求教丨我在“牛吃草问题”（号称小学最难）的变型题上遭遇的一个困惑/悖论_风闻

引言

一个人把在学校学到的东西全都忘掉之后，剩下来的才是素质（教育）。——阿尔伯特・爱因斯坦

爱因斯坦的这个论断给我以极大的震动和启发，并孜孜不倦地在实践中去深入体悟。

以小学数学的习题教学来说，什么是学校（广义吧，校外培训也算，从他人处学习也算）学到的东西呢？什么是忘掉这些东西后剩下来的素质（教育）呢？

愚见以为：具体习题的具体解法是学校学到的东西，而忘了那些解法之后剩下的能自主思考、独立探索出也即靠自己能“重新发明”出解题思路及其解法的能力就是素质（教育）。

遗憾的是，当前的小学数学的习题教学，学生们学到的就只是具体习题的具体解法而已，忘了它们就什么都不剩了，根本鲜有习得“素养（教育）”的。

一切取得重要成果的漂亮工作，其过程中总是充满了艰辛的在迷茫中的摸索并经历了很多次的失败。——融合曹则贤和其它学者的体会而作的一个“事实陈述”

要习得“素养（教育）”，首先就要求学生要坚持自主思考、独立探索，其次也要求老师展示在没有预知思路及其解法（真的，或假想的）的情况下对于解题思路及其解法的思考和探索过程尤其是其中的“混乱、模糊和误入歧途”，这些才是教学中最应该讲习的也是最有价值的内容，是学生习得“素养（教育）”的关键，或者说，学生从这些内容中才能习得爱因斯坦所说的那种“素质（教育）”。

本文所讨论的当前小学数学习题教学中的“牛吃草问题”就是一块试金石。

艾萨克·牛顿在其所著《普通算术》中提出了一类问题，按其性质属于“消长问题”，由于是牛顿首提，故被称为“牛顿问题”，且由于牛爵爷亲自以“牛吃草”情景编了一道题目，遂在后世流传中被俗称为“牛吃草问题”。

当前，“牛吃草问题”已渗透到我们的小学数学中，美其名曰“思维训练”。但在我看来，在“牛吃草问题”的教学（以习题讲解的方式开展）中，根本没有起到“思维训练”的作用，或者说在“思维训练”上成效甚微。

因为，在我视野所及的所有老师（其中不乏顶着985名校甚至是T2光环的和/或TOP机构明星讲师名头的以及获得各种教学名师头衔的教学经验丰富的老师）的对“牛吃草问题”的讲解（通过视频号）中，基本全是直接教解法的，或者说，是在就解法讲解法——也即只是对于解法的呈现（稍好点的还会加入一些解释说明），而根本不涉及该解法是如何得来的过程。

其间原因，我的判断是：老师们所讲的解法也只不过是TA们学来的而已，根本不是自己自主思考、独立探索出来的。当然，学来的其实也情有可原（还得尊重现实不是？！），关键是TA们学来解法后就不求甚解，不去深思和理清解法的创造过程，于是，也就只能就解法讲解法了。

如是，则所谓的“思维训练”也就只能流于表面了，学生学到的也就只不过是作为知识的解法而已，而如何创造解法/知识的know-how——这才是“思维训练”的题中应有之义和最有价值之处——一点也学不到。而这样，恐怕也辜负了牛爵爷的一番苦心和美意。

愚虽不才，却敢于为难为之事，尝试着通过自主思考、独立探索去想通问题，“重新发明”解题思路及其解法。

金一南将军说：“做难事必有所得。”此言诚不我欺也！我在对“牛吃草问题”解题思路及其解法的自主思考、独立探索中所得甚丰、甚大，具体可参见我对“牛吃草问题”及其变型问题的原始思考和探索过程的诚实记录：“基本原理”之“板桥画论：意在笔先，趣在法外”（二）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问。

当然，由于本人资质平平（有利有弊，其利在于笨人肯——也只能——下狠功夫，且愿意诚实面对自己的笨，这样去深入思考反而可能有意外之得；其弊在于有些关键地方费了牛劲才能弄通，而且还有弄不通的，比如接下来要说的），难免有想不通透之处。本文将要向各位学友高人请教的就是我在“牛吃草问题”（号称小学最难）的变型题上遭遇的一个困惑/悖论。

正文

我在“牛吃草问题”（号称小学最难）的变型题上遭遇到一个困惑/悖论，于此请教各位学友高人。

题曰：

有三块草地，面积分别为5公顷、6公顷和8公顷，草地上的草一样厚，而且生长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天?

