集合论奠基人康托的“无穷”求索之路_风闻

康托是因何开始了对无穷的研究工作？他的观念有什么革新？其成就对现代数学和哲学产生了怎样的影响？在数学创造的道路上，面对种种选择抑或困难，康托又做出了怎样的抉择？这种抉择的标准和勇气来自何方？他的一生到底是幸还是不幸？

撰文 | 王淑红

康托（G. F. L. P. Cantor，1845-1918）是一位具有非凡想象力和创造力的数学家。

康托

19世纪的数学家们，比如柯西（L. A. Cauchy，1789-1857）、魏尔斯特拉斯（K. T. W. Weierstrass，1815-1897），一直为微积分的严格化殚心竭虑。

魏尔斯特拉斯，被誉为现代分析之父，康托在柏林大学的老师，对康托从事后来的研究产生很大影响。

在这一过程当中，康托抛却了以往的经验与直观，拿起理论论证的武器，冲出了数学中有限性的阻碍，打破了数学中对于无穷的一贯解释和运用方式，创立了全新的集合论和超穷数理论。

那么，康托是因何开始了对无穷的研究工作？他的观念有什么革新？其成就对现代数学和哲学产生了怎样的影响？在数学创造的道路上，面对种种选择抑或困难，康托又做出了怎样的抉择？这种抉择的标准和勇气来自何方？他的一生到底是幸还是不幸？这些都是我们关心的问题。

一

突破无穷概念的壁垒：由潜无穷到实无穷

在康托的年代，有一部分数学家像克罗内克那样不承认无穷，也有一些数学家像高斯那样只承认潜无穷，而不承认实无穷。但数学概念不能只停留在描述的层次上，必须是严格和精确的。于是对无穷的这种探索不仅仅是自然的，而且也是必要的。

哈雷康托的纪念碑

康托在海涅的直接影响下由数论转而研究分析，并很快便取得成果，分别于1870年和1871年在《数学杂志》上发表了论文，证明了函数三角级数表示的唯一性定理，并证明即使在有限个间断点处不收敛，这个定理依旧成立。

海涅

1836年，哈雷大学，海涅建议康托去哈雷大学任教，康托接受了海涅的建议，于1869年入哈雷大学任职，由此康托正式开始研究分析，与分析结下了不解之缘，也从此扎根在哈雷大学，直至1913年退休。

1872年，他在《数学年鉴》上发表了论文《三角级数中一个定理的推广》，把唯一性定理推广到允许例外值为某种无穷集合的情形。由此，他对无穷集合的重要性有了新的认识，开始对无穷集合进行一般理论研究。自此，他开始从对唯一性问题的探讨转向点集论的研究，把无穷点集上升为明确而具体的研究对象。这不仅是他个人研究的一次标志性变化，而且开启了数学发展的一个新时代。康托具有超乎常人的想象力，但我们知道科学需要“大胆假设，小心求证”。因此，有了设想之后，如何使理论变得严谨便成为一个首要和必须解决的问题。

康托为了描述这种无穷集合，引入了一些新概念，比如点集的极限点、点集的导集以及导集的导集等。1872年，他首先用有理数列来构造实数，由此说明，实数跟虚数一样，也是纯粹由人来构造的。

在康托的这一时期的研究生涯中，他有一个志同道合的朋友，那就是戴德金（J. R. Dedekind，1831-1916）。

戴德金

他们结识于1872年，这一年，戴德金出版了《连续性与无理数》一书，用后人所称的“戴德金分割”定义了无理数，建立了完整的实数理论。同样在1872年，康托也讨论了实数问题。因此二人建立起了通信联系。他们都关注实数理论以及集合论，之后经常彼此交流各自的研究进展情况。在1874年康托度蜜月期间，他们初次相遇，并进行了很多数学交流。他们的通信交流一直持续到1882年。

