新的运算，新的代数：矩阵半张量积小事记 | 展卷_风闻
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！05-07 09:57
——程代展
撰文 | 程代展（中科院数学与系统科学研究院研究员）
Part01
从多线性映射说起
1997年的一个周末，我骑车上五道口，在商场附近偶遇清华大学的卢强院士。1983年我在华盛顿大学读博的时候，卢老师到我们系做访问学者，我们曾一起听过罗马大学Isidori教授的非线性系统几何控制理论课。当年我因先修了“拓扑学”、“微分流形”等课程，卢老师常向我求教一些数学基础概念。此时卢老师虽已是名满国内外的院士，但仍然虚怀若谷如当年。他拦下我就问我关于零动态系统的一个问题。岂知势易时移，对于新出现的零动态系统理论，我居然闻所未闻。于是“师生”之势易位，由他向我讲解什么是零动态系统。在卢老师启发下，此后我开始关注中心流形理论。
熟知，对于一个非线性动态系统，其线性部分的稳定或不稳定决定了非线性系统的局部稳定或不稳定，这由其雅可比矩阵的特征值为全负实部或有正实部决定。零动态系统理论讨论当特征值部分为零实部时的局部稳定性，而这必须由非线性项 (或者准确地说：多线性项) 来决定。这让我强烈地感觉到，要解决非线性系统的设计问题，多线性映射的矩阵表示是关键。这其实是我们后来研究“矩阵半张量积”的最初冲动，慢慢地在我头脑里形成了这种矩阵表示及其运算的一些初步设想。我的一些朦胧的想法在和卢老师的联合讨论班上提了出来，我认为这种表示和运算可以直接用来计算非线性系统控制的微分几何方法中所需要的一些几何结构，如向量场的各种李导数与张量场的数值计算。几次讨论之后，得到卢老师的认可和大力支持。于是，由卢老师和我共同负责，在1999年申请了一个国家自然科学重点项目——《电力系统安全稳定运行中的代数化几何方法》。所谓代数化几何方法就是要用矩阵半张量积的方法进行微分几何控制理论中的几何结构的运算，从而使之便于用计算机实现。随后，在卢老师主持的电力系统国家973项目中，我参加并担任了专家组成员和一个子课题的负责人，继续研究矩阵半张量积方法在电力系统中的应用。在这个过程中，矩阵半张量积的理论和方法逐步发展和完善起来了。
为了扶持矩阵半张量积的发展，这时已经成为卢老师团队主力的梅生伟不仅身体力行，并且在组织和协调合作研究方面起了很大作用。卢老师还将他的博士生马进直接派到系统所由我带。随后，他的博士刘锋跟我做了博士后。马进、刘锋都为矩阵半张量积的发展和它在电力系统中的应用做出了很有价值的贡献。2010年，梅生伟、刘锋、薛安成出版了一本专著《电力系统暂态分析中的半张量积方法》，系统介绍了矩阵半张量积在电力系统中的应用。中国科学院程时杰院士在为该书写的序中指出：“中国科学院程代展教授创立了半张量积新理论，同时在一般系统稳定性理论方面取得突破性进展，梅生伟及该书另外两位青年作者在此基础上，成功地将半张量积理论应用于电力系统暂态稳定分析，开辟了电力系统暂态稳定分析的一条新途径。程代展教授与卢强院士、梅生伟教授多年来一直在电力系统非线性控制领域精诚合作，该书主要内容是使他们在20世纪90年代创立非线性电力系统几何结构理论之后取得的又一个里程碑式的工作成果。”总之，矩阵半张量积研究的初衷是为了解决多线性映射的表示和计算的，而那次五道口的偶遇和马路边的讨论或许是其源头。