在看以下将要描述的我所遭遇的困惑/悖论——先要阐明我的思路和解法——之前，恳请各位先自己深入思考一下，想通了有了自己的定见之后再来审阅我的“思索过程”，这样或许更能对我的偏误和疏漏之处洞幽烛微。

板桥画竹（与本文主题不甚相关，仅作隔离上下文用）

有了解决“牛吃草问题”原型题（即牛顿所编的那道基础题）以及其它变式/变型题的经验（参见：“基本原理”之“板桥画论：意在笔先，趣在法外”（二）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问），很自然（？或许吧）就能想到下述这种思路。

【想通“牛吃草问题”原型题解题思路的首要一步在于找到“草的消耗速度”也即“牛吃草的速度”的合宜的表示方式，这个表示方式是：每头牛每天吃的草的数量，其中，数量可计为“1单位”或“1份”——“1”为“数量”之“数”的值、“单位”或“份”为“计量单位的虚拟指代”。故而“草的消耗速度”也即“牛吃草的速度”可表达为“1份/头·天”，这是想通解题思路的关键的第一步，我是借鉴了“量纲分析”的方式才想通这一点的，而且我认为必须且唯有以“量纲分析”才能得到可将“牛吃草的速度”假定为“1份/头·天”的这一认识。但几乎所有对“牛吃草问题”的讲解一上来就是直接端出此一假定，虽然，犹如猜谜语揭开谜底了其实也很好理解，直接给出这个假定后，对其理解也没什么难度，是“只知其然而不知其所以然”的，是“不究竟”的。以这种不求甚解的教学态度和方式，怎能教出有创造力的学生呢！】

其大方向-第一步为：

将面积不同的三块草地“统一”为面积相同的三块草地，继而可将三块面积相同的草地视为/等同于一块（面积不变的）草地；

“统一”方式大致有两种（其实或许是N种，但仅取其中两个容易想到且方便计算的路径），其一为将5公顷、6公顷、8公顷“统一”为1公顷，其二为将5公顷、6公顷、8公顷“统一”为120公顷（120为5、6、8的最小公倍数）。

其关键处-第二步为：

因应草地面积的变化/缩放，同步对原各草地面积可供多少头牛吃多少天中的牛数和天数进行调整，其原则是使得变化前后的两种情况等价（比如：“5公顷草地可供11头牛吃10天”与“120公顷草地可供N头牛吃D天”必须是等价的）。

其第三步为：

按照“牛吃草问题”原型题的解法算出统一的草地面积情况下第三种情形中的未知天数，算得的天数即为题设所求之天数（我的原始思考中这一步还得继续做一下转化，即：将按照统一的草地面积情况下算得的天数按照草地面积的缩放倍数再缩放还原，还原后的天数才是题设所求之天数。这与我遭遇的困惑/悖论有关）。

我遭遇的困惑/悖论在第二步中，以下是其具体描述（三种情形的道理相同，所以以下仅取其中一种情形作为代表，对其作出说明）：

要使得“5公顷草地可供11头牛吃10天”与“120公顷草地可供N头牛吃D天”等价，则N、D分别是多少呢？

我的原始思路是“思想实验”：120公顷草地相当于24个5公顷草地的合并，而每个5公顷草地可供11头牛吃10天，那24个这样的“5公顷草地可供11头牛吃10天”合并后，岂不就是“120公顷草地可供11✖24头牛吃10✖24天”吗？

但，正确的转换是“120公顷草地可供11✖24头牛吃10天”，也就是说，只有牛数随草地面积数的变化同步作同等变化而天数保持不变。

我的困惑就是：“只有牛数随草地面积数的变化同步作同等变化而天数保持不变”与“牛数与天数二者均随草地面积数的变化同步作同等变化”，到底哪个是正确的。

言其悖论缘于：我感觉上述“思想实验”没问题啊，但那样又确实会算得错误的结果（与以方程组的解法算出的确定为正确的结果比较一下即可知）。

为了凸显，我将上述“思想实验”再复制在此：

120公顷草地相当于24个5公顷草地的合并，而每个5公顷草地可供11头牛吃10天，那24个这样的“5公顷草地可供11头牛吃10天”合并后，就是“120公顷草地可供11✖24头牛吃10✖24天”。

这其中有什么问题吗？好像没有。

敬请各位学友高人指点迷津。

心里实验工具“迷津”

