《华尔街日报》：鸡尾酒与蝉有何共同之处

插图：Tomasz Walenta数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击这里。

我最近在家调制内格罗尼鸡尾酒，配方中金酒、苦艾酒和金巴利酒的比例是相等的。然而，金酒是750毫升装，苦艾酒375毫升，金巴利酒则是1升装。我对于不同日子用完不同原料感到烦恼，希望能一次性补货所有材料。这就需要找到这些数字的最小公倍数（LCM）。

你总是可以通过将所有数字相乘来得到它们的“公倍数”。但如果这些数字有很多共同因数，可能会有更小的可能性。例如，3和5没有共同因数（除了1），所以最小公倍数是3×5，即15。然而对于4和6，相乘得到24，这有些过度：12也是这两个数的倍数，实际上是最小的公倍数。这是因为4和6都能被2整除，所以我们不需要达到它们的乘积就能找到一个公倍数。

我的鸡尾酒配方情况更加戏剧化。三个瓶子容量的乘积是375×750×1000，结果是281,250,000，但这三个数的最小公倍数只有3000。这意味着我可以购买8瓶苦艾酒、4瓶金酒和3瓶金巴利酒，每种总共3000毫升，这样它们就会同时用完——前提是我不用这些原料调制其他鸡尾酒，而我也确实没有。

在此情境下，我们希望最小公倍数（LCM）尽可能小，但在其他情况下，则希望LCM尽可能大。自然界中就存在这样的例子，某些生长或繁殖周期通过进化实现了尽可能长时间的不同步。

以周期性蝉为例，它们的生命周期总是质数年数。有些蝉每13年出现一次，另一些则每17年出现一次。由于13和17都是质数，除了1和它们自身外没有其他因数，因此它们除了1之外没有公因数。这意味着它们的LCM尽可能大：即它们的乘积221。结果是这两种蝉每隔221年才会同时出现一次，从而尽可能避免彼此间的生存竞争。

最小公倍数和最大公约数（GCD）以互补的方式紧密相关：为了使LCM尽可能大（即等于两数的乘积），我们必须使GCD尽可能小，也就是说，这两个数除了1之外没有其他公约数。

除了使用质数外，另一种确保这一点的方法是选择斐波那契数列中的连续数字。这个著名的数列以1, 1开始，之后每个数字都是前两个数字的和。因此，序列开始为1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...数论证明，这个数列中的连续数字除了1之外没有其他公约数。

植物的花瓣和叶子通常以螺旋模式生长，其中叶子再次对齐前围绕茎的循环次数以及模式中的叶子或花瓣数量与斐波那契数列相关。这种模式被认为是为了让所有部分都能最佳地获取阳光而进化出来的。如果LCM较低，花瓣或叶子会过快对齐，从而相互遮挡阳光。但间隔并不总是连续的斐波那契数。事实证明，相隔两步的斐波那契数除了1之外也没有其他公约数。

这些数学解释令人信服，但它们无法完全解释自然现象。例如，为什么没有11年蝉？尽管如此，当我们了解自然界结构背后的数学特性时，我们人类能更好地理解自然——而且，作为一个幸运的附带效应，我们还能为鸡尾酒会制定更好的计划。

刊登于2022年9月10日印刷版，标题为《鸡尾酒与蝉的共同点》。