将方程从小学推延到初中有无必要、会否误才？兼论现实教学中的掩耳盗铃_风闻

末那识-学以养识，以识统学。（心迷法华转，心悟转法华）03-29 19:55

2023-03-29

【本文来自《数学玩的就是抽象，数形结合有害于抽象思维的培养-例1》评论区，标题为小编添加】

silentstorm
楼主你不会用未知数解方程吗？小学就学解方程了，一元一次方程

(6+x)*5=31+35+2x

方程的内容到5年级才学（现行人教版）。我娃才四年级。

2022版新课标要将代数和方程的内容从小学去除而推延到初中再学了。

我虽然不认同这个骚操作，认为小学六年没必要在算术上反复折腾，而应该珍惜宝贵的学习时光早点学习代数和方程，学了代数和方程后，很多问题就容易解决多了——不用像用算术思维去解决时那么烧脑了。

但是呢，第一，算术是基础，应该好好学；第二，用算术思维去解决问题还是很能锻炼抽象思维的能力的。

所以，我认为既然学算术，那就好好学。所谓好好学，就是真正用算术思维去解决问题，而不能滥用数形结合这种形象思维，且数形结合方法在本质上还是基于代数-方程思维的。假装数形结合是算术思维有点掩耳盗铃的意思。

以上是小编推送的评论部分。

以下才是该评论的根据——一篇完整的文章

将方程从小学推延到初中有无必要、会否误才？兼论现实教学中的掩耳盗铃丨对2022版新课标的思考丨小学数学“教-学”探索・杂谈篇

义务教育数学课程标准（2022年版）将方程内容的教学从小学推延到了初中。

此推延或许真得没必要而且可能会耽误少年学子的成才。

而在小学数学的实际教学中，代数及方程的无论是其实质还是其形式其实都早已（在学习“用字母表示数”和随后的“方程”的内容之前）无处不在，但老师们却都假装那只是算术，上演了现实版的“掩耳盗铃”。

以下试做论述。

一、将方程从小学推延到初中有无必要、会否误才

早在约3600多年前（公元前约1600年）古埃及人就已经开始运用方程（写在草纸上的数学问题中的含有未知数的等式）。

早在约2000多年前的中国古人就已经发明了“方程术”（初见于成书于公元1世纪左后的《九章算术》中的第八章“方程”“”——“方”意为并列、“程”意为用算筹表示竖式，其中例题18个，立术19条。用现代数学眼光看：“方程术”是三/多元一次方程组及其解法；它采用分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵；解线性方程组时所使用的遍乘直除法，与矩阵的初等变换一致；这是世界上最早的完整的线性方程组的解法，在西方，直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程组的解法法则。“方程”这一章还引进和使用了负数，并提出了正负术——正负数的加减法则，与现今代数中法则完全相同；解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就，第一次突破了正数的范围，扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。引自百度百科）并在其后不断发展完善（魏晋时期的大数学家刘徽在公元263年前后为《九章算术》作了大量注释，介绍了方程组：二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程。他还创立了比“遍乘直除”法更简便的“互乘相消”法来解方程组。引自百度百科）。

早在约1600多年前古希腊的丢番图（Diophantus，推断约在公元246-330年，古希腊亚历山大大帝后期的重要学者和数学家，代数学的创始人之一，对算术理论有深入研究，他完全脱离了几何形式，以代数学闻名于世）就创立了（初级）代数学并研究了代数方程（其墓志铭其实就是一道典型的应用“一元一次方程”求解未知数的题目。其曰：“坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。”与之相关的待求解的问题：1、丢番图的寿命；2、丢番图开始当爸爸的年龄；3、儿子死时丢番图的年龄）。

早在约1200年前（公元825年左右）阿拉伯数学家阿尔・花拉子米就曾写过一本名叫《对消与还原》的书讨论方程的解法（所谓“对消”就是将方程中各项成对消除的意思，相当于现代解方程中的“合并同类项”；所谓“还原”就是把方程转换成左边各项都含有未知数、右边各项都不含未知数的形式，相当于现代解方程中的“移项”）。

