小学数学的习题教学也应“始于‘集邮’，终于‘思想’——‘基本原理’”-1.2_风闻

**转按：**在小学数学的习题教学中，我们不能一味地带着孩子们去“集邮”即认识题型并学习其对应的解题方法和技巧然后通过大量刷题去训练出“条件反射”，而是还应该、也更应该引导孩子们去领会“思想”即数学的思维方式和思考方法——其具体体现为犹如物理学中的“最小作用量原理”类的“基本原理”。“始于‘集邮’，终于‘思想’”才能“技进乎道“，”技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余”。“过程还原、切换视角、转换表述”是以我自己的体会为基础提炼出的“基本原理”之一。限于见识、水平，我提炼出的“基本原理”难免浅陋、偏狭，其表述也未必精当，欢迎高人批评指正。原文参见《“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”（二）・技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余丨以求学问之心讲有学问之题论讲题之学问》【其“（一）”参见：《“基本原理”之“过程还原、切换视角、转换表述”（一）……》】，鉴于原文的字里行间有很多以小号和低亮度文字所作的注释，所以建议阅读原文。

绪论**（版本二，修改了末尾几段）**

题型及与其匹配的解法和技巧固然是纷繁的知识尤其是关于如何应对考题的知识的一次归纳，但此一归纳后的所谓“干货”仍然数量庞大，需要学生去记忆，且需要通过大量的刷题去重复和熟悉以期形成固定模式的“条件反射”——所谓的“秒懂”、“秒解”。且不说这需要学生耗费大量的精力，更难堪的是其效果或许并不能尽如人意，因为这种训练最好的效果也只能保证学生可以解决经验范围内的问题——所谓的“举一反三”也仍然是在经验范围内。这种“做题家”型的“学霸”之“霸”只不过是一种虚幻的“绩优”，此非吾之所欲也。

“吾生也有涯，而知也无涯。以有涯随无涯，殆已！”题目千变万化，是为“无涯”，题型及与其匹配的解法和技巧始终只不过是有限的知识，是为“有涯”。

然则，怎么破？

还得再归纳！归纳提炼出“基本原理”性的“道”，引导学生去领会此“道”，凭此“道”可以衍生出应对千变万化之题的“技/术”即解题思路和方法技巧，如同庖丁解牛，技进乎道后方能以无厚入有间游刃有余。

庖丁为文惠君解牛，……砉然向然，奏刀騞然，莫不中音。合于《桑林》之舞，乃中《经首》之会。

文惠君曰：“嘻，善哉！技盖至此乎？”

庖丁对曰：“臣之所好者道也，进乎技矣。……臣以神遇而不以目视，官知止而神欲行。依乎天理，……因其固然，……以无厚入有间，恢恢乎其于游刃必有余地矣。”

再以物理学为例来说明其中的道理。

物理学追求的目标之一是简洁。物理学家的任务绝不是把每一个实验事实编成表格让人们记住，这是不可能完成的任务。正如皮埃尔·迪昂在《物理学理论的目的与结构》中所述：“人的心智面对不计其数的具体事实，每一个事实因由大量各种各样的细节构成而错综复杂，没有一个人能够囊括和保留所有这些事实性知识，也没有一个人能够把这些知识传达给他的同胞”。

物理学家的打开方式是用抽象的方法从大量的实验事实当中归纳、总结，去寻找普遍、共有的东西，把一大堆复杂的实验事实“压缩”成简单的命题，形成物理定律，从而大大减少对人心智资源的占用。……

物理学的目标是掌握世间万物的规律。可自然如此纷繁复杂，即便只关注其中相对不那么复杂的“非生命体”[4]，面对的情形也足以让人目眩。仅仅通过一次“压缩”，从自然事实归纳为物理规律仍然是不够的。……每一种都还会有一大堆物理定律，对人有限的心智依然是难以承担的负荷。因此物理学家还要进行第二次“压缩”，把所有这些定律浓缩成少数“原理”，只要掌握了这些原理，通过有规则和可靠的计算，就可以从原理中提取出需要的定律。比如掌握了费马原理，那么几何光学中的各种反射、折射定律大都能够从中获得。