Part02
从香港之行到难产的第一篇论文
1998年5月的一天，接到清华老同学薛伟民的一个电话。他当时在香港浸会大学数学系工作，来电告诉我他们系有一位教授sabbatical leave，问我是否有兴趣访港。我当时科研工作茫无头绪，正在寻觅出路之际，能出去换换脑筋自然求之不得，于是98年秋季就到香港浸会大学访问半年。当时薛夫人及儿子尚在北京，他在香港租住一个两卧一厅的单元，我去了后就跟他同住。在浸会大学除了讲授一门泛函分析课外，并无其他硬性的任务。薛伟民其实是我原清华数学教研组同事，他跟我同时进的教研组，是培训班的同学。78年我们同时考上中科院研究生院。在香港时我曾同他探讨过矩阵半张量积的一些初步构想。
期间，清华大学应用数学系的系主任蔡大用教授来访一个月，于是关于矩阵半张量积的一些模糊的想法就成了我们共同的话题。蔡教授很认真，常常是晚上把我们请到他办公室去讨论。有一天晚上，伟民和我在学校食堂吃过晚饭，刚回到公寓，却收到蔡教授的电话。他在电话中说，已经知道矩阵的行排式与列排式的转换算法。在电话里讨论了半天，还是讲不清楚。他一急，就要我们回他办公室讨论。于是我们重新坐地铁回到学校。伟民善于编程，他将算法用C语言编出，用随机矩阵检验其正确性。蔡教授的算法几经修正之后似乎已经可以工作了。我忽然感到这似乎可以直接用矩阵表示。在他们俩人一致同意后，我们开始探讨这个矩阵的结构。我们一边在黑板上写写画画，一边由伟民修改程序，最后终于把我们称之为“换位矩阵”的结构讨论清楚了。兴奋之余才发现，已经是凌晨两点，早已错过了城铁的末班车。那后半夜，我们只好各回办公室，胡乱趴在桌子上睡了片刻。
我将矩阵半张量积的定义和一些初步性质，包括我们最得意的换位矩阵，整理后投了一个线性代数的期刊，记得是《Linear and Multi-linear Algebra》吧，论文很快就被拒了，最主要的理由是：为什么我们需要矩形半张量积？另一个技术性的原因是：“换位矩阵”，也称commutation matrix，是一个几年前就己知的概念。此后，关于矩阵半张量积的论文屡投不中，一直到2001年的第一篇关于矩阵半张量积及其在Morgen问题中的应用，发表在《中国科学》上。
大半生的科研经历，有一点感悟：大凡你认为有意义的“发现”，十之八九都是前人已知的。“换位矩阵”即为一例。
Part03
逻辑的矩阵半张量积表示
2006年我首次到瑞典访问，初冬的斯德哥尔摩真是够受的。早晨10点天才开始蒙蒙亮，到了下午3点，街道就全靠路灯照明了。雪，夹杂着雨点，夜以继日地下个不停。铲雪车和撒盐，都赶不上积雪的速度，到处是泥泞。那是一个周日的早晨，我懒懒地起了床，吃了两片面包和一杯牛奶，我呆呆地望着窗外，外面仿佛是一个无人仙境，未被踩踏的白雪覆盖着大道，房屋和树木，只有晨曦中的飞雪，给这个银白的世界些许生气。
百无聊赖之际，忽然想起昨天在旧书店花50克郎买的一本数学手册，赶紧找出来把玩。鲁迅先生所言不差：“无聊才读书”。书的第一章是离散数学，第一节是逻辑。我虽未学过逻辑，但当年在美国教过本科生的Contemporary Mathematics (当代数学)，接触过一点。为了复习一下自己那半吊子的逻辑知识，我拿出纸笔，试图证明它的几个简单公式。几个等式算过，头脑里忽然闪过一个念头：这不是可以用半张量积算吗?