……

上千年前乃至于数千年前的中外古人就已经创立了方程并在学习、使用、研究方程及其解法了，这相当于人类在数学上的儿童期所创造继而学习、使用的知识，我们现今的儿童从小就接受了大量的相关信息的刺激使得其大脑可能已然具备了接受和理解这些知识的能力【“数学教育领域有一个共识，就是一个现代人学习数学的历程大体上沿着数学发展史的历程，类似于一个胎儿成长的过程大体上沿着生物进化的历程。”参见：如何理解数学？从纠正对数学的偏见开始——得数学者得天下】。其实有一个典型的例子或可对此进行佐证：

早在150多年前的洋务运动时期（19世纪60-90年代）的福州船政局所设的船政学堂里那些刚进学堂时也才十三、四岁的福建少年在一两年后就开始用法文、英文原版教材学习机械、数学和航海知识了（多元和/或高次方程什么的应该是基本的吧，因为现代科学技术知识的核心就是各式各样的含有多个变量/参数的动力学方程啊。那代数尤其是初等代数中的线性方程（组）应该在用外语原版教材学习机械、数学和航海知识前也就是十一二岁时就该用母语中文学了个初步的基础吧）且其内容比当今大学里学的相应课程都深【转引自曹则贤：嫌高考物理难？你就不怕娃儿成废柴？| 贤说八道。“（）”内为笔者加入的分析/注释】。

我们如今的少年（小学五、六年级）难道不如150多年前的同龄少年、连个初等代数中的方程都不敢学、学不会吗？

因此，将初等代数如方程等推延到初中是否有必要呢？是否严重低估甚至辱没了我们当今少年的智力水平和学习能力呢？

更值得深思的问题是，现代科学技术尤其是如数学、物理的基础学科和高精尖技术的基础都是现代发展起来的真正高等而且艰深的数学知识，更别说科学史上那么多科学家在年纪轻轻的二十五六岁甚至是不到二十岁时就做出科学研究成果乃至于创立一门学问的前提和基础还不就是因为人家早早就学习到了充足且真正的知识/学问尤其是数学知识/学问吗【“天才不过是受到了合格教育的普通人。在这个世界上，合格的老师比天才还少。天才是因为早早地遇到了合格的老师才得以脱离普通人的命运的。”引自：《磅礴为一》序：Polymath型学者礼赞 | 贤说八道。“科学史上留下姓名的那些大科学家之所以能做出重大成果，除了自己确实有些天分外，还因为人家遇到了好老师（并受到高明的点拨），更重要的是人家从小就读了正经的书（知识创造者的著作或其它高质量的著作），学到了真正的学问。”引自：曹则贤讲座《学问不分专业，只分会与不会》，大意之概述】？