（图文无关，仅作隔离上下文用，后文/下一页是我写本文时突然自己想通了的过程）

后记

（接上文）

对了，这是从正面/以正向思维去“实验”的，如果不放心，那还可以从反面/以逆向思维去“实验”一下以进一步证明该“思想实验”没毛病。

反向“思想实验”如下：

将120公顷草地切分为24个5公顷的片区，这就是草地面积的变化了，即5✖24=120；然后在每个片区上放11头牛，这样120公顷草地上的牛数可不就是同步作了11✖24=264的变化了嘛；然后就是让每片5公顷草地上的11头牛都同时开吃，也就是120公顷上的264头牛都开吃，够吃几天呢？每片5公顷的草地够其上的11头牛吃10天，那么所有24片草地也即120公顷的草地够全部264头牛吃的天数自然是……咦~~~不对啊，不是11✖24啊，还真就只是11天哦——也即天数是保持不变的（不跟随草地面积的变化而变化），因为24片草地中的每片草地上的11头牛都在10天内将草吃完了，此时，所有24片草地上的草都被吃完了，而吃掉这些草的是全部264头牛吃，也就是说，5✖24=120公顷草地上的11✖24=264头牛在10天内就将草吃完了，按题设其它两种情形的表述的格式就是“120公顷草地可供264头牛吃10天”。

奇了怪了，为什么当时没想明白呢？为什么当时就没想到继续做个“反向‘思想实验’”再深入验证一下呢？想来可能是当时太晚了，大脑倦怠了，导致思维不够活跃、敏锐。当然，更有可能是我确实迟钝。

如果当时就做了，也不至于现在闹了个乌龙——本来是为了求教却在为了极力表述清楚自己的困惑的过程中自己突然意外想通了。

由此可见：

我坚持的将“思维训练”的着力点放在“语言表述”上的方法和实践（“题海拾贝篇：以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问”）还是很有道理的。

其中的道理在于：

思维是依赖于语言的，没有语言或许就没有或者说无所谓思维了；

语言既是思维的载体又或是思维的本体，“能被思维者和能存在者是同一的”；

所以可以说，语言表述不通处即是思路不通处，思路不通处即是语言表述不通处；

故而，要想打通思路，一个可入手的路径是在语言表述上作文章——比如“切换视角、转换表述”。

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尾注

标题名称就不改了，因为原本就是真心为了求教的。虽然我自己意外想通了，但那也可能只不过是其中其中方式，或许，还有其它的方式/解释路径来解我先前之困惑，若幸蒙赐教，则亦得进益。

​附：我对该题原始“思索过程”的诚实记录

（建议阅读原文，因为：原文的字里行间有很多注释，而风闻的文本编辑器不能将其与主文明显地区分开来）

审题后发现，此亦为“牛吃草问题”，情境都还是“牛吃草”，但却是“变型”，而且所变甚大，因为草地都不一样了，这意味着“存量”在三者之间亦有变化，而且“变量”（此处为增量，下文称“增量”）之“变”也更复杂了，除了在每种情形之中随时间变化之外，在三种情形变换之间也有变化——因为“存量”不同了也即变化的“基数”不同了（同样的生长速度，面积不同的草地在相同时间内长出的草量是不同的：草地面积越大，新长的草量越大。也即：在相同的“增量增速”下，“存量”越大，下同一时间内的“增量”越大）。

所以，首先要统一“存量”。如何统一呢？

以“过程还原、切换视角、转换表述”这一“基本原理”为指引来思考，我们可以想到两个思路来完成这个统一。

思路一：将三种情形下算得的“总量”均换算为单位面积即1公顷草地情形下的“总量”。

其计算方法为：将各个“总量”分别除以各自的草地面积即公顷之数即可。

思路二：取三块草地的公顷数5、6、8的最小公倍数120，算得120与5、6、8的商分别为24、20、15，将三种情形下算得的“总量”均换算为120公顷草地——也即将三块不同面积的草地变换为面积相同的草地——情形下的“总量”。

其计算方法有二：

其一，将各个“总量”分别乘以最小公倍数与各草地自身公顷数之商即可【对5公顷的草地，则将从中算得的“总量”乘以24（120÷5=24）；对6公顷的草地，则将从中算得的“总量”乘以20（120÷6=20）；对8公顷的草地，则将从中算得的“总量”乘以15（120÷8=15）】。；

其二，将三种情形——即三块面积不同的草地——中的牛数或天数分别乘以最小公倍数与各草地自身公顷数之商得到新的牛数或天数，然后以此牛数或天数算得的总量即相等于120公顷草地情形下的“总量”【若选择调整牛数，计算过程为：在“5公顷的草地供11头牛吃10天”的情形下，牛变换为264（11×24=264）头，则“总量”为264×10×1=2640份（假定“总量消耗速度”即“牛吃草速度”为“1份/头·天”），此即将“5公顷的草地供11头牛吃10天”的情形统一到“120公顷的草地供11头牛吃10天”情形下经过换算所得的“总量”；在“6公顷的草地供12头牛吃14天”的情形下，略（与前述情形同理）】；

