《华尔街日报》：节日彩灯与坚固穹顶的神奇曲线

插图：托马斯·瓦伦塔数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击此处。

当我们悬挂圣诞灯串或金属箔条时，常会弯曲垂挂而非拉直，以增添节日氛围。数学上，这种自然形成的曲线被称为悬链线，其名称源自拉丁语“链条”——正如链条或绳索仅受自身重量悬挂时呈现的弧度。

链条呈现这种形状源于物理原理：重力作用于链条的每个节点，但被沿链条本身的横向拉力所抵消，这种拉力源自其固定两端。需要通过微积分计算才能精确找到重力与横向力的平衡点，从而形成稳定状态。但一旦理解这一原理，我们甚至可以将曲线倒置——若以刚性材料构建，曲线上每一点的受力仍会沿曲线横向抵消重力。

此时我们不再依赖自然形成的曲线，而是能主动构建出最坚固的拱形结构。平衡力沿着拱形曲线作用，而非向内或向外拉扯，从而避免结构坍塌。

人类在知晓解决方案前就已意识到寻找最优拱形曲线的必要性。伦敦圣保罗大教堂的穹顶便是我最钟爱的例证。1666年伦敦大火后，克里斯托弗·雷恩爵士为这座新教堂设计了统领天际线的宏伟穹顶。他深知如此巨大的穹顶会压迫内部空间，因此设计了较小的内层穹顶。但雷恩也明白这两个穹顶均非最优结构，于是匠心独运地在可见穹顶之间建造了第三层隐蔽穹顶。因其不可见，可完全基于结构力学原理建造，无需考虑美学因素，于是他试图用数学方法推演出最佳形态。

但悬链线的原理尚未被完全理解。以发现弹簧负重行为定律闻名的罗伯特·胡克曾推断，最坚固的拱形应是倒置悬链线的形状，但如何计算这种形状仍未解决。雷恩最终得出的形状接近悬链线，但更类似于三次曲线（任意数的立方函数）。

某些传统文化未经过正式计算却领先于雷恩。“蜂巢屋"是一种按悬链线设计建造的古老人类居所，推测是为了增强结构强度，可追溯至4000多年前的非洲、苏格兰和爱尔兰；冰屋也采用类似结构。这些小型悬链线结构或许可以凭感觉而非计算建造。现代一些大型悬链线变体包括建筑师埃罗·沙里宁设计的华盛顿杜勒斯机场航站楼屋顶（采用下垂形态），以及圣路易斯拱门——它被建造成加权悬链线，仿佛链条两端较粗而中间较细。

悬链线另一个有趣的数学特性实用性较低：如果路面由一系列悬链线形凸起组成，那么方形轮子的自行车可以完美平稳地行驶。事实上，你可以在纽约数学博物馆尝试在这样的路面上骑乘方形轮自行车（实际上是三轮车，所以不必担心因惊讶而摔倒）。

大自然自动创造着数学构造，当我们理解自然运作的数学原理后，也能为实用目的、装饰或纯粹乐趣建造这些东西。

出现在2022年12月24日的印刷版中，标题为《灯光与圆顶的魔法曲线》。