同调代数的起源和发展_风闻

返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！04-14 10:40

2023-04-14

编者按

本文是有些哲学意味的科普文章, 后来被收入《交换代数与同调代数》[第二版，李克正著，科学出版社 (2017)]作为一个附录。

近来出现了不少关于同调代数或范畴论的科普文章, 这有助于公众了解较深刻的数学, 拓宽对于数学的眼界，是很有积极意义的。不过其中有些文章从“数学基础”的眼光讲范畴论, 或者只讲范畴的抽象性, 未免有失偏颇，甚至可能对公众造成误导。

自 19 世纪后期开始, 很多数学家致力于将整个数学建立在集合论的基础之上, 这看上去很美妙, 直到今天也还有人没有放弃这样的努力。但早年的集合概念是“朴素直观”, 却有根本性的漏洞。一般人觉得集合不需要定义直接接受就可以, 但 1902 年罗素给出的“集合论悖论”击溃了这个信念, 使数学家不得不建立集合的公理体系。从哲学上说, 一旦建立起集合的公理体系, 集合论就不可能作为整个数学的基础了。而 1930 年代哥德尔的工作, 更是使数学界认识到，任何建立整个数学的“基础”的企图都是愚蠢的。

不过迄今为止大多数数学学科是建立在集合论基础之上的。比集合更一般的概念是范畴, 但如上所说, 即使范畴论也不能作为整个数学的基础。

范畴是比集合更深的概念, 很多人只看到范畴比集合更抽象, 然而范畴是有结构的, 这种结构的发现源自拓扑学。同调代数中的一些非常抽象的概念, 本是为了解决具体问题的, 而其最主要的价值也正是在于解决具体问题。只看到范畴等概念的抽象性, 类似于“买椟还珠”。

本文力求通过对于分割与粘合, 局部与整体, 连续变形, 自然性等直观在数学中的科学刻画和精准处理, 解释同调代数的产生背景、所解决的具体问题以及其对于数学整体发展所起的作用。

撰文 | 李克正（首都师范大学特聘教授）

引言

20世纪的数学与此前的数学相比，最显著的特点就是整体性。粗糙地说，20世纪前的数学都是“局部的”数学，即使涉及整体的研究对象（如射影空间），也是采用局部的研究方法。研究整体性的根本方法是从拓扑学的建立开始的。而关于整体结构的研究，是在此前关于局部结构的研究已经相当成熟的基础上产生的。

同调代数源自拓扑学。最初同调的定义可以说是组合式的，后来发现同调还可以用其他方式定义，进而在其他领域（如微分几何）用相应领域的方法建立同调，就可以将同调解释为其他领域的不变量。这样同调的方法就逐渐渗透到很多其他学科，包括微分几何、代数、复分析与复几何、李群与李代数、代数数论、代数几何、表示论等，从而产生了很多种同调论，使同调成为数学中的一个重要工具。而这些互不相同的同调论又可以从统一的哲学观点去理解，这就产生了同调代数。在很多发展方向，同调的表现形式、相关结果和应用等离开拓扑学已经如此遥远，以至许多数学研究者在应用同调代数时，竟很难看到自己所采用的方法与拓扑学中的原始思想之间的联系。

本文希望通过对同调代数的起源和发展的观察，特别是从数学角度的理解，说明尽管现代同调代数的应用领域相互间相差甚远，应用形式千变万化，仍可以从其中的基本概念和方法追溯到拓扑学的原始思想。这些思想在今天应该说是数学中的（而不仅是某些数学分支中的）极为重要、基本而深刻的思想。

同调的起源

我们先来看看整体性和局部性的区别。

一个典型的例子是曲面的结构。例如球面和环面（图1）的局部结构是一样的，如果在球面或环面上取一小块（如图1中的小圆片），它们的结构都等价于平面上的一小块；但球面和环面的整体结构是截然不同的，如果将球面想象为橡皮，可以随意拉伸变形，甚至还可以剪开翻个身再按原缝粘回去，那么不管怎样做这样的“拓扑变换”，也还是不能把球面变成环面。用拓扑学的术语说，就是球面与环面不“同胚”。由此可见，即使完全了解了局部结构，仍然可能对整体结构毫无所知。

那么，怎样才能说明球面与环面不同胚呢？应该说这是一个困难的问题。如同数学中的很多难题（如罗巴切夫斯基几何不矛盾；五次以上的代数方程没有一般的解法；连续统假设不能证明；方程

没有全非零的整数解；用圆规和直尺不能三等分任意角，等等）一样，我们不能将球面变为环面，并不是因为我们不够聪明，即使再聪明的人，也还是办不到。要说明这一点，一个基本的想法就是寻找“拓扑不变量”，就是找一种量，它在拓扑变换下不变。对于球面和环面，可以取它们的“亏格”，就是“洞”的个数：环面有1个洞，即亏格为1，而球面的亏格为0，由于亏格是拓扑不变量，这就说明球面与环面不同胚。