显然，第一种计算方法更简便，以下取第一种计算方法。

下面分别按照上述两个思路来推进。

按“思路一”推进

“思路一”是什么呢？我们回看一下。

咦~~~，“思路一”只思考到算得“总量”啊，还没有思考统一“存量”的思路及其计算啊。还得先完成这未完的工作。

按“思路一”，则有——记“总量消耗速度V总量为1份/头·天”：

“5公顷的草地可供11头牛吃10天”情形下的“总量甲”为：

11头×10天×1份/头·天=110份

将其换算为“1公顷的草地可供11头牛吃10天”情形下的“总量”为：

110÷5=22（份）

【带单位计算则为：110份÷(5公顷÷1公顷)=22份】

“6公顷的草地可供12头牛吃14天”情形下的“总量乙”为：

12头×14天×1份/头·天=168份

将其换算为“1公顷的草地可供12头牛吃14天”情形下的“总量”为：

168÷5=33.6（份）

【带单位计算则为：略（同上）】

33.6-22=11.6（份）

14-10=4（天）

则统一后——即“1公顷的草地可供11头牛吃10天、可供12头牛吃14天”——的“存量”……咦，似乎不对啊，题设“5公顷的草地可供11头牛吃10天”，也就是说，“5公顷”的草地“才可”供11头牛吃10天啊，也即可供11头牛吃10天的草地面积是5公顷啊，1公顷是不够11头牛吃10天的啊，这说明前述思路中有疏漏之处。

回头审视一下前述思路。

……

发现在“思路二”中的第二种计算方法中提到：

“将三种情形——即三块面积不同的草地——中的牛数或天数分别乘以最小公倍数与各草地自身公顷数之商得到新的牛数或天数”。

其中的“牛数或天数分别乘以……得到新的牛数或天数”是说：

牛数和天数也是可以随公顷数的调整而调整的。

这提醒了：

其实，牛数或天数必须有一个随公顷数调整才能使调整前后的两种情形等价。

其中的道理在于：

草地面积的变化必须与草量消耗速度的变化匹配才能使变化前后等价，而后者匹配前者的变化决定于牛数与天数二者之中有且仅有一个随着变化；

想象一下（“思想实验”——科学研究中经常采用的方法），以“5公顷的草地可供11头牛吃10天”的情形为例（以“6公顷的草地可供12头牛吃14天”的情形为例也将是同样的道理），假若草地面积是10公顷呢，这相等于又多出了一个5公顷的草地，这多出的5公顷草地同样可供11头牛吃10天，则10公顷草地就可供22头牛吃20天（由此可反思得知前面作出的“牛数与天数二者之中有且仅有一个随着变化”的结论/判断/预测仍是有疏漏的），这说明，一个情形中的草地面积数、牛数、天数这三者必须同步作相同变化（示例为“倍增”）才可使得变化前后的情形等价；

类比地，可用思想实验检验一下调整为1公顷时的情况——用逆向思维来分析思考，先让“5公顷的草地可供11头牛吃10天”中的草地面积数、牛数、天数这三者均同步作同样的变化即将其都除以5（或：变为原来的1/5），则有“1（5÷5=1）公顷的草地可供2.2（11÷5=2.2）头牛吃2（10÷5=2）天”，草地面积由1公顷变为5公顷相当于有5个1公顷的草地，每个1公顷的草地可供2.2头牛吃2天，则以将5个1公顷进行合并的方式复原为5公顷后，草地面积为5（1+1+1+1+1=1×5=5）公顷、牛为11头（2.2+2.2+2.2+2.2+2.2=2.2×5=11）、天数为10（2+2+2+2+2=2×5=10）天，与原情形一致，故，前述“一个情形中的草地面积数、牛数、天数这三者必须同步作相同变化才可使得变化前后的情形等价”的结论/判断是正确的。

“思路一”既有疏漏，则“思路二”中亦有同样疏漏。

下面，根据上述对疏漏的修正，重新表述一下思路。

目标也需要调整：

统一的是“草地面积”（而不再是“存量”），也即将三块面积不同的草地统一为三块面积相等的草地继而可以将其视为一块草地——“可供Q头牛吃D天”中的Q与D也随草地面积同步作同样的变化，如此，则“总量、”“存量”、“增量”、“增量增速”、“总量消耗速度”也就都统一了——也同步不作了同样的（不敢再武断了，这里的“同样的”仅当暂时的判断/预测，是否正确，待后面计算时检验）变化。