这种“压缩”被恩斯特·马赫称为“思维经济”，是物理学的目标和指导原则。自然界的复杂程度之高和人类认知能力之有限之间的终极矛盾，使得人类的物理学必然是一种“思维经济”。物理学家的工作，就是从对一个个自然现象和实验事实进行“集邮”开始，归纳总结为物理定律；再在对物理定律“集邮”的基础上进一步抽象成为理论体系，最终用少数的几条原理，通过可靠的规则和计算就能够描述、解释或者预测大多数自然现象，到这里工作才算完成。

……

物理教育的终极目标是让学生具备解决未知问题的能力，而这个能力的核心就是物理学的思维方式和研究方法。物理教育可以始于“集邮”，但最终应该终于“思想”。

——引自：始于“集邮”，终于“思想”

在小学数学的习题教学中，我们不能一味地带着孩子们去“集邮”即认识题型并学习其对应的解题方法和技巧然后通过大量刷题去训练出“条件反射”，而是还应该、也更应该引导孩子们去领会“思想”即数学的思维方式和思考方法——其具体体现为犹如物理学中的“最小作用量原理”之类的“基本原理”。

“技进乎道方能如庖丁解牛游刃有余”这个单元的主旨就是“始于‘集邮’，终于‘思想’”。

本单元将通过阐释如下几条“基本原理”来体现数学“思想”——数学的思维方式和思考方法——的“不可思议的有效性”（该表述化用了诺奖得主尤金·维格纳“数学在自然科学中不合理的有效性”一文的标题——有些译本将“不合理”译为“不可思议”——以及其中观点）及其普适性（其普适性不仅在于数学——用在数学习题的解答上只能算是“牛刀小试”，还在于自然科学领域；或者说，其普适性在于他们适用于或者说可应用于所有的科学研究）：

1、“过程还原（即：将前后两个静态情状之间的动态过程还原出来）、切换视角（即：从专注前后两个静态情状转向审视其发生机理）、转换表述（即：将问题逐步做等价转换直到可以列算式的表述）”；

2、“以其‘不变’统合其‘变’”（即：先将问题情境中的“变”化的东西与“不变”的东西——这些东西通常是各种“量”或“关系”——探寻出来，继而以“不变”为基础构造相等或等价的关系——其表示形式通常是一个等式——并将“变”统合于其中）；

3、……

……

每条“基本原理”将作为一个专题安排若干篇文章来讨论。

限于见识、水平，我提炼出的“基本原理”难免浅陋、偏狭，其表述也未必精当，欢迎高人批评指正。

导读

本文继续将“（一）”文中阐释的“过程还原（即：将前后两个静态情状之间的动态过程还原出来）、切换视角（即：从专注前后两个静态情状转向审视其发生机理）、转换表述（即：将问题逐步做等价转换直到可以列算式的表述）”这一“基本原理”——数学的思维方式和思考方法——推广到更多其它类型的问题。

本文要讨论的例题如下：

例一、小明有4盒饼干，小华有3盒糖，小明的饼干和小华的糖的总价值为100元。如果两人互换一盒，则两人各自的饼干和糖的总价值相等。问：1盒饼干多少钱？

例二、爸爸和小明同时从家步行去学校，爸爸比小明每分钟多走10米，当爸爸到达学校时，小明离学校还有3分钟的路程，当小明到达学校时，爸爸已经超过学校240米。问：小明家到学校的路程是多少米？

例三、有一盒玩具小球，分为四种颜色，每种颜色的小球各若干个。若：每人可任取1~2个球，且要保证有3人能取得完全一样。问：至少需要几个人去取？

建议先自己思考一下，然后再阅读本文会有更深切的体会。

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练拳不练功，到老一场空。——民间谚语

例一

​

小明有4盒饼干，小华有3盒糖，小明的饼干与小华的糖加在一起的总价值为100元。如果两人互换一盒，则两人各自的饼干和糖的总价值相等。

问：1盒饼干的价值是多少元？

不知道这道题该归于什么题型（“鸡兔同笼”问题的变型？），且不管它是什么题型，我们还是以“过程还原、切换视角、转换表述”的“基本原理”为指引去思考并探索出解题思路，再次感受和体会“‘基本原理’的‘思想’”的普适性（普遍适用性）。