但我们的数学教育呢？即使是大学毕业也才学了当今人类的整个数学知识的一鳞半爪【即使是学到大学里的高等数学（其实“既不高等、更谈不上艰深”。参见：如何理解数学？从纠正对数学的偏见开始——得数学者得天下）如微积分和线性代数等也才仅仅学了现今人类整个数学知识的恐怕5%都不到（“人类全部数学知识的90%都是在20世纪中被创造出来的。”参见：从历史角度讲现代数学）且这些所谓的高等数学知识还是几百年前——微积分是300多年前、线性代数是200多年前——就已被创造出来的数学知识，连我们在大学里一般专业不学而仅仅数学或物理专业或其它有特殊要求的专业如电工专业要学的拉普拉斯变换和傅里叶变换以及群论都分别是200多年前、180多年前就已被创造出来的】且其深度仅及皮毛，而高阶的科学和技术创新是需要以广博而坚实的数学知识为基础的，但我们由于在小学、中学乃至于大学学习得太慢、太少以至于在最年富力强和最富于创造力的年纪由于知识短板而不能发挥其创造力专注于创新，反而要将大量精力放在恶补本该早已准备好的数学基础知识上从而严重影响到创造力的发挥，而等到知识补得差不多时却已错过了创造力的黄金期；再者，人类在数学上的发展和进步，其实犹如攀登一个又一个的阶梯，攀上每一个阶梯都依赖于数学概念/理念/思维的提升，用高阶的概念/理念/思维去理解低阶的数学知识就容易得多——比如用代数概念/理念/思维/思想去处理算术中极难的问题都很容易，所以学习现代数学更重要的是学习和领会这逐级进阶的数学概念/理念/思维/思想【“其实数学的发展方向，是老的数学越来越成熟，越成熟就越简单，越容易，越接近普通人。这个过程，主要是通过理念的提升来实现的。”“将大部分时间和精力耗费在学习初等“题型”和技巧上，是很大的浪费，有那功夫，数学分析、高等代数等更高的台阶都能上去了。”“理念的提升，远比技巧的提高重要。”“数学的发展不仅是内容的丰富，而且有理念的提升。每个重要的新理念会促进数学的整体发展，影响到很多数学分支甚至数学以外的学科。”“学习数学不应仅仅是知识的积累，还应逐步提高哲学理念，如一个一个地上台阶。”参见：如何理解数学？从纠正对数学的偏见开始——得数学者得天下】。

因此，小学阶段放弃初等代数如方程而用六年时间在算术这一最低的原始层级上反复折腾（且还不是在对“数学概念/理念”这一本质或者说“道”的理解和领会上折腾而是在“术”即技巧上做重复训练）是否有必要呢（算术和初等代数如方程的这些数学知识占现今人类整个数学知识的比例恐怕还不到3%）？是否是荒废少年的大好时光、旺盛的学习精力和本已较强的学习能力呢？

中科院物理所曹则贤老师（16岁就考入中科大，留学德国凯泽斯劳滕工业大学并获物理学博士学位——第一届中德联合培养实验物理博士，中科大去了8个人，只有他考上了。我心目中致力于真正科普——将科学中的“科”的主要内容也即其中最基础也最核心的数学以及科学家”‘创造知识’的知识“也即激发和引导科学家进行知识创造的那个”灵感“或用曹老师的话说叫“一念非凡”的那个“念”进行普及教育——的科普达人和学问广博而精深的科学家兼真读书、读真书的读书人）曾在著文中感概：

“在我当了物理研究员和教过不少名牌大学的教授多年以后，有一天猛然发现目前这个世界上可能99.99%的数学和物理知识都是我闻所未闻、见所未见的，我甚至有崩溃的感觉。今天中国的中学、大学里所教的物理不仅不难，而是浅得离谱，浅得让人无地自容，浅得有辱祖宗，浅得让人不由得为民族的未来担心。”

另据曹老师自己估计，他现在所知——曹老师的“知”标准很高（不仅学过还要真学懂了）——的数学和物理知识中的90%（？具体不确切，总之是一个绝对大的比例）都是博士毕业参加工作后自己在工作之余自学的，也就是说，他学到博士毕业也才学了他现今所知的数学和物理知识的10%（？），而自学的90%中的一部分对于真正理解和弄懂在上学期间所学的那10%又是必需的、关键的——言下之意是由于上学期间所学的数学、物理太少而且浅薄所以其实也没能真正学懂所学的那些数学和物理。

有鉴于曹则贤老师的学习经历和他的“多么痛的领悟”，应该可以说，我们在小学、中学乃至于大学所学的数学都太少而且过于浅薄。

因此，小学阶段放弃初等代数如方程而用六年时间在算术这一低阶层级上反复折腾是否会耽误我们的少年成才呢？

二、现实版“掩耳盗铃”