思路一：

首先，将三块面积不同的分别为5公顷、6公顷、8公顷的草地统一为三块面积相等的均为1公顷的草地，并同步对“可供Q头牛吃D天”中的Q与D作同样的变化——分别除以5、6、8；

继而，就可采用与“牛吃草问题”的“原型”题相同的思路和解法了，但要记得，求解出的是1公顷草地可供19/8（19÷8=19/8）头牛吃的天数；

最后，作“情形复原”，1公顷面积复原为8公顷是倍以8，则牛的数量也将19/8头倍以8复原为19头，天数也要将求得的天数倍以8复原为原本所求的天数。

思路二：

首先，将三块面积不同的分别为5公顷、6公顷、8公顷的草地统一为三块面积相等的均为120（5、6、8的最小公倍数）公顷的草地，并同步对“可供Q头牛吃D天”中的Q与D作同样的变化——分别乘以24、20、15（此三数分别为5、6、8的最小公倍数与5、6、8的商）；

继而，就可采用与“牛吃草问题”的“原型”题相同的思路和解法了，但要记得，求解出的是120公顷草地可供285（19×15=285）头牛吃的天数；

最后，作“情形复原”，120公顷面积复原为8公顷是除以15，则牛的数量也将285头除以15复原为19头，天数也要将求得的天数除以15复原为原本所求的天数。

具体计算过程，略（在“答题表述”中还得再呈现，为避免重复，此处就略了）。

答题表述-思路一

解：

记8公顷草地可供19头牛吃的天数为D。

由：

5÷1=5，6÷1=6，8÷1=8

得：

5÷1=5，11÷5=2.2，10÷5=2；

6÷1=6，12÷6=2，14÷6=7/3；

8÷1=8，19÷8=19/8，D÷8=M/8。

则：

“5公顷草地可供11头牛吃10天”

等价于

“1公顷草地可供2.2头牛吃2天”；

“6公顷草地可供12头牛吃14天”

等价于

“1公顷草地可供2头牛吃7/3天”；

“8公顷草地可供19头牛吃D天”

等价于

“1公顷草地可供19/8头牛吃D/8天”。

由此可知：

1公顷草地可供2.2头牛吃2天、可供2头牛吃7/3天、可供19/8头牛吃D/8天。

记牛吃草的速度为：V总量，设定其为：1份/头·天。

记草的生长速度为：V增量，单位：份/天。

记1公顷草地原有的草量为：C，单位：份。

记1公顷草地分别被2.2头求吃2天和2头牛吃7/3天以及19/8头牛吃D/8天所吃掉的草的总量分别为：Z甲，Z乙，Z丙，并记其中新长的草量即草量的变化量（增量）分别为：B甲、B乙、B丙。

则可通过如下计算：

Z甲=2.2头×2天×1份/头·天=4.4份

Z乙=2头×7/3天×1份/头·天=14/3份

Z乙-Z甲=14/3-4.4=0.8/3=4/15（份）

7/3-2=1/3（天）

V增量=4/15份÷1/3天=0.8份/天

C=4.4-0.8×2=4.4-1.6=2.8（份）

算得草的生长速度为0.8份/天、1公顷草地原有的草量为1.6份。

据此则可通过如下计算：

0.8份/天÷1份/头·天=0.8头

19/8-0.8=63/40（头）

D/8=2.8份÷(63/40头×1份/头·天)=112/63天

算得1公顷草地可供19/8头牛吃112/63天。

则，8公顷草地可供19头牛吃的天数D为

D=112/63×8=896/63（天）

答：8公顷草地可供19头牛吃896/63天。

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突发灵感，想到一个新思路：

【既然“统一”有点麻烦，那就不统一了呗，反正我们主要是要先求得“存量”和“增量的增速”，而求得“增量的增速”的目的在于算第三种情形中的“增量”。而“存量”总是与草地面积线性相关的——与草地面积的变化的倍数成相同倍数的变化，“增量”总是与草地面积和时间同时线性相关的——与草地面积的变化的倍数和时间的变化的倍数之积所得的倍数成相同倍数的变化。这就意味着：……（如下文）】