解题思路

我们先将前后两种静态情景描述出来。

情景一如下：

小明4盒饼干，其合计价值 ？元

小华3盒糖，其合计价值 ？？元

小明的4盒饼干盒小华的3盒糖的总计价值为100元

情景二如下（两人的东西的价值相等即各为50元）：

小明有3盒饼干和1盒糖，其合计价值为50元

小华有1盒饼干和2盒糖，其合计价值为50元

切换视角（将相同部分单列出来）将情景二转换表述为：

(1盒饼干+1盒糖)+2盒饼干=50元

(1盒饼干+1盒糖)+1盒糖=50元

由此可知：

2盒饼干与1盒糖价值相等

【接下来的思路可分两种，以下“花开两朵，各表一枝”】

【其一如下】

则

(1盒饼干+1盒糖)+2盒饼干=50元

可重新表述为（将1盒糖替换为2盒饼干）：

1盒饼干+2盒饼干+2盒饼干=50元

即：

5盒饼干的价值为50元

故：

1盒饼干的价值为10元（50÷5=10）

【其二如下】

再以此“知”来重新审视情景一：

小明4盒饼干，其价值 ？元

小华3盒糖，其价值 ？？元

？与 ？？合计为100元

易见，情景一可切换视角转换表述为：

小明2盒糖，其价值 ？？元

小华3盒糖，其价值？？？元

？？与 ？？？合计为100元

此即：

5盒糖的总价值为100元

则有：

1盒糖的价值为20元（100÷5=20）

也即：

2盒饼干的价值为20元

故：

1盒饼干的价值为10元（20÷2=10）

答题表述

由题设可知：

3盒饼干和1盒糖的合计价值为50元

1盒饼干和2盒糖的合计价值为50元

由此可知：

2盒饼干与1盒糖的价值相等

则：

“3盒饼干和1盒糖”与“5盒饼干”的价值相等为50元

故，1盒饼干的价值为：

50÷5=10（元）

例二

爸爸和小明同时从家步行去学校，爸爸比小明每分钟多走10米，当爸爸到达学校时，小明离学校还有3分钟的路程，当小明到达学校时，爸爸已经超过学校240米。

问：小明家到学校的路程是多少米？

不知道这道题该归于什么题型（行程问题？），且不管它是什么题型，我们仍然以“过程还原、切换视角、转换表述”的“基本原理”为指引去思考并探索出解题思路，再次感受和体会“‘基本原理’的‘思想’”的普适性。

【这道题的题设表述有点不合情理：既然是“从家去学校”，那爸爸到达学校后为什么不是停下来而是还要继续走以至于“超过学校240米”呢？合情合理的情境设计可以是这样：爸爸和小明同时从家步行去学校，爸爸比小明每分钟多走10米，爸爸在途中绕道去书店给小明买了个文具，由于绕道多走了240米、耗时3分钟，结果爸爸与小明同时到达学校时。】

