨大的谜团。

拉马努金的成果主要包括：

解出了没人觉得有解的上古数学谜题启迪并引领了许多现代数学的研究领域，比如数论中模形式的重要性、韦伊猜想（Weil conjectures）、L函数和朗兰兹纲领（Langlands program）黑洞物理、类θ函数、弦论和量子引力理论等物理理论

拉马努金的身体一直不好，最终不幸病逝于1920年。他临终前的工作后来成为黑洞和弦论等复杂物理理论的数学基础。当然，拉马努金没法想象出黑洞这样的东西，但这洽洽凸显出他强大的直觉和天赋。

著名物理学家加来道雄这样评价拉马努金：“拉马努金是整个数学界，甚至可能是整个科学史上最奇怪的人。他如同一颗爆发的超新星，照亮了数学最黑暗、最深刻的角落，然后在 33 岁时不幸被肺结核击倒，就像他的前辈黎曼一样。”

人们把拉马努金的故事改编成了小说和电影，希望他的故事能继续激励年轻人追求数学——不仅作为一门学科，而且作为一门艺术。

本文经授权转载自微信公众号“中科院物理所”，原文链接：Ramanujan: The Greatest Mathematical。

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