只要求得单位面积的草地的“存量”以及单位面积的草地在单位时间内的“增量”就可以了——此“存量”和此“增量”是“不变量”在三种情形下是通用的；

继而以此求得第三种情形下的“总量”；

最后以此“总量”除以“总量消耗速度”即“牛吃草的速度”（1份/头·天）即可算得所求之天数。

【以上为新思路的大要，在作完“思路二”的答题表述后再以“答题表述-思路三”对其进行展开，检验一下其是否正确及是否可行。】

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答题表述-思路二

解：

记8公顷草地可供19头牛吃的天数为D。

因：5、6、8的最小公倍数为120

由：

120÷5=24，120÷6=20，120÷8=15

得：

5×24=120，11×24=264，10×24=240；

6×20=120，12×20=240，14×20=280；

8×15=120，19×15=285，D×15=15D；

则：

“5公顷草地可供11头牛吃10天”

等价于

“120公顷草地可供264头牛吃240天”；

“6公顷草地可供12头牛吃14天”

等价于

“120公顷草地可供240头牛吃280天”；

“8公顷草地可供19头牛吃D天”

等价于

“120公顷草地可供285头牛吃15D天”。

由此可知：

120公顷草地可供264头牛吃240天、可供240头牛吃280天、可供285头牛吃15D天。

记牛吃草的速度为：V总量，设定其为：1份/头·天。

记草的生长速度为：V增量，单位：份/天。

记120公顷草地原有的草量为：C，单位：份。

记120公顷草地分别被264头牛吃240天、240头牛吃280天、285头牛吃15D天所吃掉的草的总量分别为：Z甲，Z乙，Z丙，并记其中新长的草量即草量的变化量（增量）分别为：B甲、B乙、B丙。

则可通过如下计算：

Z甲=264头×240天×1份/头·天=63360份

Z乙=240头×280天×1份/头·天=67200份

Z乙-Z甲=67200-63360=3840（份）

280-240=40（天）

V增量=3840份÷40天=96份/天

C=63360份-96份/天×240天=40320份

算得草的生长速度为96份/天、120公顷草地原有的草量为40320份。

据此则可通过如下计算：

96份/天÷1份/头·天=96头

285-96=189（头）

15D=40320份÷(189头×1份/头·天)=40320/189天

算得120公顷草地可供285头牛吃40320/189天。

则，8公顷草地可供19头牛吃的天数D为

D=40320/189÷15=2688/189=896/63天

答：8公顷草地可供19头牛吃896/63天。

答题表述-思路三

【现在来完成在作完“思路一”的答题表述后突发灵感想到的那个新思路：先求得单位面积的草地的“存量”以及单位面积的草地在单位时间内的“增量”，继而以此求得第三种情形下的“总量”，最后以此“总量”除以“总量消耗速度”即“牛吃草的速度”（1份/头·天）即可算得所求之天数。】

解：

记8公顷草地可供19头牛吃的天数为D。

……

由此可知：

1公顷草地可供2.2头牛吃2天、可供2头牛吃7/3天、可供19/8头牛吃D/8天。

★★★★★★★★★★★★★★

喔哦~~~灵感又来了，又有了一个新的想法。

【上文省略号省略的是拟将“思路一”的答题表述复制于此的内容（“思路三”的答题表述计划在此内容上修改而成，这样是为了图省事——很多内容不用再重写一遍了），但复制后看到保留于上面的这句话（加黑）时，“节外生枝”了——又来了一灵感。】

“1公顷草地可供2.2头牛吃2天、可供2头牛吃7/3天、可供19/8头牛吃D/8天。”

这一表述似乎隐秘地暗示着又一个新思路——或许可发展为“思路四”。下面就来试试看吧。

既然1公顷草地可供2.2头牛吃2天，那么按照“思路一”和“思路二”中的“切分-合并”、“倍增-均分”的“思想实验”的结论可推导得到：

8公顷草地可供17.6头牛吃16天（8个“1公顷草地可供2.2头牛吃2天”合并，1×8=8，2.2×8=17.6，2×8=16）。记此为情形一。

题目所求为：

“8公顷草地可供19头牛吃多少天”。记此为情形二。

情形一与情形二中牛吃掉的草的“总量”应该是相等的，……

【省略掉的内容是：则，17.6头×16天×1份/头·天=19头×D天×1份/头·天，算得D=……。】

诶~~~不对，总量好像不相等，不，不是“好像”，而是“就是”不相等，因为天数不一样啊，所以“增量”不一样，而“存量”是相同的，所以“总量”（“存量”与“增量”之和）就是不相等的。