我把向量[1，0]对应“真”，[0，1]对应“假”，于是，每个逻辑表达式都可以用一个矩阵半张量积来表示了。强压着兴奋的心情，我又用此证了几个逻辑等式，终于相信这是对的了。我把那本数学手册放在嘴边亲吻了一口，就跑去开冰箱找啤酒了。如果预知以后事情的发展，我想，花5000克郎买那本手册也值。在《矩阵的半张量积–理论与应用》（程代展、齐洪胜）书中有一章，是关于逻辑的半张量表示。这个工作的初衷是一种纯数学的兴趣，是那本手册和斯德哥尔摩冰雪的功劳。我当时曾试图将其应用于模糊控制，但不过是写了两篇文章，并不是很成功，其实当时对模糊控制很不了解。
Part04
逻辑动态系统
常常听到这样一句话，“机会总是留给有准备的人”。相信我，这句话是真理。我很幸运，遇上了这样的机会。2008年初，新年刚过，我在香港第三次中瑞双边控制会议上听到清华大学赵千川教授关于布尔网络的报告。他说到，就是两阶的布尔网络动态系统要想给出不动点和极限圈的一般公式表示也很困难，布尔网络动态系统是一个逻辑动态过程，对于逻辑过程，人们掌握的工具很少。我的脑子忽然像过了电一样：如果用半张量积把它表示成矩阵形式，那不就可以用代数的方法来解决它了吗?
那天晚上，我把赵千川教授请到我的住处，我说：我不懂布尔网络，你现在是我老师，我把我听你报告的理解跟你讲，你帮我把关，看讲得对不对。我们讨论到很晚，我真弄懂了。他临走，我对他说：我或许能找到N维网络的一般公式。赵千川教授年轻有为，他是我学习布尔网络的第一位老师。
从这次会议回来之后，我苦苦思索一个问题：一个逻辑动态方程可以转化为矩阵形式，那N个方程怎么合到一起呢？最后，终于想出了一个方法：把它们用矩阵半张量积“乘”起来。这样，一个逻辑动态方程就变成了一个差分方程，传统的矩阵分析方法就可以用上去了。这个发现，为布尔网络的研究找到了一个便利的工具。
2008年春节，我从大年三十一直干到春节过完，大门都没出。我一口气写了三篇长文：“Analysis and control of Boolean networks：Part 1.Topological structure of Boolean networks; Part 2. Input-state structure of Boolean networks；Part 3. Control lability and observability of Boolean control networks。这三篇文章投到IEEE TAC，很快就被拒了。但主编Cassandras明显表示，这里可能有非常有价值的东西。他甚至同意我们改成Part 1-Part 2再投。TAC发长文是很难的事，为争取尽早让我们的成果面世，我后来将Part1投IEEE TAC，Part 2投IEEE TNN，Part 3投Automatica。它们先后均以长文 (Regular Paper) 形式发表了。TAC的最慢，晚了一年。这说明分开投的决策对了。
此后，布尔网络控制的半张量积方法在状态空间描述，各种子空间的定义与计算、布尔控制系统的状态转移阵、优化控制等取得一系列突破，逐渐形成了一套较完整的逻辑动态系统控制的理论体系。我们在Springer发表了470页的专著《Analysis and Control of Boolean Networks》，可以自豪地说，该书中所有结果都是我们自己的。
Part05
从逻辑动态系统到博弈论
把矩阵半张量积方法从逻辑动态系统推广到博弈论是受到郭雷团队的启发。当时穆义芬在室里报告了演化囚徒博弈的动力学与优化算法，给我的启发很大。囚徒困境是两策略的，其演化与逻辑动态系统有很强的共性。我后来把穆义芬请到我们小讨论班，她仔细给我们讲解了博弈的动态演化与策略优化，这给我们矩阵半张量积在博弈中的应用研究开了个头。
