求教丨一道貌似浅滩实则深渊的小学数学烧脑题：多集合容斥取极值问题_风闻

引言

一个人把在学校学到的东西全都忘掉之后，剩下来的才是素质（教育）。——阿尔伯特・爱因斯坦

爱因斯坦的这个论断给我以极大的震动和启发，并孜孜不倦地在实践中去深入体悟。

以小学数学的习题教学来说，什么是学校（广义吧，校外培训也算，从他人处学习也算）学到的东西呢？什么是忘掉这些东西后剩下来的素质（教育）呢？

愚见以为：具体习题的具体解法是学校学到的东西，而忘了那些解法之后剩下的能自主思考、独立探索出也即靠自己能“重新发明”出解题思路及其解法的能力就是素质（教育）。

遗憾的是，当前的小学数学的习题教学，学生们学到的就只是具体习题的具体解法而已，忘了它们就什么都不剩了，根本鲜有习得“素养（教育）”的。

一切取得重要成果的漂亮工作，其过程中总是充满了艰辛的在迷茫中的摸索并经历了很多次的失败。——融合曹则贤和其它学者的体会而作的一个“事实陈述”

要习得“素养（教育）”，首先就要求学生要坚持自主思考、独立探索，其次也要求老师展示在没有预知思路及其解法（真的，或假想的）的情况下对于解题思路及其解法的思考和探索过程尤其是其中的“混乱、模糊和误入歧途”，这些才是教学中最应该讲习的也是最有价值的内容，是学生习得“素养（教育）”的关键，或者说，学生从这些内容中才能习得爱因斯坦所说的那种“素质（教育）”。

本文所讨论的当前小学数学习题教学中的“多集合容斥取极值问题”就是一块试金石。

该问题甚至在公考中也有，所以我怀疑该类问题是“渗透”到我们的小学数学的习题教学中的，美其名曰“思维训练”。但在我看来，在“多集合容斥取极值问题”的教学（以习题讲解的方式开展）中，根本没有起到“思维训练”的作用，或者说在“思维训练”上成效甚微。

因为，在我视野所及的所有老师（其中不乏顶着985名校甚至是T2光环的和/或TOP机构明星讲师名头的以及获得各种教学名师头衔的教学经验丰富的老师）的对“多集合容斥取极值问题”的讲解（通过视频号）中，基本全是直接教解法的，或者说，是在就解法讲解法——也即只是对于解法的呈现（稍好点的还会加入一些解释说明），而根本不涉及该解法是如何得来的过程。

其间原因，我的判断是：老师们所讲的解法也只不过是TA们学来的而已，根本不是自己自主思考、独立探索出来的。当然，学来的其实也情有可原（还得尊重现实不是？！），关键是TA们学来解法后就不求甚解，不去深思和理清解法的创造过程，于是，也就只能就解法讲解法了。

如是，则所谓的“思维训练”也就只能流于表面了，学生学到的也就只不过是作为知识的解法而已，而如何创造解法/知识的know-how——这才是“思维训练”的题中应有之义和最有价值之处——一点也学不到。

另外，视野所及，虽也有个别讲师会对解法背后的道理（思路）作一番解释说明，但以我判断，均是言不及义的，都没有讲通透。

愚虽不才，却敢于为难为之事，尝试着通过自主思考、独立探索去想通问题，“重新发明”解题思路及其解法。

金一南将军说：“做难事必有所得。”此言诚不我欺也！我在对“多集合容斥取极值问题”解题思路及其解法的自主思考、独立探索中所得甚丰、甚大，具体可参见我对“多集合容斥取极值问题”的原始思考和探索过程的诚实记录：“基本原理”之“板桥画论：意在笔先，趣在法外”（三）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问。

当然，由于本人资质平平（有利有弊，其利在于笨人肯——也只能——下狠功夫，且愿意诚实面对自己的笨，这样去深入思考反而可能有意外之得；其弊在于有些关键地方费了牛劲才能弄通），感觉自己想通透了，但却又不太敢肯定自己想得是对的。我这386的脑子想得都快烧掉了。

故特此向各位学友高人请教这个“多集合容斥取极值问题”的解法背后的道理（思路的由来）究竟是什么和怎样的。

正文

题曰：

某班有60人，其中：43人会骑车，45人会游泳，50人会溜冰，48人会足球。问：至少有几人四项都会？

这道题的解法非常简单，都被编成口诀了：反向，求和，作差。

具体解法如下。

解：

由题设可求得：

不会骑车的有：60-43=17（人）

不会游泳的有：60-45=15（人）

不会骑车的有：60-50=10（人）

不会游泳的有：60-48=12（人）

则“‘至少有一项不会’者”（“非‘四项都会’者”）最多有：

17+15+10+12=54（人）

则，“‘四项都会’者”至少有：

60-54=6（人）

**答：**至少有6人四项都会。

关键是其中的道理何在？其思路究竟是怎样的？究竟是在何种“前提条件”下“‘至少有一项不会’者”（“非‘四项都会’者”）人数取到了最大值？这一“前提条件”又是如何分析得来的？