那边课程标准中要将初等代数如方程从小学教学中去除而推移到初中，而这边实际教学中却上演了现实版的“掩耳盗铃”：明明方程的形式及代数思维在各种习题的题设表述及其解题方法中无处不在，却还要假装那不是代数和方程而是算术。

典型的如下题及其解法：

题设：甲 ÷ 乙 = 7 …… 5，甲 - 乙 = 53。甲 = ？，乙 = ？。

解法：数形结合-线段图（用1段线段表示乙，则甲用7段线段加一截代表5的线段来表示，然后通过观察直观得知8段线段之和是53-5=48，由此得一段线段是48 ÷ 8 = 6，则乙 = 6，甲 = 6 × 7 + 5 = 47或甲 = 53 - 6 = 47）。

还有很多用各式各样的符号比如三角、圈圈、方框等写出的等式的题目，然后求三角、圈圈、方框是什么数或者里面应该填的数是几。比如：

（8-◯）/（12+◯）=1/3，问：“◯”是几或里面填几？

（原题是以分数/分式的形式呈现的，这里不方便编辑而用了上面的形式）

你都已经用符号（代数中的未知数可不仅限于用教材“用字母表示数”之表述中的“字母”来表示/指代）表示数并已经写出了含有符号的等式了，而这样的等式无论在本质上还是形式上难道不就是方程吗？或者说，没有代数/方程的思想你能写得出这样的含有表示/指代数的符号的等式吗？

你用的解法中的数形结合法（线段图解法或其它形式的图解法）无论在本质上还是形式上难道不就是方程解法（数形结合法中所用的“图形”的本质其实就是代数中用于表示/指代未知数的符号，对这些本质是代数符号的“图形”所做的加减乘除的运算其本质也仍然是解方程方法中的“移项和合并同类项”的操作/运算。可参考《九章算术》中的“方程术”对方程——其实是现在所称的三/多元一次方程组——解法的描述，其分离系数的解法还与近世所创立的线性代数中的矩阵运算差可仿佛呢。所谓的“数形结合”不过是一元一次方程解法中“对消与还原”之术——1200多年前阿拉伯的的阿尔・花拉子米在其所著《对消与还原》的书中描述的解方程的方法——的几何表达）吗？或者说，没有代数/方程的思想你能“发明”出“数形结合”这样的解题方法吗？

并且，“数形结合”或许都已经融合代数与几何了（将“数”赋予“形”在数学发展史上可是有重大突破意义的一件大事，不简单着呢），其本质或者说其内涵的思想——这意味着“数形结合”的方法以此思想为前提和基础（这个道理就是我常引用的托马斯・阿奎那的那句话“对‘存在者’的某种理解以对‘存在者之存在’的某种领会为前提”的意思）——可能根植于笛卡尔所创立的解析几何或者说其它的什么将代数与几何融合的数学。

所以，小学的实际教学中，代数和方程的本质和形式早都已经无处不在了，却还要假装那是算术。这不是掩耳盗铃是什么呢？

从这一即使是“掩耳盗铃”的事实中，我们也发现，小学生对代数和方程的接受和理解其实已相当“丝滑”，不存在什么有何较大“滞涩”的问题。这是否进一步说明了：将初等代数如方程推延到初中是不必要的且是耽误了少年的成才的呢？

三、课标修订组的解释是否科学、合理

那2022版课标修订组的专家对将方程的内容从小学教学中清除（推延到七年级即初一再学）的解释是否科学、合理呢？

课标修订专家组组长“义务教育数学课程标准（2022年版）解读”讲座的视频截图

其解释中的关键是如下几点（可参照B站该讲座视频核查）：

1、真正的代数是韦达创造的代数，或者说代数要到韦达用字母表示方程的系数时才体现出本质，简易方程中的未知数用字母来表示还停留在古希腊丢番图的表达——言下之意是丢番图的代数是比较低级粗疏的或者说初级的、不及本质的（？）；