逻辑动态系统是用二值的布尔函数来描述的，因为逻辑只有“真”和“假”两种值。但布尔函数的矩阵半张量积表示方法显然很容易推广到一般有限值的情况。有限博弈就是自变量 (策略) 可取有限值的情况，例如，石头-剪刀-布就可以看作三值逻辑的问题。因此，以逻辑动态系统的结果推广到演化的有限博弈中去就成了很自然的事情。
但是，直觉不等于科学成果。我们真正的突破是将演化博弈的演化方程写出来。它为研究演化博弈的性质，设计演化博弈的控制方法等提供了一个方便的工作平台。博弈论是比控制论大得多的领域。有一本书《博弈论》，它的封皮上写着：“有两类人可以不学博弈论：一是漂流到类似于鲁宾逊所在的荒岛上；二是到了什么事完全由自己说了算，不受任何其他人影响的地步”。研究博弈论而获得诺贝尔经济学奖的数学家不下200人。矩阵半张量积方法在博弈论方面的应用为矩阵半张量积理论的发展打开了一扇通向成功的大门。
一个代表性的成果是势博弈的检验。这方面的相关研究不少，但多半是给出各种算法，例如2011年的一篇文章《An improved algorithm for detecting potential games》，它对此前的研究结果进行了概括，并将它们与该文提出的算法进行了计算复杂性的比较，并提到：“检验一个给定博弈是否为势博弈不是件易事”，我们在《On finite potential games》中给了一个易于检验的充要条件，它是矩阵半张量积有效性的一个明证。
Part06
一问之师
2015年，经数学院建议及专家推荐，我成为科学院个人杰出成就奖候选人。答辩时物理所的于渌院士提了一个问题：“矩阵半张量积作为一种新的运算，会不会带来一种新的代数结构?”坦白地说，我当时并没有真正理解他的问题，只好答非所问，顾左右而言他。
回来以后一细想，才慢慢悟出这个问题的真正内涵，并迅速想到：矩阵半张量积使不同大小的所有矩阵变为一个幺半群。随之而来的一个自然问题是：当它限制在n×n可逆矩阵上时，它就成了一个已知的重要李群——一般线性群GL(n，R)。那么，从幺半群到一般线性群是不是一个同态呢？换句话说，一般线性群是不是那个幺半群的幺子半群?不幸的是，回答是否定的。
这个问题困扰了我很长时间，因为我长期以来一直声称：矩形半张量积是矩阵普通积的一个推广。既然是推广，那么，它们的代数结构怎么会不相容呢？为了解决这个问题，我日思夜想，甚至想构造一个单位元不唯一的半群。在我苦苦思索了大约三年之后，忽然有一天脑洞顿开，领悟到：矩阵半张量积，它本质上不是一个矩阵和另一个矩阵的乘积，而是一类矩阵与另一类矩阵的乘积。在等价类的意义下，相容性问题就彻底解决了。我突然发现，在矩阵的世界里，一切又变成如此和谐。难怪人们说，数学是上帝用来书写宇宙的文字 (伽利略)。只是万物的数学内涵，要靠我们去揭示。
等价类的思想对矩阵半张量积理论的发展是革命性的。我从矩阵等价联想到向量等价。矩阵半张量积从经典的矩阵-矩阵半张量积发展到矩阵-向量半张量积，以及向量-向量半张量积。代数结构被应用到有限域、有限环、格，以及各种泛代数的研究上去了。
在研究代数结构的同时，等价类上不同的拓扑结构以及新的微分流形结构也被自然引入了。它成为泛维数线性系统的几何框架。这些工作被总结在一篇91页的长论文《On equivalence of matrices》中。适逢姚鹏飞担任Elsevier系列丛书Mathematics in Science and Engineering的编辑，他邀请我写本书。于是将相关内容整理后形成专著《From Dimension-Free Matrix Theory to Cross-dimensional Dynamic Systems》。最新的进展是给出一种称为泛维流形的纤维丛结构。这种流形每一点维数都不一样，它成为变维控制系统的状态空间。相关的长论文最近被“Communication in Information and Systems”一审接受了。