为了说明我的疑惑，我先呈上三个让我初听时感觉羞愧（以为如斯简单我却不明白）进而越想越糊涂的讲解。

其一：

题设：一个班40人。38人数学满分，37人语文满分，39人英语满分。问：至少有几人三科都是满分？

讲解：

……（读题，略）问题呢，重点在这个“至少”，它不是“至多”，也不是“一般情况”，它问的是“‘至少’有几人”，也就是“最少”呗。

这道题你直接去求是不太好求的，那怎么办呢？一招，逆向思维轻松搞定。

……（分别计算数学、语文、英语没有满分的人数）数学没有满分的有2人，语文没有满分的有3人，英语没有满分的有1人，将这些未得满分的加在一起是2+3+1=6(人)，那这6个人它代表的是没有满分的，它问我们的是至少有几人都满分，所以说我们把“2+3+1=6(人)”看作“最多”的一种情况，就(是说)6个人没有满分是“最多”的情况，那么，总人数40人减掉没有满分“最多”的情况，剩下来的就是满分的最少的情况，40-6=34（人）。至少34人三科都满分。

——转引自微信视频号“某某老师思维训练”（作者的自我标签是：北师大数学硕士、十数年教学经验）

且不苛求其在语言表述上的不严谨、不明晰（如前面的将“均有一科未得满分的有6”表述为“6个人是没有满分的”、后面的将“非‘三科都满分’者最多有6人”表述为“6个人没有满分是‘最多’的情况”）给听讲者造成的理解上的障碍，仅就其思路中的逻辑来说，就是匪夷所思的：

居然用题设所问“至少有几人三科都满分”当作“2+3+1=6(人)”就是“非‘三科都满分’者最多有6人”的原因/理据/由来（见其“它问的是……所以把……看作……”的表述），这不是倒果为因吗？！真是令人“不明所以”。

另外，该讲解没有解释的是：由“2+3+1=6(人)”算得的这个她表述为“未得满分者”的人数明明是一个确定的数值，但为什么却又说它是在一个取值范围内的不确定的数值（虽然可由所问“至少”推测必有“最多”故而确认存在取值范围，但这于思路来说恐怕属于“作弊”吧）？这一点在讲解中以倒果为因的方式仅用“看作”两个字含糊过去了。

其二：

其二：

题设：某班有60人。42人会游泳，46人会骑车，50人会轮滑，55人会下棋。问：至少有几人四项都会？

讲解：

先破解/翻译所问“至少几人四项都会”，“四项都会”的“反面”（逆向思维，正难则反）是“至少有一项不会”，也即是说，但凡有一项不会就不能算作“四项都会”。

然后将不会其中某一项的合计人数47人（其中：不会游泳者18人、不会骑车者14人，不会轮滑者10人，不会下棋者5人。转引注）视为“‘至少有一项不会者’的人数”。

所以，“总人数”即60人减去“‘至少有一项不会者’的人数”即47人算得的余下的13人就是“‘四项都会者’的‘至少’人数”，也就是说，“‘至少’有13人四项都会”。

——转引自微信视频号“某某老师教思维”（作者的自我标签是：985厦门大学毕业、前top机构明星讲师、十数年教学经验）

乍一听，感觉好有道理啊。但是仔细一想，不对啊，他所计算出的数值全是确定的数啊，拿确定的数去作运算得到的还是确定的数啊。而题目所求甚至都已经提示了所求对象的数值应该是一个取值范围，但在某种情况下取到最大值。所以思路中肯定要出现“取值范围”啊。具体说就是，得找到并澄清“‘至少有一项不会’者”（“非‘四项都会’者”）在什么取值范围内，并且在什么样的情况下其取到最大值。讲师没交代，不知是觉得学生理解不了所以不教，还是自己根本未深思过，或者深思过却未想明白于是只能不懂装懂地“以其昏昏使人昭昭”。

其三：

可往视频号“上官影荀”（教“公考”的讲师）观看视频

这位分享公考解题经验的小姐姐是我众里寻他千百度之下才偶遇的一个讲题高人，她对这类“多集合容斥取极值问题”的讲解碾压我所看到的所有教小学数学的讲师。当然，以我想通透（我自以为的，不知是否确实通透）之后的后见之明来看，她的讲解形似而实非，未及究竟，未达根本。

我经过了零零散散地时间加在一起大概总计时长至少5小时的思索之后，才自我感觉想通透了，但由于我的思路需要以特别复杂拗口的表述才能说清楚，而鉴于“精炼”原则，故而怀疑我虽然想明白了，但可能想多了，所以我又不太敢确定自己想到的思路尤其是其中的关键环节是否正确，以及有无更精炼的思路尤其是其表述。

在看我呈上的自己的思路之前，恳请各位自己先深入思考一下，以免被我带偏。

板桥画竹（与本文主题不甚相关，仅作隔离上下文用）

文字表述版本的思路我就不帖了（文中很多字里行间的“注文”，帖这里不能与主文区分，阅读体验会比较差），感兴趣的可以阅读原文（全文约3.8万字，“思路梳理”在后半部分——使劲划拉吧）。

这里贴上我想明白之后才能作出来的文氏图（韦恩图）图解版本。

是不是太复杂？

正因为其过于复杂，所以我怀疑我的思路是不是疏漏了啥约束条件致使其不够精炼。