做事的顺序重要吗？ - 华尔街日报

插图：托马斯·瓦伦塔数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击此处。

我经常背着双肩包到处走，但夏天还会额外挎个小巧的斜挎包以便随时取用东西，因为女装口袋总是不够用。但我的大脑还没适应这个新习惯，总在双肩包和斜挎包之间手忙脚乱——必须记得先挎斜挎包再背双肩包，取下时又要按相反顺序操作。

这种组合方式缺乏数学中所谓的"交换律"。若操作顺序不影响结果，则称其具有交换性。例如2+3=3+2，顺序无关紧要。普通数字的加法和乘法都满足交换律，这极大简化了计算。但当我们研究更复杂的概念时，操作可能不再可交换。以烹饪为例：撒盐和胡椒的顺序通常无关紧要，但制作蛋黄酱这类精细食材时顺序就至关重要。

交换性问题看似基础，却在抽象数学中极为深奥。通过观察空间内操作的交换性，我们能探测空间形状。这就是代数拓扑学的研究领域——通过将空间转化为代数结构来研究形状。数学家想象在空间中绕行（就像我挎包和背包的带子形成的环），用代数验证绕行顺序是否影响结果。环路交换性成为我们判断空间形状本质的重要检测手段。

想象一下，就像忒修斯在迷宫中那样，你将一根绳子系在起点以记录你的旅程。如果你进入一个8字形空间，先绕一个环再绕另一个环，这两个动作是不可交换的。就像我的钱包和背包一样，你必须按相反的顺序退出环才能解开绳子。然而，在一些更复杂的空间中，你的绳子根本不会打结。

看起来我们可以通过观察来检测空间的形状，但数学家研究的是不可见的抽象空间，比如机械臂移动所经过的空间环路。如果它有多个只能以特定方式移动的铰链，那么实际上它是在一个比我们所能看到的更复杂和受限的空间中移动。

这就像你试图在背上涂防晒霜，但只能伸手到肩膀的某个距离，因此你必须扭曲身体才能触及背部下方。这两块皮肤在真实空间中很近，但在由手臂可能移动方式定义的空间中却相距甚远。这些空间的限制可以通过检查在其中移动的顺序是否重要来测试。

关于交换性的更微妙考虑定义了不同的编织方式。为此，我们不仅要问事物是否可以交换，还要问它们以何种不同的方式相互移动。这就是法式编发和瑞典编发的区别，前者将头发编入并交叉，后者则交叉在下方。理解编织也有助于我们理解某些自然形成的编织结构，如肌肉纤维。甚至DNA也会自然打结。分析交叉和穿绕的方法还可以帮助科学家创造新材料，比如用于手术的可生物降解编织材料，以及所谓的分子结，其特性源于它们的编织结构。

像交换性这样的基本概念可能看起来显而易见或只是常识，但它们可以引发复杂的想法——这得益于它们与我们生活中其他部分的联系。

出现在2022年7月2日的印刷版中，标题为“做事情的顺序重要吗？”。