2、简易方程没有体现出引入方程的必要性，方程应当至少从“鸡兔同笼”讲起——言下之意是算术思维求解复杂且有难度于是古人“不得已”发明了方程术；

3、方程的定义在教学中不方便或者说很难跟孩子阐述清楚，比如方程中“=”的意义并非是运算符号而是表示“=”两边由代数式表示的两个（数）量的相等。

我试着对上述三点做一个分析，仅供参考。

关于第1点

第一，我想起了微积分。微积分在其发明之初甚至有点“基础不牢，地动山摇”的意味，后世才对其理论基础不断地夯实、完善使其成为一个完备的理论。但如果真要真正理解微积分的基础及其本质而不是仅仅是学会用它的话，那也绝非易事，甚至可以说对绝大部分学习了所谓“高等数学”中的微积分课程的大学生都不太可能，因为其理论基础涉及到的集合论等对数学专业的学生恐怕也是一个梦魇。那难道不能真正理解微积分的本质及其理论基础就不学微积分了吗？现实并非如此，也不必如此。

第二，前文引述的数学教育领域的“一个共识”值得深思：

数学教育领域有一个共识，就是一个现代人学习数学的历程大体上沿着数学发展史的历程，类似于一个胎儿成长的过程大体上沿着生物进化的历程。

——引自“返朴”公众号的文章，作者“其故”：

如何理解数学？从纠正对数学的偏见开始——得数学者得天下

第三，丢番图的代数不算代数或者说是不及代数本质的代数？我不知道组长同志的观点的背后有怎样的理论支撑，我只知道据我查阅的资料，丢番图被公认为代数——至少是初等或说初级代数——的创始人（之一）。

理论上的讨论，非我们所能。但我们可以想想，丢番图的墓志铭究竟想表达什么呢？

数学坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路。上帝给予的童年占六分之一，又过了十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛。五年之后天赐贵子，可怜迟来的宁馨儿，享年仅及其父之半，便进入冰冷的墓。悲伤只有用数论的研究去弥补，又过了四年，他也走完了人生的旅途。终于告别数学，离开了人世。”

——丢番图的墓志铭

与之相关的待求解的问题：

1、丢番图的寿命；

2、丢番图开始当爸爸的年龄；

3、儿子死时丢番图的年龄。

我们知道西方文化传统中的墓志铭，所刻的一般是其人一生最大的成就。

如果丢番图的此一墓志铭仅仅是一道算术题（虽然也算很复杂，对即使对于今日之少年也不算太难，何况对于当时古希腊群星闪耀的数学家们），它有何资格可以成为墓志铭呢？

那么丢番图的此一墓志铭就必是一道代数题，而从算术到代数是数学概念/理念/思维/思想的突破、飞跃，其伟大足以有资格成为墓志铭。

第四，从用字母（或其它符号）表示“未知数”（即“有确定数值但是未知的数”）到用字母（或其它符号）表示“变量”（即“一般的、任意的数”）是一个很自然的数学思想的发展过程。没有第一步的突破，如何有后面的进步？所以对这第一步的学习是符合上文引述之“数学教育领域的共识”的，而跳过第一步直接从后面完备形态学起，是不符合人的认知规律的。

关于第2点

第一，如“5-X=2”这样的简易方程当然体现不出引入方程的必要性，甚至有点——用句粗鄙的话——“脱裤子放屁”的意味，或至少是有点“为赋新诗强说愁”的意思。但这是教学设计（教材编写）的不合理啊。另外，要体现出引入方程的必要性也没有必要非得从所谓“鸡兔同笼”开始啊，丢番图的墓志铭不就是一个现成的极好的可作为导入方程概念/理念/思维/思想的引例吗？！所谓对于向孩子呈现的（加这个修饰语另有深意，见下文）必要性不就是向其展现对于一个复杂的问题用算术思维求解很难而用代数-方程思维就相对容易的“事实”吗？！

