几十年数学难题被谷歌研究员意外突破！_风闻

詹士 萧箫 发自 凹非寺

量子位 | 公众号 QbitAI

困扰学界几十年的集合难题，竟被圈外人一个月搞定？？？

是的，你没看错。

当事人Justin Gilmer，毕业已7年，目前是谷歌研究员，于数学界并无名头，连其导师也并不看好他所做的研究，以至于成果发表后——

牛津、普林斯顿等高等学研机构数学家们看到名字，纷纷好奇：

这人谁啊？

不仅身份引人好奇，其破题方法也不按圈内常规路数，个中灵感来自通信祖师爷香农的信息论。

这项开创性成果及幕后历程刚被一些媒体介绍，在Reddit和Hacker News上引来不少网友热议。

有网友表示：看到信息论在意想不到的领域应用，真是酷炸了。

还有网友就着话题，秀了一把自己以信息论解决问题的经历。

所以，这位远离纯数学学术研究的大哥解决了什么问题？又如何在一个月内搞定的？

往下看。

这个猜想究竟是什么？

这位谷歌研究员突破的难题，名叫union-closed sets conjecture（并封闭集合猜想）。

该猜想认为，对于一个包含至少2个集合的、对并运算封闭的有限集合族，至少存在一个元素，使得它在至少一半的集合里出现过。

我们来解读一下这个猜想说的啥。

首先集合，就是包含了一系列元素的合集，这里面的元素既可以是数字，也可以是变量等。

例如这是一个我们常见的数集，而且是有限的（只包括3个元素）：

（至于无限数集，就像是自然数集、有理数集、整数集这种由无限个元素组成的集合）

当然，集合也有集合，它们组合起来，就可以被叫做集族，例如下图中F就是一个集族：

在这些集族中，有一类特殊的集族对并运算封闭。

对集族中的集合而言，并运算就是对两个集合求并集；至于并运算封闭，即是指在对任意两个集合进行并运算后，其结果仍然在这个集族中。

以下面这个集族为例：

无论是对{1}、{1,2}求并集，还是对{2,3,4}、{1}求并集，还是对{1,2}、{2,3,4}求并集……任意两个集合求并集，其结果都会在这个集族中。

所以，上面这个集族就符合并封闭集合这一要求，而并封闭猜想也正是基于此而提出。

值得注意的是，这一猜想中的“一半”是紧致的，毕竟对于任何一个集合的子集族，所有的元素恰好在一半的集合里出现过。

它于1979年被一个叫Péter Frankl的数学家提出，所以也一度被叫做Frankl猜想。

看起来似乎不难，然而到实际解决时，一众数学家才发现这并不简单。

**△**Peter Winkler

达特茅斯学院数学教授Peter Winkler曾经在1987年就这个猜想给出尖锐的评价：

并封闭集合猜想确实很有名，除了它的起源和它的答案。

**△**对此有同行表示，起源至少没答案难orz

为了解决这个问题，数学家们也已经尝试过不少方法。

例如有人试着给猜想加上一些限制条件，让它在这些情况下成立。

像是将它和图论中的二分图（Bipartite Graph）联系起来，证明具备其中某种性质的集族，在这个猜想的条件下成立。

又或是给其中的元素加以限制，再加以证明……

BUT，无论是哪种方法，距离真正需要证明的猜想都还差不少距离。

来自哥伦比亚大学的助理教授Will Sawin对此评价称：

它看起来似乎是个不难解决的东西，毕竟长得和那种“容易解决的问题”很像。

然而，如今却没有任何一个证明能真正搞定它。

问题就这样进度缓慢，直到2022年秋天，谷歌研究员Justin Gilmer借着朋友结婚的契机，回到了罗格斯大学校园。

用信息论突破了1%

Gilmer回母校的时间是2022年10月，此时距他毕业离开数学学术圈，已过去7年。这些年来，他自觉无心专注纯数学领域，转而自学编程，投身了IT行业。

此次返校，他拜访了导师萨克斯，还四处转了转。

就在散步中，他突然回忆起——当年自己徘徊于校园小径，苦苦思索的一个数学问题：

没错，就是那个对“并封闭集合猜想”的证明。

读博期间，Gilmer绞尽脑汁，花了一整年时间却毫无进展，只是搞明白了为什么这一看似简单的问题难以解决。

为此，他还去找过导师萨克斯。但导师也曾在该问题上停滞不前，因而他既不看好Gilmer的研究，也不愿重新碰这一领域。据Gilmer回忆，当时导师差点把他赶出房间。

但现在，重回校园转一圈的Gilmer有了个新想法：用信息论及相关原理解决并封闭猜想问题。

△ 信息论奠基人 克劳德・香农

信息论发源于20世纪上半叶，其最为出名的论文是香农在1948年发表的《通信的数学原理》，其中提出以“消除不确定性”的多少，来评价通信过程中的信息量大小。

这个不确定性要怎么理解呢？

以掷硬币游戏为例，假设我们需要掷5次硬币，然后输出结果序列，每次结果为1比特。