解题思路

爸爸到达学校时小明还在离学校还有3分钟路程的途中某位置，从该时间点开始计时的3分钟内，小明从途中那个位置走到了学校，爸爸从学校走到了超过学校240米的某处。

由此可知，爸爸在3分钟内所走的路程为240米。

则，爸爸的步行速度为每分钟走80（240÷3=80）米

则，小明的步行速度为每分钟走70（80-10=70）米

因此，在爸爸从家到达学校的时间内，爸爸比小明多走的路程为小明按每分钟走70米的速度走3分钟的路程，即210（70×3=210）米。

考虑这210米是如何“走”出来的：

这210米是每分钟多走10米“走”出来的。

那么，每分钟多走10米，需要多少分钟才能多“走”出210米呢？

显然，是21（210÷10=21）分钟。

而这21分钟也即爸爸从家步行到学校所走的时间。

前已算得爸爸的步行速度为每分钟80米

则小明家到学校的路程为：

80×21=1680（米）

验算：1680÷80=21，1680÷70=24，24-21=3；无误。

答题表述

由题设可知，爸爸的步行速度即每分钟走的路程为：

240÷3=80（米）

则小明的步行速度即每分钟走的路程为：

80-10=70（米）

则小明3分钟所走的路程为：

70×3=210（米）

则爸爸从家步行到学校所走的时间为：

210÷10=21（分钟）

则小明家到学校的路程为：

80×21=1680（米）

例三

有一盒玩具小球，分为四种颜色，每种颜色的小球各若干个。

若：每人可任取1~2个球，且要保证有3人能取得完全一样。

问：至少需要几个人去取？

不知道这道题该归于什么题型，且不管它是什么题型，我们仍然以“过程还原、切换视角、转换表述”的“基本原理”为指引去思考并探索出解题思路，再次感受和体会“‘基本原理’的‘思想’”的普适性。

【这道题是我讨论完上面两道例题后临时找到的题（因为只讨论两道习题而且是相对不太难的题，似乎有点单薄，说服力不够，故而临时再找合适的习题来为这篇文章压阵、增色）。更难能可贵的是，我之前没有接触过这道习题，也没接触过这类习题，所以，以下的解题思路，就是我写这篇文章的此时此刻对这道题进行思考的即时而真实的记录。】

解题思路

【胡思乱想……茫然呆滞……差不多五分钟了吧，似乎有点想法了，其实是下定决心不怕麻烦要开始一步一个脚印地去探索了，也就是说，不再企图能轻松想想就能洞察玄机而是要将细节推导出来，再从细节中去“发现”解题思路。第一步最难踏出去，但一定要踏出去，走错了都比裹足不前要好。】

每人可任取1~2个球，且要保证有3人能取得完全一样。

所问为至少需要几个人去取，“至少”意味着“在最复杂的情况下”的结果，最复杂的情况是什么情况呢？直觉应该是每人所取的为2个球且其颜色不同。那我们先来讨论这种情况下所需人数。

【但此处尚有疑问。每人任取1~2个球，则其取法对应着3种情况：其一，每人取2个球且其颜色一致；其二，每人所取的为2个球且其颜色一致；其三，每人所取的为1个球。哪种情况下能使得“保证有3人能取得（de，轻声）完全一样”所需的人数是“至少”呢？是“最复杂的情况下”还是“最简单的情况下”？如何判定“最简单”和“最复杂”呢？“至少”究竟是什么意思？是在某种情况下的“最多”还是“最少”？这些都尚存疑虑。疑虑虽有且多，但无论如何要走下去看看，看了才知道，不看永远不知道。所以，暂时不管，先按直觉讨论自以为的“在最复杂的情况下”的情形，完后再讨论“其它情况下的情形。当然，之所以有这些疑虑，也有可能是出题人在这方面有疏漏：题设表述产生了歧义——即从中可以理解出与出题人原意不一致的意思。这个我们讨论完各种情况后再来审视。】

为表述方便，我们假定四种颜色分别为：白、黄、红、蓝。

以下还原取球的过程：

第1人，白、黄

第2人，红、蓝

第3人，白、红

第4人，黄、蓝

第5人，白、蓝

第6人，……

咦，这种组合是这个“最复杂情况下”的“最简单组合方式”还是“最复杂组合方式”呢？我们要的结果即“所需人数‘至少’”对应着哪种“组合方式”呢？进而又想，是否“最复杂情况下”对应的不是“至少”而是“最多”呢？

这时的直觉，应该是“最简单的情况下”可达成“所需人数‘至少’（这里理解为‘最少’）”的结果。

那我们调整方向，先来讨论“在最简单的情况下”的情形。

哪种情况最简单——以所需人数“最少”来衡量——呢？直觉是“每人各取1个球”的情况。

那我们先来讨论“每人各取1个球”的情况的情形。那这种情况下，什么样的取球安排能使得所需人数最少呢？直觉是每4人为一个轮次，每个轮次中的4个人所取球的颜色各不相同——即4人各取1个颜色的球，因为假若每个轮次中的4个人取球有重复——即所取球的颜色相同——的话，那可以推而广之，无论多少人来，都取相同颜色的球，那……

咦，又不对了：若有人取相同颜色的球，那岂不是所需人数就更少吗？比如，极而言之：前3个人都取同样颜色的球，那不就是“有3人取得（de，轻声）完全一样”了吗？而这不就是“至少”了吗？