第二，用“鸡兔同笼”的例子就能体现引入方程的必要性了吗？或许非也！你看看当今的小学生用算术思维解这个问题（据说有多达13种算术解法）的熟练老辣（堪称“丝滑”）之程度的事实就明白了。

然则，如何向孩子们阐述或传达（并非刻意强调而是潜移默化的）引入方程的必要性呢？我的看法如下。

上策：不必阐述和刻意强调（其实恐怕也说不清楚，因为这个问题本身恐怕没有定论或共识，即使有，恐怕也只是我们的“数学教育专家”们的一厢情愿的一偏之见），学生在用方程时自然而然就能（潜移默化的）领会到方程思维之于算术思维的优越性，并从这种领会中自己去把握引入方程的必要性。

下策：如果非要阐述和强调，我认为首先应该向学生说明这是一个没有定论的开放性问题，也就是说，古人究竟是在什么样的情境下生发了什么样的灵感从而创造出了方程（术），古人没有交代，后人只能凭自己的理解和认识去猜想，然后向学生们介绍各种猜想，让孩子们自己去理解和判断（有心的孩子会带着这个问题在今后的学习中随着知识的扩展和深入而重新思考）。

在此，我也阐述一个我自己的猜想（专家组组长借“鸡兔同笼”表达的方程是算术思维求解有难度从而所做出的“不得已”的发明的意思，还是很有道理的，纳之）——内含些许“暴论”：

我的猜想的关键在于将中国方程术（实则是“三元一次方程组”）的发明与西方代数方程（实则是“一元一次方程”，如古希腊丢番图的墓志铭的那道题的一元一次方程解法）的发明区别开来，分别阐述其发明的必要性。

中国方程术的发明：对于同时有三个“相互独立的”（其中任何一个不能用另外两个或两者之一去表示，即：三个未知数之间没有可供相互换算的数量关系）待求解其数值之对象（即同时有三个“独立”的未知数）的问题（如《九章算术》第八章“方程”中作为引例的问题，其要同时求解的是三个独立对象的数值，即：上、中、下三等禾其各自之一秉分别各实多少斗），算术思维已经极难求解（是否是“不可能”呢？因为有点“三体问题没有解析解”的意味啊，三即多、多则惑。即使能用算术思维求解，这恐怕也并非正常智商能驾驭的了），不得不另创新术，于是中国古代数学家以其无上智慧创造/发明了“方程术”；“方程术”用现代数学的语言表述即“三元一次方程组及其解法”，准确的说，“方程术”并未如现代数学那样用符号语言（即使是“甲、乙、丙”或“天、地、人”这样的文字其本质也是符号，也可以作为代数或者说方程中未知数的表示/指代符号）去写出这一组三个“三元一次方程”（含待求解之三个对象即三个未知数的等式）然后对三个等式根据等式性质进行逐个消元、移项和合并同类项诸运算得到其中之一元的数值继而利用第一元的数值算出第二元的数值最后再利用第一元和第二元的数值算出第三元的数值，而是其解法即“其筹算方式中的‘置筹法式’和求解运算中的‘遍乘直除’法式”内涵了三元一次方程组的概念/理念/思维/思想，其“置筹法式”采用了分离系数的方法表示线性方程组，相当于现在的矩阵，其“‘遍乘直除’法式”，与矩阵的初等变换一致。

西方代数方程的发明：由于西方是字母文字，加上其有发达的将数学做形式化表述的传统（如古希腊的生活于公元前330年-公元前275年的欧几里得著述的《几何原本》，其中已有符号参与的运算——图形之间的关系的比较其本质可能就是符号表示的量之间的运算），以及其演绎思维的方式（正向推理），在遇到的算术问题虽然仅有一个待求解其数值的对象（即“一个未知数”）但却也相当复杂困难（逆向思维的特点）时，或许就会被迫转向其擅长的正向思维的方式并自然而然地引入字母表示数并将找出的问题中各数量之间的等量关系写成含有以字母表示的未知数的等式，也就是一元一次方程——简易的一元的代数方程（古希腊的生活于据推测约公元246—330年的丢番图所创立）。

