《华尔街日报》——摇铃的奇妙排列组合

插图：托马斯·瓦伦塔数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击此处。

最近温布尔登网球锦标赛期间，我身处伦敦，一边品尝着传统的皮姆斯杯酒，一边在圣保罗大教堂外的屏幕上观看比赛，突然教堂的钟声开始鸣响。十二口钟从高音到低音依次敲响，随后钟声模式开始变化；大约半小时后，钟声才循环回最初的序列。整个过程让我着迷，部分是因为这整个场景，部分是因为其中的模式：即排列组合的数学。

排列是指对一组对象的重新排序。例如，我们可以取数字1、2、3，生成一个排列如3、1、2。数学家研究排列之间如何相互作用，以便我们可以重复排列并预测结果。这是抽象代数中称为群论的一个分支，研究对称性。群论中的一个重要结果是，所有可能的排列都可以通过一系列称为对换的简单排列来实现，即两个对象交换位置。

我在圣保罗大教堂听到的钟声之所以能通过交换实现，是因为钟的重量和物理限制。

每口钟悬挂在一个旋转的横杆上，不像钟摆那样小幅摆动，而是在每次鸣响时旋转一整圈，然后再摆回。十二名敲钟人可以通过提前或延迟拉动连接的绳子来调整他们的时间。摆动钟的动量——最重的钟超过三吨——意味着它们的时序在每一轮中只能略微改变。当一口钟被加快，另一口钟被延迟足够的时间时，两口钟的顺序就会在从一个序列到下一个序列时交换。

这种练习被称为“变换鸣钟法”，因为排列组合被称为“变换”。每位敲钟人必须准确知道何时加快或延迟，以确保调换按计划进行，这是一项需要出色协作与协调的壮举。

那天圣保罗大教堂演奏的钟声模式采用了一种名为“斯特德曼十一钟法”的方法——我之所以知道是因为我询问过——在这种方法中，序列的每一步都会在10口钟之间进行5次调换，而12口钟中最低音的那口总是最后敲响。

这种方法以法比安·斯特德曼的名字命名，他在17世纪末撰写了两本关于变换鸣钟法的权威著作，帮助这一方法在英格兰传播开来。群论直到大约200年后才发展起来，但有些人认为它始于斯特德曼。敲钟人用来表示变换方案的图表与群论中的图表极为相似。

从某种意义上说，这种数学相当直观，通过逐步交换两个相邻事物来产生复杂模式的想法也出现在其他情境中。许多民间舞蹈都涉及一群人围成圈或排成行反复交换位置，这些舞蹈队形也可以用置换群来研究。编织是通过一系列移动产生的，你只需将一根线搭到相邻的线上。头发编织通常只用三股线，但面包编织可以涉及六股或更多。

如果敲钟人在一个序列中产生所有可能的排列而不重复，传统上这被称为“全套钟乐”。数学上意味着我在圣保罗大教堂听到的30分钟序列远远达不到这一点：对于12口单独敲响的钟来说，有超过4亿种可能的排列，因此以每两秒一次变换的标准速度计算，这将需要超过30年。理解了这一点，敲钟人现在将包含至少5000次排列的序列称为“钟乐”，这大约需要三个小时。

即使你不懂排列组合的数学原理，教堂钟声的鸣响也能令人着迷。对我而言，了解其中的数学原理更增添了它的魅力。

刊登于2022年8月6日印刷版，标题为《钟声鸣响的奇妙排列组合》。