不过，深思一下，这种情况下的“至少”是得不到“保证”的，是需要“运气”的，而且是“狗屎运”——头3个人就取了相同颜色的球。

所以，似乎有点明白题设中的“保证”是什么意思了：不能把“至少”交给运气，而是要摈弃一切运气（机缘巧合），也就是说，要考虑“最不利”（也就是最极端/恶劣）的情况下所需的人数，这样求得的人数才是有“保证”的“至少”。

那兜了一圈，又回到要先讨论“在最复杂（“最不利”意味着“最复杂”吧）的情况下”的情形了。

直觉“最复杂的情况”还是“每人各取2球且其颜色不同”，并且，这种情况下的“最不利”的情形是“每4人一个轮次且每个轮次中各人所取的球的颜色均互不相同即没有重复（两个球的颜色都一样才算重复，只要其中有一个球的颜色不相同，就不算重复）”。

下面将取球过程还原出来：

第1人，白+黄

（直觉是：第1人取任意两色均可，只要第1~4人所取不重复即可，下同）

第2人，红+蓝

第3人，白+蓝

第4人，红+黄

第5人，白+……

突然感觉这样开列组合还是不妥，因为不容易看清是否会漏项，还是按将“白、黄、红、蓝”依次放在每个组合的前面一个比较容易识别。因为两种组合情况（“颜色一+颜色二”与“颜色二+颜色一”）是等价的，所以每个组合中的两种颜色哪个排在前面无所谓。

我们重新来排：

第1人，白+黄

（直觉是：第1人取任意两色均可，只要第1~4人所取不重复即可，下同）

第2人，黄+蓝

第3人，红+白

第4人，蓝+红

第5人，白+蓝

（发现前面的直觉有点不对，不是“只要第1~4人所取不重复即可”了，而是第1~？人所取不重复即可，至于“？”究竟是几，待排下去方知。反正记住下面需要在确认“？”后做出调整即可）

第6人，黄+红

第7人，红、……

看不清了，不如画个“连连看”的图示来帮忙吧。

图中左部和右部分别以不同的方式对四种颜色的组合进行了“遍历”（计算机专业术语，可顾名思义，或百度查询其意。简单说：所谓遍历——Traversal，是指沿着某条搜索路线，依次对树/图中每个节点均做一次访问）操作，发现符合条件的（每个组合有两种颜色且其颜色不同，组合之间两两不重复——组合内两种颜色的两种排列次序算一种组合）只有6种组合（图中左部标记释义：“×”表示由于两种颜色相同所以组合“非法”，“√×”表示由于虽然颜色不同是合法的但因属于重复而“违法”故而还是“非法”的，“√”表示是“合法”的组合），即：白+黄，白+红，白+蓝，黄+红，黄+蓝，红+蓝

由上图可知，符合条件的组合只有6种，即：

白+黄，白+红，白+蓝，黄+红，黄+蓝，红+蓝

也就是说，取球时要每6人一个轮次且每个轮次内的6人所取的颜色组合不重复。

我们照此重新来排。

第1人，白+黄

第2人，白+红

第3人，白+蓝

第4人，黄+红

第5人，黄+蓝

第6人，红+蓝

【第一轮后，6个人所取的组合两两之间各不相同。】

第7人，白+黄

第8人，白+红

第9人，白+蓝

第10人，黄+红

第11人，黄+蓝

第12人，红+蓝

【由于组合仅有6种，所以第二轮后，已取球的12人必然分为6对——每对内的两人所取组合相同。（第二轮中的6人所取的组合，其排列次序（即哪个人所取的哪个组合排在第几人）无所谓——即不影响结果，只要这6人两两不同地取完了6种组合即可）】

第13人，……

我们发现，第13人（即第三轮次的第1人）取球时，虽然TA能取的组合是6种组合中的任意一个，但无论取哪一个组合，必然会与前两轮中已有取到相同组合的两人取到相同的组合，也就是说，到第13人取球后，必然会有3个人取到相同的组合也即题设所要求的“3个人取得完全一样”。