为什么中国的“方程术”是从“三元一次方程组”开始的而西方的“代数方程”却是从“一元一次方程”开始的呢？我有两种堪称暴论的猜想——真的是仅供参考（绝非谦虚之语）：

第一种。中国古人的算术思维和计算能力（有筹算术、珠算术等计算工具及其方法的加持）太过强大，再难的一元的算术问题都不是事儿，连极难的二元的“鸡兔同笼”问题也不在话下，只有遇到三元的问题算术思维失效时，才想着要创造、发明新的方法——计算之术（从“方程”所在的《九章算术》的书名中的“算术”——计算之术——一词即可见一斑），于是才创立了“方程术”。所以中国的“方程术”起步就是“三元一次方程组”。有了“方程”的概念/理念/思维/思想之后，再去求解二元和一元的算术问题就自然而然可以用（实际上也可能不会去用，关键在于各自的计算方式的简繁与否，若思维上简单，但计算麻烦——解方程组的计算要用筹算的，则或会弃之不用）二元一次方程和一元一次方程了（这从魏晋时期的大数学家刘徽在公元263年前后为《九章算术》所作的注释——如”二物者再程，三物者三程，皆如物数程之。并列为行，故谓之方程“——中可知。他还创立了比“遍乘直除”法更简便的“互乘相消”法来解方程组）。西方古人的算术思维和计算能力可能会稍差点，且其记数法表示的数本来就不便于、不利于计算（参见：……作为概念的（自然）数是如何被认识到——发明和/或发现——的？一个猜想……），加之其记数法表示出来的数本来就是用字母符号表示的数以及其崇尚以演绎思维为基础的正向推理方式，故而其在遇到一元一次方程形式的很难的算术问题时，就可能自然发明、创造出一元一次方程。而西方在创造出一元一次方程后，并未在二元、三元等多元一次方程组方面有所建树（直到17世纪才由德国的莱布尼兹提出完整的线性方程组的解法法则），却在一元二次、三次乃至于多次方程的研究上成果颇丰，其中原因或许就在于其方程的发明背景。

第二种。西方的”代数方程“是在学习、借鉴了东方/中国的”方程术“后结合自身的数学特点而改造、发展起来的，但由于其在学习、借鉴”筹算术“（”筹算术“以中国的”十进位值制“记数法为基础，西方/古希腊的记数法与其格格不入）上的困难，故而学习不了或学不会中国”方程术“中”多元一次方程组“的”筹算“方式的解法，所以，西方/古希腊人学不了”多元一次方程组“而只能取中国”方程术“的思想并结合自身的数学特点发展出一元的代数方程（一元一次方程，继而一元二次方程、一元三次方程及一元高次方程并研究其解法）。当然，这个猜想涉及到”中学西渐“，很难说得清也缺乏文献史料的佐证；更有可能与”古希腊和/或古罗马伪史论“有所牵涉，那就非我所愿了（相比于”古希腊和/或古罗马伪史论“，我更倾向于在公元前后的古代就有规模不小的”中学西渐“——或”中学“通过欧亚大陆的自然交流逐渐传到西方并引起了西方/古希腊人的学习、研究、借鉴和二次创造的兴趣和行为、或西方有意识地通过欧亚大陆的交流着力学习、研究东方大国的”中学“并在理解、吸收其思想后二次创造）。

关于第3点

第一，方程的定义难以阐述清楚难道可以成为不教方程的正当理由吗？

自然数的定义还更难以向小学生们阐释清楚呢，即使能阐释清楚小学生们也未必理解得了啊，因为那涉及到更高阶的知识了，并且，就算是学到大学毕业的大人，恐怕绝大多数都还不知道自然数究竟是如何定义的。但不知道自然数的定义不妨碍我们从小学就开始学自然数啊——而且小学来来去去学的不都是自然数吗。

