《华尔街日报》：甜甜圈和咖啡杯何时相似？

插图：Tomasz Walenta数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击这里。

女性数学家协会制作了一套卡片，每张卡片上印有一位女性数学家及其简短传记。我饶有兴趣地发现，我的卡片上写着出生于“20世纪末”，而一位仅比我年长几岁的朋友则标注为“20世纪中叶”。我原以为我们年龄相仿，但这些描述让我们听起来像是隔了一代人。

这让我开始思考“大致相同”的含义。在日常生活中，两位长途飞行的朋友可能会说，如果他们的飞机降落时间相差不到一小时，就算是“差不多同时到达”。对于成年人，五岁左右的年龄差或许可称为“同龄”，但对孩子而言这个差距就很大。或许我们潜意识里是用百分比差异而非绝对差异来判断“大致相同”。

数学需要更精确的定义，但定义“大致相同”会产生一些奇怪的异常现象。再以年龄为例：如果比我小不到五岁的人算与我同龄，而这个人又与更年轻几岁的人算同龄，如此递推下去，最终会导致数十年的年龄差也被视为“同龄”。

这涉及到数学中的传递性问题：若对象A与B存在某种关系，B与C也存在同样关系，那么A与C是否必然具有该关系？在完全等同的情况下成立，但在“大致相同”时可能失效，这给方程式运算带来困难。类似问题也出现在政党共识构建中——A与B观点大致相同，B与C观点相似，但推演到最后可能出现严重分歧。

我们还可以通过四舍五入的概念来表达数学上的大致相等。但这会导致不同的异常情况。例如，2.4向下舍入为2，而2.5向上舍入为3，尽管它们实际上非常接近，就像我和我那位世纪中叶的朋友一样。我们甚至可能得到奇怪的结果，比如2+2=5，如果这两个2实际上是2.4向下舍入的结果，但当它们相加时，4.8被向上舍入为5。

当我们试图将连续数字的一部分聚集在一起，将它们归类为大致相等时，不可能完全避免某种异常。问题在于我们需要哪种类型的相同性，以及在特定情况下我们将接受哪些异常。在高等数学中，这个问题变得更加重要，目前抽象数学前沿研究的很大一部分是关于如何组织和推理更细微的相同性版本。

拓扑学研究空间的形状，其中一种相同性的形式表示，如果你通过一个形状追踪一条路径，并且可以稍微向一个方向或另一个方向推动它以形成一条新路径，那么它们大致相同。通过传递性，轻微的变形可以被推动成大的变形，就像将橡皮泥从一种形状塑造成另一种形状，只要不遇到障碍。从这个意义上说，咖啡杯和甜甜圈是“大致相同的”，如果你可以通过将甜甜圈的孔变成手柄的孔，并为杯子制作一个凹痕来盛放咖啡，将甜甜圈形状重新塑造成咖啡杯。这两个物体在许多数学情况下可以扮演相同的角色，尽管在早餐桌上它们不能。

许多高等数学的核心在于判断哪些事物能在不同情境下扮演相同角色。这与数学具有固定正确答案的传统观念截然不同——绝非大致相同。

该观点发表于2022年10月15日印刷版，标题为《甜甜圈何时与咖啡杯相似？》