数学和物理的再婚_风闻

撰文 | James Propp

翻译 | 蒋迅

我一直是再婚喜剧的粉丝（比如“它发生在一个晚上”、“费城故事”、“他的女孩星期五”等电影中），而最伟大的再婚喜剧之一是数学（“Math”）和物理的故事 （或者叫“Phyz”，数学喜欢这样称呼她）。

你可以说他们最终分手的根源从一开始就存在，当时他们在婚礼上组装了一个宇宙模型。这是一个甜蜜但事后看来很天真的姿态。你看，Math发现恰好有五种方法可以将相同的正多边形粘在一起形成完美对称的立体（我们人类将这些规则形状命名为“柏拉图立体”，以纪念主持婚礼的哲学家，尽管他没有发现其中任何一个）；对这个发现感到高兴的Math把这五种立体带到了婚礼上，作为送给她准新娘的礼物。与此同时，Phyz带来了她自己的礼物：地球、空气、火、水和“精髓”（天堂的东西），她说宇宙是由五种元素构成的。（见尾注#1。）五种规则立体？五要素？这段婚姻是命理注定的！（见尾注#2。）Math和Phyz交换了礼物并宣布了他们的关系，发誓他们永远不会分开。如果有旁观者认为礼物之间的对应是被迫的，他们有礼貌地保持沉默。

柏拉图立体/维基百科

但几千年后，这种关系中潜在的紧张局势浮出水面。物理学不断发展和变化，修改了她的核心原理，例如羞怯地决定地球、空气、火和水毕竟不是真正的元素。但Math不禁注意到，即使Phyz发现了新元素，Math也不必更新她的正则体的库存。事实上，即使Phyz不断修改她自己的基本原则，数学已经找到了一个不可能再有新的正则体的证据，而且这个证据在几个世纪以来仍然有效。对了，还有另一个例子：物理学说弹球在沿曲线下降之前先直线上升，直到她说哎呀，不，它们也沿曲线上升。Math对Phyz的轻率和不可靠感到尴尬，正如物理对数学的呆板感到尴尬一样。

随着时间的推移，Math变得更加挑剔和模棱两可。她开始对自己的陈述不置可否，拒绝说出什么是真实的，而只是做出如下形式的条件断言：“好吧，如果假设 , 和 为真，那么结论 , 和 也为真。或者：在假设 , 和 近似正确的情况下，在相同程度上，结论 , 和 也应该作为近似值成立。” 虽然她不喜欢她听起来在说这种话时的声音。

但你不应该认为Math只是退回到空想或无精打采的完美主义中。数学和物理学一样在增长，但方式不同。并不是说数学对她与物理学的关系缺乏承诺。她只是觉得太被Phyz住的地方局限了。最终，大约在1900年左右，她说“我需要看到不同的宇宙”，然后她搬走了。

更高的维度

突出数学和物理之间鸿沟的一个问题是更高维度的问题。它们存在吗？数学和物理有非常不同的答案。在物理学中，最天真的（而且大部分是正确的）答案是“不”：你不能用四条相互垂直的线来构造一个物体。（当然，你可以更改问题，然后答案变为“是”，然后你可以再次更改问题，答案变为“也许”，但我很快就会回到这个问题上。）另一方面，在数学上，我们可以为n维欧几里得几何制定公理，不仅适用于 n=2和n=3 ，而且适用于任何正整数n。从这些公理可以推导出结果，每个数学家都会得到相同的结果，因此高维空间与任何其他数学构造一样真实：它们是人类思维的一致创造，具有所有逻辑思维都会同意的属性不是因为公理是正确的（不管那是什么意思！），而是因为所讨论的实体根据定义满足公理。现在的数学是一种描述可能宇宙的语言，我们碰巧居住的宇宙只是其中一个例子。

摆脱我对数学和物理学作为人格化存在的自负并转向对人类历史的考虑，考虑一下数学家路德维希·施莱夫利（Ludwig Schlafli，1814-1895）和物理学家阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein，1879-1955）的职业生涯。施莱夫利想知道 n大于 3 的 n维欧几里得空间中存在什么样的高维规则固体（“正图形”是技术上更正确的短语）。他证明了在 4-维欧几里得空间，但当n 为 5 或 6 或任何更高的整数时，n 维欧几里得空间中只有三个正则实体。另一方面，阿尔伯特·爱因斯坦追求的物理学观点认为，我们的3维空间需要被视为“时空”的 4 维几何的一部分，其中空间和时间的属性交织在一起。（见尾注#3。）尽管这两位思想家的生活是重叠的——事实上，爱因斯坦关于骑一束光的早熟思考发生在施莱弗利去世前后 —— 在一个重要的意义上，他们的工作根本没有重叠。部分原因是爱因斯坦提出的两个伟大的相对论不是欧几里得的；狭义相对论使用我们现在所说的闵可夫斯基空间（时间扮演了将其与其他三个维度区分开来的特权角色；见尾注#4），而广义相对论通过允许闵可夫斯基空间扭曲和弯曲，使游戏更加深入。但更重要的是，爱因斯坦关注的是我们的世界，而施莱弗利关注的是理想化的数学世界。