二

无穷观念的再次进阶：由实无穷到超无穷

如果说从潜无穷到实无穷是一次观念的深刻变革，那么从实无穷到超无穷又是一次巨大的进步。这是康托对无穷的新认知。

1874年，康托在《纯粹与应用数学杂志》（即《克雷尔杂志》）发表论文《论所有实代数数的集合的一个性质》 。这篇论文标志着集合论的诞生。康托的证明是开创性的。在没有构造出一个超越数的前提下，大胆提出这样的命题，使得当时的一部分数学家持有怀疑态度并有些出离愤怒。

实际上，康托的这一篇论文，把无穷的概念进行了深化，对无穷的认识更加明确，给无穷具体分出了不同的层次。这样的认识打破了前人的认知，引起部分人的反对也是难免的。

1877年，康托证明了单位正方形与单位线段上的点可以建立起一一对应的关系。而这个问题是康托三年前首先对戴德金提出的。

康托得到证明后也第一时间写信告诉了戴德金。戴德金发现了其中一个漏洞，后来康托把这个漏洞予以弥补。康托还进一步推出：空间中的点与平面上的点一样多等。

这与以前人们一贯的直觉相冲突。提示人们直观有时并不可靠，理性在科学发现的过程中相当重要。

1879至1884年，康托集中探讨线性连续统，康托这个阶段的论文汇集为《关于无穷的线性点集》。其中，发表于1880年的文章第一次引进了“超穷数”这个概念。

发表于1883年的第5篇论文，篇幅最长，内容也最丰富。它实际上已经超出了线性点集的范畴，建立了一个超穷数的一般性理论。同年，康托将这篇论文以《集合论基础，无穷理论的数学和哲学探讨》（以下简称《集合论基础》）为题作为专著单独出版。

《集合论基础》是康托数学研究的里程碑，是康托早期集合论思想的系统论述，其主要成果是引进了超穷数。

我很了解这样做将使我自己处于某种与数学中关于无穷和自然数性质的传统观念相对立的地位，但我深信，超穷数终将被承认是对数概念最简单、最适当和最自然的扩充。

1884年康托在长期精神亢奋和压力之下，患上了抑郁症。不过他在身体得到恢复的时候仍然自觉研究数学。1895和1897年，康托以《对超穷集合理论的解释》Ⅰ和Ⅱ为题先后发表在《数学年鉴》上的两篇论文，对超穷数理论具有决定意义。他把集合作为基本概念，从而改变了早期用公理定义序数的方法。至此，超穷基数和超穷序数理论基本宣告完成。这两篇文章构成了康托的《超穷数理论基础》。

《超穷数理论基础》是康托重要的数学收官之作，系统地总结了超穷数理论严格的数学基础，是他20多年超无穷工作的结晶，标志着集合论从点集论过渡到了抽象集合论。

自此，集合论成为实数理论乃至整个微积分理论的基础，严密的微积分体系亦随之建立起来。同时，集合概念在更高和更广的层面上发挥威力，大大拓展了数学的研究疆域，为数学结构奠定了牢固的基础，深深影响了现代数学的走向，最终成为整个数学的基础，亦对现代哲学与逻辑的产生和发展大有裨益。不过，因为它还不是公理化的，并且它的某些逻辑前提或某些证明方法若不给予适当的限制就会导出悖论，所以康托的集合论通常称为古典集合论或朴素集合论。

希尔伯特（D. Hilbert，1862-1943）在1900年举办的第二届国际数学家大会上，高度赞扬了康托的集合论：“是人类纯粹智力活动的最高成就之一”。正是在这次大会上，希尔伯特提出了指引未来数学发展的著名的23个问题，其中把康托的连续统假设列为第一个问题。

希尔伯特

1926年，希尔伯特又再次称赞康托的超穷数理论：“数学思想最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”。希尔伯特在对康托的赞誉中用到了“最高”和“最美”这两个字眼，可以说是一种至高的评价。

本文经授权转载自微信公众号“科学元典”，节选自北京大学出版社出版的《超穷数理论基础》导读，作者王淑红，河北师范大学教授。

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