描绘生活中的非线性事件 - 《华尔街日报》

插图：托马斯·瓦伦塔数学家尤金妮亚·程探索数学在课堂之外的用途。阅读更多专栏请点击此处。

我们许多人最近都经历了悲痛，因疫情失去所爱之人或遭遇其他悲剧。人们常说，悲痛不是线性的；它不会沿着可预测的直线缓慢前行，而是会突然出现可怕的曲折，毫无预警地反复发作。

我很难想到有什么比悲痛更不符合数学逻辑的事物，但我们却用这个奇怪的数学术语“线性”来讨论它。线性代数本质上是研究沿直线运动事物的数学。这是一个非常严格的要求。和悲痛一样，大多数事物都不是线性的。但我们可以从数学函数和现实生活中寻找其他类型的行为模式。

如果一个函数大致保持相同方向运动，尽管不是直线，它被称为单调函数。指数函数和对数函数是单调的，但不是线性的。有人认为税率应与收入单调相关，这样收入较高的人不会支付较低的实际税率；然而，实际情况往往并非如此。想要减肥或增重的人常常因为体重不随时间单调变化而感到沮丧，而是会因水分滞留等因素上下波动。有时，尽管存在波动，但可以通过计算一段时间（比如一周或一个月）的平均值来推导出单调函数。

函数的行为通过视觉识别比通过公式更容易理解，因此我们绘制图形来辅助分析。将函数转化为图形是一个神奇的过程，它将抽象无形之物转化为能激发我们视觉直觉的形式。当我们在图表上绘制函数时，可以立即观察到线性与单调性之外的其他特征，例如是否存在间断点或尖锐拐角。若函数无间断则称为连续函数，若无拐角则称为平滑函数。

微积分提供了超越简单描点法的绘图技术，因为即便绘制数百万个数据点，仍可能遗漏关键特征。其核心在于理解抽象特征如何形成视觉特征（如拐角、间断等）：这不仅关乎绘制美观图像，更是快速把握函数关键特性的方法。

我们也可以逆向操作：获取数据后先绘制图形，再尝试拟合函数。随后便能运用该函数预测未来趋势。疫情期间的数据处理正是如此——病例数提供了可绘制成图的数据，通过寻找近似函数进行建模。由于函数可应用于现有数据之外的时间点，这为我们提供了预测未来的途径。但预测并非精确科学，因为许多初始形态相似的非线性函数后期可能呈现完全不同的发展轨迹。

通过逆向工程为实验数据拟合函数还能揭示因果关系。函数结构可能暗示着某些基本作用原理，例如物理定律。数学家通过追踪行星运动轨迹，发现其路径符合椭圆函数模型，且运动状态取决于行星与太阳的相对位置。这虽是数学公式，却暗示了太阳对行星运动的物理影响机制。

说悲伤不是线性的，这是一种严重的轻描淡写，因为它甚至不是单调的、连续的或平滑的。数学为我们提供了仔细区分不同情景和序列的方法，以描绘任何情况。这并不能让悲伤消失，但能够描绘其不可预测的轨迹，可以起到宣泄的作用。

出现在2022年5月28日的印刷版中，标题为“描绘生活中的非线性事件”。