现在有人猜测我们的物理宇宙可能有额外的维度太小而无法看到。存在额外维度的可能性很诱人（这是我之前提到的“也许”），但在数学中，额外维度不仅仅是一种可能性：它们成为现实，尽管只是许多共存的现实之一，因为数学（ 正如我们现在所理解的那样）不是关于现实，而是关于可能性。

诺斯底物理学与诺斯底数学

为了帮助我进一步澄清数学和物理之间的鸿沟，我将借用几个（类似于诺斯替派假设的造物主，但更像书呆子的）虚拟造物主来帮助我。

所以，想象一下，如果全世界突然听到一个洪亮的声音说：“你好，你好！大家好。（能听到吗？哦，很好。）我是一个强大的造物主，我决定承认：我一直在招惹你们。你们大多数人都知道，你们星球上的一些宗教原教旨主义者相信我或像我这样的人在地里种下了恐龙骨头作为对你们信仰的考验。好吧，我一直在招惹你们。但不使用恐龙骨头。相反，几个世纪以来，我一直在干扰你们星球上的电、磁和光的行为。归根结底，牛顿物理学是正确的，狭义相对论是错误的。实际上，观察者有一个首选的参考框架；发光的以太是真实的；麦克斯韦方程是错误的；等等等等。意外！”

这样的声明将使我们有理由重新考虑爱因斯坦的理论，而不是施莱夫利的。在四个维度中恰好存在六个规则多面体是纯粹理性的事实，而不是实验观察。如果我们生活在一个四维欧几里得空间中，那么将有六种不同的方法将规则的三维多面体粘在一起形成正则的四维多面体。造物主的宣言不会改变这一点。

相比之下，我们可能会想象一个不同的造物主，他会说“这没什么！我弄乱了路德维希·施莱夫利的脑袋，以及所有读过他的著作或自己重构了它的那些人的脑袋，这样没人会注意到他证明中的逻辑谬误并发现隐藏的第七个正则多面体；每次你们人类读到为什么它不存在的论据时，我都会在关键时刻让你们的大脑一片空白，而你们却错过了这个错误！”这是一种完全不同的恶作剧。我们怀疑我们的观察误导了我们是一回事。怀疑我们的推理过程本身存在缺陷是一件更令人不安的事情，这种怀疑很快导致我们产生更进一步的怀疑，不仅破坏了施莱夫利或爱因斯坦的工作，而且破坏了整个科学事业和我们的整个自我意识。

（例如，我不认为我只是容器中的一个大脑。但请等等：如果我对自己的想法可能有误解，我有什么权利说出我认为的想法或不认为的想法。但是请再等一下：“我有什么资格说”这句话只有在我能说的时候才有意义，而且我是容器里的大脑，我只会认为我在说着什么。再说一遍，即使时间本身是一种幻觉，“等一下”又是什么意思？而且……）

为了强调物理和数学之间的区别，我将借用古生物学家斯蒂芬·杰伊·古尔德（Stephen Jay Gould）介绍的一句话，试图促成科学与宗教之间的友好离婚。古尔德称这些学科为“不重叠的权威”，并辩称它们并不冲突，因为科学的问题是“什么/何时/何地？”问题，而宗教的问题是“为什么？”问题，并且在是和应该是之间不可能有矛盾。古尔德试图解决现代的关键紧张局势存在一些问题，其中最重要的是不同信仰的原教旨主义者坚持认为他们的宗教经典清楚地陈述了宇宙的创造者（大概是在一个位置知道）。但我的观点是，以类似的方式，数学和物理无法碰撞，因为它们无法连接。数学是推导假设的非显而易见后果的引擎，但它不能告诉我们要做出哪些假设。我们可以将数学的预测与对现实世界的观察进行比较，并使用由此产生的一致性或差异来确定导致这些预测的假设是否有助于解释世界，但是当我们这样做时，我们是在做物理学，而不是数学。

PI 的三个方面

再说一次，也许我们应该将数学和物理视为重叠的学府，并将诸如著名的数量 pi （3.14159...）之类的事物想象为生活在重叠中。一方面，pi 是一个物理量，用于测量实际物理圆的周长和直径之间的比率；另一方面，它是一个数学量，例如等于无限和 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …的极限的 4 倍。我们称前者为物理 pi，后者为公式 pi。事实上，我想要第三个 pi，我称之为几何 pi。几何 pi 是理想的数学圆的周长和直径之间的比率，无论我们的世界中是否存在这样的圆。数学推理可以引导我们走一条美丽而复杂的道路，从几何 pi（“周长除以直径”）到程式化的 pi（4 倍的 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …，或其他一些你喜欢的 pi 的公式）。但它并没有告诉我们欧几里得公理是否是对我们世界的真实描述。如果不是，那么几何 pi 和公式 pi 虽然彼此完全相等，但与我们生活的世界无关，除非是近似值。

