《变化率的声音与感受》——《华尔街日报》

插图：Tomasz Walenta数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击这里。

最近我和一位朋友讨论钢琴家，描述了我为何偏爱某些钢琴家的演奏。除了整体音乐诠释外，对我而言重要的是钢琴家所创造的音色。弹奏钢琴键最明显的不同方式在于演奏的强弱，而乐器在这方面的能力正是其全名“pianoforte”的由来，意大利语意为“弱强”。

音量取决于击键力度，这实际上是一个速度问题——手指位置的变化率。在微积分中，量的变化率称为导数，如果我们绘制图表，那么任意一点的变化率就是该点的斜率。如果一个量迅速增加，它将具有非常陡峭的斜率。

数学家喜欢迭代——如果我们能进行一次操作，通常会着迷于重复尝试。因此，我们也会关注斜率的变化率。在这种情况下，斜率的变化率代表速度的变化率，即加速度。如果某物以恒定速度运动，其位置随时间变化的图表将是一条直线；如果它在加速，图表将向上弯曲。这就像我们在“拉平曲线”之前的新冠感染图表。疫情初期，不仅感染人数在增加，感染率也在上升。

一阶导数的变化率称为二阶导数。我们可以继续计算更高阶的变化率，但它们没有特定名称，因为我们通常不会考虑这些。然而，这些高阶导数对设计过山车的工程师至关重要——加速度能带来刺激感，但若变化过于剧烈则可能造成伤害。加速度的变化率是三阶导数，其专业术语称为"急动度"(jerk)，因为它会让乘坐体验产生顿挫感。接下来的三阶导数有时被称为"弹跳"(snap)、“爆裂”(crackle)和"爆破"(pop)，可见数学术语也能充满幽默感。

所有这些高阶变化率共同构成了运动体验。仅知道汽车在某一时刻的行驶速度，并不等同于理解乘坐感受。若以每小时60英里的恒定速度行驶且无加速，即使速度很快也不会产生明显体感；但若持续加速突破60英里时速，身体就会产生强烈感知。

加速度的变化率（即三阶导数）同样影响乘坐体验。数学能捕捉从四阶、五阶直至无限阶的所有导数，尽管人类可能仅能感知前几阶变化。但通过训练，我们可以提升对高阶导数的觉察能力。

同理，钢琴声音最显著的特征是强弱变化，但通过培养对高阶导数微妙差异的敏感度，我们能获得更丰富的听觉体验。对钢琴家而言，降低演奏中的"急动感"意味着运用更柔韧的触键动作，通过灵活的手腕与手臂缓冲手指对琴键的冲击。

这不仅使音调不那么刺耳，也减轻了对钢琴家手臂的冲击，保护他们免受重复性劳损的伤害，就像减少过山车的急动可以保护乘客免受伤害一样。我们可能不会有意感知所有高阶导数，但我们可以学会去适应它们。

刊登于2022年11月12日印刷版，标题为《变化率的声音与感觉》。