所以，“在最复杂的情况下”（即：每人各取2个球且其颜色不同），“至少”需要13个人去取球才能“保证有3人取得（de，轻声）完全一样”。

接下来，为了验证一下我们的“直觉”（即：“在最复杂的情况下”才符合题设意思及其条件，以及，“每人各取2个球且其颜色不同”就是“最复杂的情况”）是否正确，我们再来讨论一下其它两种情况下的情形。

先来讨论“每人各取2个球且其颜色相同”的情况。

我们来排一下（即：还原取球的过程）：

【前面已讨论过，每个轮次中取球的各人所取不同才能使得“有3个人取得完全一样”是有“保证”的——即“是不需要靠运气的”。所以，下面仍照此来排。】

第1人，白+白

第2人，黄+黄

第3人，红+红

第4人，蓝+蓝

【可以发现，组合只有4种，所以取法上是：每4人一个轮次且各人所取两两不同。】

第5人，白+白

第6人，黄+黄

第7人，红+红

第8人，蓝+蓝

第9人，白+白

第10人，……

我们发现，第10人（即第三轮次的第1人）取球时，虽然TA能取的组合是4种组合中的任意一个，但无论取哪一个组合，必然会与前两轮中已有的取到相同组合的两人取到相同的组合，也就是说，到第10人取球后，必然会有3个人取到相同的组合也即题设所要求的“3个人取得完全一样”。

所以，在此情况下（即：每人各取2个球且其颜色相同），“至少”需要10个人去取球才能“保证有3人取得（de，轻声）完全一样”。

易知，在余下的第三种情况下（即：每人只取1个球），也是“至少”需要10个人去取球才能“保证有3人取得（de，轻声）完全一样”（因为每人可取的也是4种颜色中的1个，故而与“每人各取2个球且其颜色相同”的情况下的情形是一致的）。

现在，还剩下最后一个疑虑需要讨论，即：

“至少”——与“保证”紧密相关的——究竟是什么意思？

“保证”如前所述应该还是意味着“不能倚赖于运气”，也即需要考虑“最不利情况”，而“最不利情况”显然是“最复杂的情况”。所以，“在最复杂情况下”的“至少”才是符合题意及其条件的“至少”。

故，满足题设要求即“保证有3个人取得完全一样”而“至少”需要的取球人数就是在“每人各取2个球且其颜色不同”的情况所“至少”需要的取球人数，即：13人。

现在我们来看看答案（这道题的来源的一个微信小视频中视频作者的解题方法及其结果）。

【我的习惯是，碰到未曾遇到过的新鲜类型的习题，总是坚持自主思考、独立探索出解题思路之后，再去看习题的答案及其解法，其一是为了通过答案/正确结果验证自己的解题思路及其解题方法是否有误，其二是为了与答案中的解题方法（或常规的也即一般大家所教-学的解题方法）有何异同——相同或类似那是“英雄所见略同”、不同则意味着“发现了新大陆”。】

所讨论习题的来源视频及作者的解题方法。

作者将其微信视频设置为“私密”，导致无法直接引用，故而只能截图显示。

愚见以为其讲解是“不究竟”的，只讲了“其然”而未讲其“所以然”（清华小哥都不能免俗地满足于“套路”、“技巧”——如其所授的口诀“极端情形再加1”——的炫耀式传授的教-学方式，令人失望），这会导致原本就不会的学习者还是不会（原本会的自然就不需要向其学了）。这种“不究竟”的习题讲解方式究其原因：其一，可能是“传统”使然（详参《小学数学“教-学”探索·习题篇：习题的思考与作答丨结语：请珍视这本难得一见的以授人以渔为旨归的典范之作》一文第二节的相关论述）；其二，这种小视频时间一般都很短——短至三五分钟之内，在这么几分钟的时间内是无法对思考方法（包括在思考情境中的心理、心情的波动。“思考”及其方法一定程度上也取决于性格修养）和解题思路的探索过程做出深入细致的讨论的。