如果现在我们抛掷的是一枚普通硬币（正反概率各50%），那么我们至少需要5个比特来传递信息。

但如果给这枚硬币做点手脚（让它正面朝上的概率99%），我们就完全可以提前规定，在硬币5次都是正面朝上时，只用1个比特来传递信息。

这样，被用以衡量文本、图片等内容大小的比特，也能成为描述事件发生不确定性的信息熵单位，而信息论也成为现代通信奠基之作，构建起今日的信息社会。

受到信息论的启发，Gilmer决心下场再战。

此后一个月中，他利用下班后的晚上及周末时间，试探性地进行了摸索。有意思的是，由于长时间未接触理论，他一边研究还一边拿着本信息论教科书，以备随时查阅。

研究过程中，Gilmer还发现自己研究的问题并非无人关心，其实几年前，就有几位数学家在菲尔兹奖得主Tim Gowers博客里探讨过该问题。这让他有了更多信心。

△ Tim Gowers博客的相关研究内容

Gilmer的思路是找反例。

根据并封闭集合猜想，一个正常的并封闭集族中，至少应该有一个元素在多于一半的集合中出现。

既然如此，只要想办法构造一个特殊的集族，里面没有一个元素出现在超过1%的集合中，这个猜想就会被证伪，反之如果构造不出来，那么猜想就可能成立。

现在，我们用信息论视角看这一猜想：

正常来说，如果从集族中任意挑出两个集合，这两个集合取并集后，并集中的元素比原来两个集合更多，其信息熵应该比原来的单独两个集合更低。

然而如果基于“没有一个元素出现在超过1%集合”这个限制条件，任意两个集合取并集后，计算出来的信息熵竟然比原来的单独两个集合更高。

这显然是不可能的，因此不存在这么一个特殊的集族，Glimer的反例也没有找到。

但这也就意味着在“并封闭”集族中，至少存在一个元素，会出现在超过1%的集合中。

2022年11月16日，Gilmer将这一思路写成论文，发表在了arXiv上。

当然，他这篇论文还不是“完全体”，也就是说并没有完全证明并封闭集合猜想——

毕竟这只是至少1%，还不意味着原来的并封闭集合猜想中的**至少50%**就成立。

但这个新思路已经足够让学界震动。

普林斯顿大学数学家Ryan Alweiss评价“引入信息量”这一操作：非常聪明。

仅仅几天后，就有3个不同的数学研究组基于他的研究，先后发表了研究论文，随后也有更多研究者跟进，他们所在院校机构有牛津、普林斯顿、哥大、布里斯托等。

在后续研究中，对**“并封闭集合猜想”**的概率值证明，被推进到了38%。

令这些数学家好奇的是，基于Gilmer的研究，他自己上手将概率值推进到38%并不难。

对此，Gilmer表示，自己已经五年多没碰数学了，确实不知道如何进行分析工作来将其进一步推进下去。

不过，他也认为，正是因为对相关数学方法的生疏，让他跳出了常理，用圈外办法取得突破。

深度学习界的万引大佬

虽说此前在数学界没什么名头，Justin Gilmer也并非等闲之辈。

他任职于谷歌大脑团队，Google Scholar上引用破万，主要研究方向为深度学习、组合型、随机图论。

从其研究成果看，Justin Gilmer主攻图神经网络，高引论文涉及：消息传递神经网络（MPNN）、关系归纳偏差与图神经网络、显著图等领域。

上述研究中，最高引用数为4789，标题为：Neural Message Passing for Quantum Chemistry。

该文定义了一种图上监督学习框架，消息传递神经网络（MPNN），并将其应用于分子特性预测上。

以量子化学为例，该框架根据原子性质（对应节点特征）和分子结构（对应边特征）预测了13种物理化学性质。

这一成果在领域内影响深远，腾讯AI Lab的云深智药平台，其框架之一也基于MPNN改进发展而来。

另值得一提的是，Justin Gilmer还到过中国北京，2007年夏天他在微软亚研短暂呆过3个月。

根据其领英账号，Gilmer当时在一个4人团队，参与构建SVM分类器，用于识别句子中人名、地名、机构名等各命名实体之间的关系。

参考链接：

[1]https://www.quantamagazine.org/long-out-of-math-an-ai-programmer-cracks-a-pure-math-problem-20230103/

[2]https://news.ycombinator.com/item?id=34236889

[3]https://mp.weixin.qq.com/s/lj-jTonC2sqwWKgZZBXVVw

[4]https://www.uni-ulm.de/fileadmin/website_uni_ulm/mawi.inst.081/Henning/UCSurvey.pdf