感谢于渌院士，他的那“一问”让矩阵半张量积理论有了质的飞跃：它与点集拓扑、抽象代数以及微分流形等近代数学紧密地结合到一起了。
Part07
系列丛书的“撂笔絮语”
由于矩阵半张量积理论与应用的迅速发展，许多概念和结果都在发展变化中，因此，做一个阶段性的澄清和总结显得十分必要。我从2018年开始，产生了写一套丛书的设想。从2019年开始动笔，现已完稿。下面是这套丛书的后记，标题为《撂笔絮语》。
经过前后近五年的努力，这套丛书终于到了完稿的一天。丛书共分五卷，计约2000页。撂笔之际，本人作为丛书的组织者和主要执笔人，难免心情激动。
五年的写作过程，是收集整理已有成果的过程，也是思考总结创新的过程。丛书中的许多结果，其实是在写作过程中发现和发展起来的。这里的许多心血和艰辛，唯有亲历者才能体会。特别是第五卷的统稿阶段，自己身染新冠，一边咳嗽，一边伏案疾书，心中有一种与生命赛跑的壮烈情怀。总把矩阵半张量积看作上天降任赋予我的一项使命，这五卷书，或许可以看作自己对人生的一份答卷。此时的心中充满了感激：对祖国、对父母、对家庭、对人生、对命运、对整个人世间……
今天，我们或许可以自豪地说一句，我们没有辜负国家的期望，我们交出了一份令人满意的成绩单。
如果要用一句非专业语言向普通大众介绍矩阵半张量积，我想说：“它是反映多个数组相互关系的一个清晰的符号，以及操纵多个数组相互作用的一个简单工具。”
拉普拉斯曾经说过：“在数学上发明了优越的符号，就意味着胜利的一半。”经典的矩阵乘法，反映了两个数组间关系，而矩阵半张量积将数组个数推广到任意有限个，因此，它为处理涉及有限个数组的关系的问题提供了一个有效工具。
常常有人问我：“矩阵半张量积到底能用在什么地方?”我想，希尔伯特下面的话也许可以帮我作答。他说：“数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把陈旧繁烦的东西抛到一边。数学科学发展的这一特点是根深蒂固的。因此，对于个别的数学工作者来说，只要掌握这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路。”
一种观点认为，自18世纪牛顿——莱布尼兹发明微积分开始，连续数学就在数学中占据了统治地位。但是，随着计算机的出现和数值方法的发展，离散数学可能会逐渐取代连续数学的统治地位。这是因为，以微积分为代表的分析方法只能解决数学问题的汪洋大海中的一些孤岛，而对绝大多数数学问题却无能为力。特别是像费马大定理及庞加莱猜想等问题的证明，极其赘长，可靠性值得怀疑。而大量实际问题属于汪洋大海，只有靠计算机和数值或人工智能等方法来解决。因此，离散数学或有限值数学将对人类社会的发展起更大作用。
以处理多个有穷数组模型为核心的矩阵半张量积正是计算机时代的数学，它的快速发展和广泛应用证明了它适应了时代的需求。这套丛书或许可看作矩阵半张量积理论和应用研究的序曲，矩阵半张量积的进一步发展和大展身手的未来可期。
在历史的长河中，每个单独的人生都只是一个点。纵使是一个闪光点，也未必就是金子，大都只是沙滩上偶然对正了太阳光方向的贝壳，昙花一现而已。然而，一项真正有价值的工作，却可能不断地被人们使用和发展，成为历史长河中永不消逝的一道风景线。愿我们共同努力，为矩阵半张量积这一缕风景线增添自己浓墨重彩的一抹丹青!
本文经授权转载自微信公众号“中科院系统所”。
特 别 提 示
1. 进入『返朴』微信公众号底部菜单“精品专栏“，可查阅不同主题系列科普文章。
2. 『返朴』提供按月检索文章功能。关注公众号，回复四位数组成的年份+月份，如“1903”，可获取2019年3月的文章索引，以此类推。