让我们把这个想法更进一步。物理 pi 涉及测量事物，并且只能以有限的精度知道。如果我们只能画出直径1020米的圆，并且只能测量到10-20米的精度，那么我们只能知道40位有效数字的圆的直径或周长，当我们取两个这样的测量值（周长和直径）的比率，我们再次得到只有 40 个有效数字。在这种情况下，如果无法测量该比率的百分位是否具有确定值，是否有意义？事实上，量子物理学告诉我们，测量长度的整个游戏在亚原子尺度上变得有问题。同样，广义相对论说，一旦你开始建造东西（比如在一块超大的黑板上画一个超大的圆圈），你建造的东西就会扭曲空间，导致与欧几里得公理的偏差（它只适用于平面空间，不是弯曲的空间）。因此，当我们谈论计算 pi 的数百位数字时，我们不会 —— 不能 ——意味着 pi 是物理常数；我们必须指的是数学量，由 4 倍的 (1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) 等表达式定义。

造物主或许能够扭曲空间来改变我们的测量值，但它必须扭曲我们的大脑才能让我们认为，比如说，4(1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) 等于 5。

顺便说一句，我不想给你留下错误的印象，即公式 pi 表示的是特定公式 4(1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + …) 给出的值。有数千个已知的圆周率公式，它们的总和构成了我所说的公式 pi，而不是其中任何一个。我们知道它们是相等的，不是通过测量物体，而是通过推理数学表达式，在数学所在的地方。

数学去了哪里

当数学离开我们的宇宙时，很难说她去了哪里。柏拉图为她的新家指明了方向，他写道：“你知道几何学家们抓住那些可见的图形并加以争论，但这样做时他们考虑的不是这些图形，而是它们所代表的事物；因此，他们争论的对象是绝对平方和绝对直径，而不是他们画出的直径。”也就是说，人类几何学家可能会画图，但当我们画这些图时，我们正在考虑一些绝对的东西，即使它在我们无法到达的领域。

在她的新家中，数学不必在欧几里得几何定理的每个陈述的末尾模棱两可并添加“……（假设欧几里得公理是正确的）”；她可以假定理想正方形、直径、圆等，这些都完美地满足欧几里得的公理。就是这样。做出一个欧几里得正方形，其底边是某个给定欧几里得正方形的对角线，新正方形的面积正好是旧正方形面积的两倍。在数学去过的地方，无需担心黑洞会扭曲图像，或者量子泡沫会破坏亚纳米尺度的图。遍布数学新家的结构正是它们的构造。在某些方面，这是一个孤独的地方，但如果你想与完美的真理联系起来，并且知道你可以绝对、肯定地确定的事情，那就是你需要去的地方。

完美真理的不完美呈现

由于我们人类无法到达数学去过的地方，我们在争论这个地方是否存在，而数学很酷。而且她甚至都不孤单，因为猜猜谁一直在那儿拜访她，有时甚至过夜？物理！Phyz想讨论 n维的量子场论，以及它与n+1维的广义相对论的关系，对于所有n值！

在最好的再婚喜剧中，婚姻的两方在分居期间都有了一些成长。也许他们每个人都发展了对方的特点，在这个过程中成为更全面的人。或许他们对自己和他人变得更加宽容。无论哪种方式，他们发展的新关系与以前的关系不同。

回到我们的天上的那对夫妇，物理学开始接受数学的轻浮，她无法满足于一个宇宙（甚至是一些庞大但有限的宇宙！），不仅仅是不成熟的标志；她的轻浮是她天性的关键组成部分。Phyz意识到，即使她 (Phyz) 满足于 4 个维度，或 11 或 26，Math 也永远不会停在那里，Phyz 也不会真的希望她这样做。更高的维度、曲率和奇异的拓扑结构，甚至是关于空间可能是什么主题的更奇怪的变化——Phyz 现在明白所有这些都是让数学变得如此美妙的一部分。

但是数学也学到了一些东西。一直以来，她都认为自己是一个富有想象力、自由奔放的人，而物理学则是一个没有创造力的人。但随后出现了弦理论，以及弦理论的一种特殊预测，称为规范重力对应。它受到物理世界的启发，最终可能对现实世界做出预测，但除了可能的应用之外，它还产生了美丽的新定理。谁能想到物理学会为代数几何提供灵感？代数几何是最纯粹的数学领域之一。当然，如果学科之间有任何交流，数学会激发物理学，而不是相反！然而，近几十年来，关于基本粒子的想法可能会或可能不会很好地描述我们所生活的世界，这些想法为纯数学家提供了灵感，为数学家试图建造的一些最崇高的空中城堡提供了蓝图。