因此，这个“思路四”是错的。

★★★★★★★★★★★★★★

【以下接着前面被新想法中断之处继续作“思路三”的“答题表述”。】

记牛吃草的速度（即草的“总量”的消耗速度）为：V总耗，设定其为：1份/头·天。

记5公顷、6公顷、8公顷三块草地草量增速分别为：V增甲、V增乙、V增丙，单位均为：份/天。

记单位面积草的生长速度为：V单长，单位：份/天·公顷。

记单位面积草地的草的“存量”为：C，单位：份/公顷，并记三块草地的草的“存量”分别为：C甲、C乙、C丙，单位均为：份。

记5公顷草地被11头求吃10天、6公顷草地被12头牛吃14天以及8公顷草地被19头牛吃D天三种情形中各自被吃掉的草的“总量”分别为：Z甲，Z乙，Z丙，并记其中新长的草量即草的增量分别为：B甲、B乙、B丙。

则可通过如下计算：

Z甲=11头×10天×1份/头·天=110份

Z乙=12头×14天×1份/头·天=168份

Z乙-Z甲=168-110=58（份）

14-10=4（天）

V增甲=58份÷4天=14.5份/天

V单长=58份÷4天÷5公顷=2.9份/天·公顷

C甲=110-14.5×10=110-145=……

咦~~~不对，“总量”（110份）怎么比“增量”（145份）还少呢！肯定出错了。

回溯检查一下。

……

哦，对，草地面积不一样，所以算相差天数内的“增量”差是不能直接将Z乙减Z甲的。把这茬给忘了（可能是受到“思路四”带来的兴奋劲儿的影响，也可能是还沉浸在“思路一”和“思路二”因作了统一而使得草地面积相同之下的思考余波中，……）。

那就从头再来吧。

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>

解：

记8公顷草地可供19头牛吃的天数为D。

记牛吃草的速度（即草的“总量”的消耗速度）为：V总耗，设定其为：1份/头·天。

记5公顷、6公顷、8公顷三块草地草量增速分别为：V增甲、V增乙、V增丙，单位均为：份/天。

记单位面积草的生长速度为：V单长，单位：份/天·公顷。

记单位面积草地的草的“存量”为：C，单位：份/公顷，并记三块草地的草的“存量”分别为：C甲、C乙、C丙，单位均为：份。

记5公顷草地被11头求吃10天（以下简称“情形一”）、6公顷草地被12头牛吃14天（以下简称“情形二”）以及8公顷草地被19头牛吃D天（以下简称“情形三”）三种情形中各自被吃掉的草的“总量”分别为：Z甲，Z乙，Z丙，并记其中新长的草量即草的增量分别为：B甲、B乙、B丙。

由“总量=存量+增量”有：

Z甲=C甲+B甲

Z乙=C乙+B乙

而：

C甲=C份/公顷×5公顷=5C份

C乙=C份/公顷×6公顷=6C份

B甲=V单长份/天·公顷×10天×5公顷=50V单长份

B乙=V单长份/天·公顷×14天×6公顷=84V单长份

又：

Z甲=11头×10天×1份/头·天=110份

Z乙=12头×14天×1份/头·天=168份

则：

5C+50V单长=110

6C+84V单长=168

【诶~~~咋搞成“二元一次方程组”了啊！这个“思路三”有没有算术解法呢？想想，……好像还真没有，这个“思路三”的核心是先通过前两个情形算得“每公顷草每天的‘增量’即‘V单长’”和“每公顷草地的‘存量’即‘C’”，而要算这两个量似乎还必须得用“二元一次方程组”（暂未想到其算术解法）。那就当演练用“二元一次方程组”解决问题吧。顺便用方程组解法求得的结果校核一下用“思路一”和“思路二”求得的结果是否正确。需要校核的原因之一在于：后面“兼听则明”所附的他人的解法中，在用最小公倍数法统一草地面积为120公顷时，随草地面积变化的仅仅是牛的数量与天数这二者其中之一而且他选择的是牛的数量（应该是因为题目所问的是天数），比如，他将“5公顷草地可供11头牛吃10天”转换为（即“等价于”）“120公顷草地可供11×24头牛吃10天”，天数没有随着变为10×24天，而在我们的“思路一”与“思路二”中三者是同步作同样变化的，如在“思路二”中我们作的转换是“120公顷草地可供11×24头牛吃10×24天”，天数是也随着一起作同等变化的。】

解此方程组，得：

C=7份/公顷

V单长=1.5份/天·公顷

【又：

Z丙=C丙+B丙

而：

C丙=7份/公顷×8公顷=56份

B丙=8公顷×D天×1.5份/天·公顷=12D份

Z丙=……

咦，Z丙不能通过除“Z丙=C丙+B丙”方式之外的其它方式算得啊，这就意味着不能求解出D啊（算式只能得到“Z丙=56+12D”，而“Z丙”也是未知，故而不能算得D）。