对照作者给出的解题方和题目答案发现，我的答案是错误的，原因在于虽然解题思路在大方向上是正确的但未能克竟全功，具体说就是：没有将已经想到的要考虑的是“在最不利情况下”（也即“在最复杂情况下”）的情形这个原则贯彻到底，仅仅将“最不利情况”定位到“每人各取2球且其颜色不同”的情况，而未能将“最不利情况”定位到“三种情况的综合”（这三种情况在前述讨论实际上都已经被识别出来了，即：“每人各取2球且其颜色不同”，“每人各取2球且其颜色相同”，“每人各取1球”）的情况。

【这个疏漏说明：我的“洞察力”还不够，需要继续训练使其提升；或者，是我的“心性修养”还差了点火候（自以为破解了玄机时就自鸣得意了，结果“大意失荆州”，导致未能继续往下深思一步），致使“为山九仞，功亏一篑”（不亦悲夫！），以后定当吸取教训，戒骄戒躁，提升“心性修养”。】

以下继续按照前述我们自己探索出的解题思路继续往下走使其圆满。

……

现在，还剩下最后一个疑虑需要讨论，即：

“至少”——与“保证”紧密相关的——究竟是什么意思？

“保证”如前所述应该还是意味着“不能倚赖于运气”，也即需要考虑“最不利情况”，而“最不利情况”显然是“最复杂的情况”。所以，“在最复杂情况下”的“至少”才是符合题意及其条件的“至少”。

故，满足题设要求即“保证有3个人取得完全一样”而“至少”需要的取球人数就是在“每人各取2个球且其颜色不同”的情况所“至少”需要的取球人数，即：13人。

最后，我们对已经作出的思考再作一番思考，审视一下其中有无疏漏、错谬之处。

【也就是“思考（动词）自己的思考（名词）”，这是我曾经总结出来的一条经验和体会，也是我经常告诫孩子的一点（我总是鼓励/规劝孩子将她的思考过程书写下来——哪怕是简单的草稿，以备后续核查），但当时更多的目的在于发现自己错了后能比较容易的核查到自己错在什么地方，看来，现在还得完善一下这条经验和体会的功能，即：完成思考后还需以“对自己的思考再做一番思考”的原则去审视一下已经思考出的解题思路有无疏漏、错谬之处。】

……【对自己的思考再行思考的过程，略】

咦，似乎不对啊：

既然是考虑“最不利的情况”（也即“最复杂的情况”），且题设条件是“每人可任取1~2个球”，“1~2个”啊，那意思是每个人既可以取1个球也可以取2个球啊，没有必须每人都取同样个数的球的要求或者说道理啊；进而想到，取2个球的情况下，也没有必须是每人都是要么取2个颜色不一样的球、要么取2个颜色一样的球的要求或者说道理啊；这个“要求或者说道理”是我自己“臆测”的，在题设的题意及其条件中是没有根据的，是我自己“会错了意”。

所以，正确的“最不利的情况”（也即“最复杂的情况”）是：

“每人各取2个球且其颜色不同”、“每人各取2个球且其颜色相同”和“每人各取1个球”这三种情况之综合的情况。

由前述分析已知：

“每人各取2个球且其颜色不同”的情况对应着6种组合/取法

“每人各取2个球且其颜色相同”的情况对应着4种组合/取法

“每人各取1个球”的情况对应着4种取法

则三种情况的综合情况对应的组合/取法就有14（6+4+4=14）种。

我们来排一下（还原取球的过程）：

【排法：每14人一个轮次，每个轮次中的14人所取的球及取法组合两两之间各不相同。】

第1人，白+黄

第2人，白+红

第3人，白+蓝

第4人，黄+红

第5人，黄+蓝

第6人，红+蓝

第7人，白+白

第8人，黄+黄

第9人，红+红

第10人，蓝+蓝

第11人，白

第12人，黄

第13人，红

第14人，蓝

【第一轮后，14个人所取的组合两两之间各不相同。】

第15人，白+黄

第16人，白+红

第17人，白+蓝

第18人，黄+红

第19人，黄+蓝

第20人，红+蓝

第21人，白+白

第22人，黄+黄

第23人，红+红

第24人，蓝+蓝

第25人，白

第26人，黄

第27人，红

第28人，蓝

【由于组合仅有14种，所以第二轮后，已取球的28人必然分为14对——每对内的两人所取组合相同。（第二轮中的14人所取的组合，其排列次序（即哪个人所取的哪个组合排在第几人）无所谓——即不影响结果，只要这14人两两不同地取完了14种组合即可）】