从物理学引入数学的思想游行并没有破坏我关于数学和物理学是独立的权威的说法，但它确实使它复杂化了！

有些人可能正确地指出，数学和物理之间的交流已经有一段时间是双向的了。他们会指出理查德·费曼的非严格路径积分，或者奥利弗·亥维赛的更早的非严格狄拉克δ函数，它们在最初被表述时并不适合数学，并且其成功迫使数学扩展。但弦理论是迄今为止最好的例子。目前尚不清楚，如果没有物理学的启发，数学家是否会实现导致数学弦理论的想象力飞跃——尽管标准的刻板印象是数学家是创造性飞跃的不受约束的创造者，而物理学家则受限于描述物理世界的需要的限制。

无论如何，回到我们的两个拟人化，以及我想象中关于他们离婚和再婚的电影：在电影的最后一个场景中，物理和数学回到了他们最初发誓的地方，我们看到 Phyz 给Math了一个新的礼物：arXiv预印本，讨论镜像对称和几何朗兰兹纲领之间的新联系。Math的脸上浮现出震惊的神色，取而代之的是逐渐浮现的喜悦。我们这些电影观众不知道他们两个未来会有什么样的新关系，我们也不确定他们是否知道。但我们可以从Math脸上的表情看出，刚刚赐予她的东西绝对是完美的礼物。

感谢Sandi Gubin。

尾注

#1. 以下是柏拉图（在对话蒂迈欧斯中）所说的关于五种规则固体中的四种（立方体、八面体、四面体和二十面体）与根据希腊思想构成物理世界的四种元素（地球、空气、火）之间的对应关系，和水):

“那么，让我们将立方体形式分配给地球；因为地球是四种物体中最不可动的，也是所有物体中最可塑性的，具有最稳定基础的物体必然具有这种性质。现在，在我们最初假设的三角形中，具有两条相等边的三角形在本质上比具有不相等边的三角形更牢固。在由任何一个组成的复合图形中，平面等边四边形无论在整体上还是在部分上都必然比等边三角形具有更稳定的基础。因此，在将这个数字分配给地球时，我们坚持概率；我们将剩余的最不易移动的形式之一分配给水；其中最容易开火的；并宣扬中间的东西。此外，我们将最小的物体归于火，将最大的物体归于水，将中等大小归于空气。再一次，对火最敏感的物体，其次是空气，第三个是水。在所有这些元素中，具有最少基数的必然是最可移动的，因为它必须在各方面都最敏锐和最有穿透力，而且由于由最少数量的相似粒子组成，所以它也最轻：第二个物体在二级有类似的性质，在三级有第三体。那么，根据严格的理由和概率，让我们同意金字塔是固体，它是火的原始元素和种子；让我们将按生成顺序排在第二位的元素分配给空气，第三位分配给水。我们必须想象所有这些都非常小，以至于我们看不到四种粒子中的任何一种，因为它们很小：但是当它们中的许多聚集在一起时，它们的集合体就会被看到。”

至于第五个规则立体，十二面体，柏拉图决定它必须对应于某个第五元素（或“精髓”），并且由于它的边数（十二）是希腊十二生肖中的符号数，所以它一定是构成诸天的元素。

应该强调的是，柏拉图将这种宇宙学作为一个可行的假设，而不是我们现在所说的“确定的科学”（settled science）。

#2. 作为我这个比喻的旁注，我忍不住要提到，对于毕达哥拉斯学派来说，数字 5 象征着婚姻，因为它是第一个“男性”数字（3）和第一个“女性”数字的总和（ 2）。大概毕达哥拉斯学派会认为用数字 4 来象征两位女性的婚姻更合适。

#3. 当细长的物体旋转时，我们有时可能会看到它又高又瘦（当它的轴垂直时），有时又又低又长（当它的轴是水平时），但我们认为它没有任何本质已经改变。如果物体是静止的，而我们，观察者，是旋转的对象，则更是如此。那是因为空间的三个维度是交织在一起的。在爱因斯坦的狭义相对论中，时间以不同的方式加入了编织。一个以接近光速运动的圆形钟面的时钟会显得跑得很慢，而且它的钟面看起来也不是圆形的。如果时钟静止不动而我们是移动的人，情况也是如此。但是时钟的速度和形状并没有改变——只是它和观察者之间的关系。

（有些人更喜欢使用 。这也有效，只要你不搞混哪个你正在使用的符号约定。）

译者注：另一篇类似文章：https://thatsmaths.com/2022/12/15/convergence-of-mathematics-and-physics/

本文经授权转载自微信公众号“遇见数学”。

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