看来，这一步还是得回到“牛顿问题”的“原题”型的思路——即：分出专责吃/消“增量”的牛与专责吃/消“存量”的牛——去解。】

据此，则可通过如下计算：

C丙=7份/公顷×8公顷=56份

V增丙=1.5份/天·公顷×8公顷=12份/天

12份/天÷1份/头·天=12头

19-12=7（头）

56份÷(1份/头·天×7头)=8天

算得8公顷草地可供19头牛吃8天。

**答：**8公顷草地可供19头牛吃8天。

~~~~~~~~~~~~~~~~~

“思路三”（新思路+方程组解法）及其解答过程经认真审查，可判断为正确，则其算得的结果应该也是正确的。对比“思路一”和“思路二”算得的结果（均为896/63≈14.2···天），可知“思路一”和“思路二”肯定是哪里出错了。

出错的之处最有可能就是“草地面积数、牛数、天数”三者“同步且作同样变化”这里。或许，正确的应该是：“牛数”与“天数”二者中仅有一个（且是“牛数”这个)随草地面积数同步且作同样变化而另一个（且是“天数”这个）保持不变。

但我们对此是做了“思想实验”的啊，而且其中的思考应该说还是非常严谨细致的，应该不会错啊。

先根据“仅牛数随着草地面积数变化而天数不变”来重新作一下“思路二”（“思路一”类同，就不再赘述了）的答题表述吧，看看算得的结果如何再讨论。

~~~~~~~~~~~~~~~~~

答题表述-思路二（修正版）

解：

记8公顷草地可供19头牛吃的天数为D。

因：5、6、8的最小公倍数为120

由：

120÷5=24，120÷6=20，120÷8=15

得：

5×24=120，11×24=264；

6×20=120，12×20=240；

8×15=120，19×15=285；

则：

“5公顷草地可供11头牛吃10天”

等价于

“120公顷草地可供264头牛吃10天”；

“6公顷草地可供12头牛吃14天”

等价于

“120公顷草地可供240头牛吃14天”；

“8公顷草地可供19头牛吃D天”

等价于

“120公顷草地可供285头牛吃D天”。

由此可知：

120公顷草地可供264头牛吃10天、可供240头牛吃14天、可供285头牛吃D天。

记牛吃草的速度为：V总量，设定其为：1份/头·天。

记草的生长速度为：V增量，单位：份/天。

记120公顷草地原有的草量为：C，单位：份。

记120公顷草地分别被264头牛吃10天、240头牛吃14天、285头牛吃D天所吃掉的草的总量分别为：Z甲，Z乙，Z丙，并记其中新长的草量即草量的变化量（增量）分别为：B甲、B乙、B丙。

则可通过如下计算：

Z甲=264头×10天×1份/头·天=2640份

Z乙=240头×14天×1份/头·天=3360份

Z乙-Z甲=3360-2640=720（份）

14-10=4（天）

V增量=720份÷4天=180份/天

C=2640份-180份/天×10天=840份

算得120公顷草地草的生长速度为180份/天、原有的草量为840份。

据此则可通过如下计算：

180份/天÷1份/头·天=180头

285-180=105（头）

D=840份÷(105头×1份/头·天)=8天

算得：

120公顷草地可供285头牛吃8天。

其等价于：

8公顷草地可供19头牛吃8天。

**答：**8公顷草地可供19头牛吃8天。

答题表述-思路二（修正版）

解：

……（与上类同，不再赘述）

**答：**8公顷草地可供19头牛吃8天。

~~~~~~~~~~~~~~~~~

验证得知：

草地面积数、牛数、天数三者同步且作同样变化，错误；

仅牛数随草地面积数同步且作同样变化而天数保持不变，正确。

【仅牛数随着变化的情况上面已证实是正确的，仅天数随着变化的情况我也在草稿上做了演算后发现其是错误的。】

仍是不明：

1、我们是做了非常严谨的“思想实验”才得出了“草地面积数、牛数、天数三者同步且作同样变化”的结论/判断，为什么是错的呢？或者：“思想实验”中的错误是什么呢？

2、为什么随着草地面积数同步且作同样变化的只能仅是“牛数”而不能仅是“天数”呢？【这个问题当中或许还蕴含着什么深刻的学问，值得挖掘】

这会儿脑子有点晕就不恋战了（这次写得时间太久，现在时间也太晚了，都快凌晨3点了，疲累得不行了），将此两个疑问作为留给我们的思考题吧，待我以后想通透后再另文详述吧（本文已经写得太长了，不能再加讨论上述疑问的内容了），大家也可以想想。

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