第29人，……

我们发现，第29人（即第三轮次的第1人）取球时，虽然TA能取的组合是14种组合中的任意一个，但无论取哪一个组合，必然会与前两轮中已有的取到相同组合的两人取到相同的组合，也就是说，到第29人取球后，必然会有3个人取到相同的组合也即题设所要求的“3个人取得完全一样”。

所以，“至少”需要29个人去取球才能“保证有3人取得（de，轻声）完全一样”。

【虽然在自主思考、独立探索解题思路的过程中在大方向正确的情况下有所疏漏，未能克竟全功，但自己在思考过程中的获得的经验和体会弥足珍贵，这是真正属于自己的东西，融进了我们自己的思维方式中，她（之所以用拟人化的称谓，是因为我觉得这个“真正属于自己的东西”是与作为人的我们自己融为一体了，是人的一部分，而且具有“灵性”；之所以用指称女性的“她”，是受到了歌德在《浮士德》的终章写下的那句名言的影响，其言曰：“一切过往的不过是象征，那不美满的在这里完成，不可言喻的在这里实行，永恒之女性，引导我们上升。”）将助益于我们以后对其它复杂而有难度的问题的思考及其解决思路/方案的探索；况且，“吃一堑长一智”，痛过更能体会深切——“人类总是以痛苦为代价领会真理”（复旦大学哲学院王德峰教授——已退休——的断语）。】

答题表述

每人在放了4种颜色的球的一盒球中任取1~2个球，其取法总共有14种，具体是：

“每人各取2个球且其颜色不同”的情况下的6种取法

“每人各取2个球且其颜色相同”的情况下的4种取法

“每人各仅取1个球”的情况下的4种取法

则，要“保证有3个人取得完全一样”所需的“至少”的人数是在如下情形下的人数：

以14人为一个轮次去取球，每个轮次中的14人的取法两两之间各不相同，也即每个轮次中的14人每人各用一种取法且不与他人的取法相同以保证将14种取法都采用一次且仅一次；两个轮次之后，已经取球的28人中必然分出14对（一对为两人）且每对中的2人的取法是相同的；第三个轮次的第1人也即总人数中的第29人取球时，无论其取法是14种的哪一种，都总是会与前两个轮次后已有的某一对的取法相同，也即总有3人的取法相同。

因此，满足题设要求即“保证有3个人取得完全一样”而“至少”需要的人数为：

14+14+1=29（人）

答：至少需要29人去取。

【解决这个问题之后，我们可以从中总结出解决这一类问题的经验：先判断在何种情况下是符合要求的（本题是“最不利情况下”也即“最复杂情况情况下”，别的问题可能对应着不同的情况，总之，“推到极端”的“极限”——极而言之——的思想要贯彻其中），然后看这种情况下存在多少种“可能情形”（本题是“球的取法/组合方式”），继而以“种数”为一个轮次，看看几轮后的第几人能满足题设要求，最后算出结果。】

小结

从对上述例题的解题思路的探索中我们可以再次感受和体会到“基本原理”即“过程还原（即：将前后两个静态情状之间的动态过程还原出来）、切换视角（即：从专注前后两个静态情状转向审视其发生机理）、转换表述（即：将问题逐步做等价转换直到可以列算式的表述）”作为指导“思想”——表征数学的思维方式和研究方法——的普适性及其“妙用”。

在此感受和体会中，我们也更好地领会了“基本原理”中蕴含的“思想”及其所表征的一种数学的思维方式和研究方法，这就为我们思考和解决其它更多的问题奠定了坚实的基础，更重要的是涵养了我们自主思考、独立探索的勇气和能力。

另外，我们也经历了一次“模糊的探索”之旅及其其中的对于“心性修养”的考验和磨炼，这对于解决其它复杂而有难度的问题乃至于今后从事真正的科学或技术的研究都是大有裨益的宝贵经验和体会，因为通过自主思考和独立探索而获得的这种经验和体会将会融入我们的思维中，成为真正属于自己的“默会知识”即“know-how”。

— 完 —

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