与自然数的定义相比，方程的定义——如果有一个有共识的定义的话（如果没有，那就更没什么可说的了）——要简单多了。即使不用定义法的表述，也可以用描述法的表述啊，比如：

虽然不能说“含有未知数的等式是方程”，但是可以说“方程是含有未知数的等式”啊，当然还可以追加一句，“其中的未知数一般用符号如字母来表示”。

关于这一点更深入的的辨析，可参阅如下文章：

张奠宙：“含有字母的等式叫方程”为什么是错的？

第二，方程中的“=”难道仅仅表示的是等量关系而没有运算的意义？

恐怕未必如此吧。应该说，所有情形下的“=”不仅是表示等量关系的符号，而且也是表示运算结果的符号。

比如“1+1=2”中的“=”，既表示“1+1”与“2”之间的等量关系（“1+1”也算个或类似于多项式吧——虽然不是代数式，但严格说来，“1”也仍然是个“符号”吧，只不过是一个代表确切数值“1”的符号），又表示“1+1”经过运算后的结果是“2”。

代数式表示的量不仍然是个要经过运算或其内涵了运算的量吗（“用字母表示数”的本义不就是让表示数的字母参与运算吗，而正是让表示数的字母参与运算了才能写得出代数式啊）？既是运算的量，那“=”自然可以表示运算的结果啊，无非是“=”一边的代数式经过运算之后的结果也是另一边的代数式经过运算之后的结果或者说可以用另一边的代数式经过运算之后的结果来表示。

第三，真正理解一个东西要在与其打交道的过程中去领会其本质。

领会“方程”思想及其本质并不能依赖于对方程的定义的知晓和理解，而要在学习并使用它的过程中去领会其本质。

第四，大多数的学生包括大学毕业生其实恐怕也并清晰于——可能也没必要知晓——方程的定义中的那些难点，但并不妨碍其学习和运用方程。

鉴于职普分流的大势，近半的学生要走职业技术路线，而现代制造业中的高质量、高层次的职业技术是需要比较广博的关于方程的知识的（恐怕所有的技术都涉及到“动力学方程”，因为这是机器运行和控制的基础）——扎实与否其实相对都不那么重要（知道有那些知识并知道哪里和如何去学，以后需要时就会去自学，而如果连知道都不知道，那就会因为无知而茫然），而如果不充分利用九年义务教育的时间给孩子们教授足够的方程的知识，那孩子们以后大概率会落入近于以前的文盲的境地。

因此，小学数学不教方程是浪费宝贵的学习时光（况且上世纪八九十年代以来的小学生也没见学方程有啥大的“滞涩”的，当今的小学生更没问题了吧）。

四、问题的根源无非“不得其师”、“不得其法”而已

小学数学教育中的问题，归根结底都是“不得其师”、“不得其法”而已。

我们的数学家们应该挺身而出，分些精力投身到小学数学教育的实践中来，而不是光在那表达自己的观点和对于现实数学教学中的“瑕疵”甚至“胡来”的鞭挞和批判（虽然我从中大受启发和裨益并将其付诸实践，但我们作为家长或编外之教者毕竟不是教学的主力军）。与其坐而论道，不如起而行之。

“一个国家的强盛，是在小学教师的讲台上完成的。”（转引自华为创始人任正非的讲话，据任讲此话原为普鲁士元帅毛奇于1870年所说）

【正文完】

跋

1、本文渊源

本文的很多感想和观点是受到了曹则贤老师的讲座《从一元二次方程到规范场论》的刺激和启发才有的。强烈推荐研习一下。

曹则贤：从一元二次方程到规范场论 | 中国科学院2022跨年科学演讲

2、美帝如何

或问：美国的小学数学教不教方程呢？据我查询所知，应该是教的。