马尔可夫——传薪火于数学内外，留得身后百年声名_风闻
返朴-返朴官方账号-关注返朴（ID：fanpu2019）,阅读更多！2022-12-24 09:09
撰文 | 丁玖
原标题：马尔可夫——传薪火于数学内外，留得身后百年声名丨纪念马尔可夫逝世一百周年
整整一百年前，一位伟大的俄国数学家去世了。他生于沙皇时代，成长于俄罗斯数学发展壮大时期；他不仅是圣彼得堡数学学派的代表人物，也是追求民主反对专制的勇猛斗士；他晚年遭受沙皇和教会的迫害，却在二月革命后恢复名誉，十月革命后安然离世。
他的俄语全名是Андрей Андреевич Марков (1856年6月14日－1922年7月20日)，中文译名是安德雷·安德耶维齐·马尔可夫，用英文则被写成Andrey Andreyevich Markov。数学史上还有一个和他名字一模一样的俄罗斯人 (1903-1979)，是他中年喜获的儿子。小马尔可夫是苏维埃时代杰出的数学家，在许多学科颇有建树，包括拓扑、微分方程和理论计算机科学，尤其在构造性数学及数理逻辑方面享誉四方，50岁时成为苏联科学院通讯院士和苏共党员。父子同为著名数学家的极为稀少，我们十分熟悉的国内外有名数学家华罗庚 (1910-1985)、陈省身 (1911-2004)、丘成桐 (1949-)、庞加莱 (Henri Poincare，1854-1912)、希尔伯特(David Hilbert，1862-1943)、冯·诺伊曼(John von Neumann，1903-1957) 等的后代都没有“子承父业”。在这个意义上，马尔可夫对数学有着双重的贡献，是其他数学家，包括他名气更响亮的老师、圣彼得堡数学学派的创始人和领袖切比雪夫 (Pafnuty Lvovich Chebyshev，1821-1894) 可望而不可及的。
马尔可夫对整个数学的贡献多如牛毛，但最广为人知并且其应用领域也是多如牛毛的贡献是冠以他名的“马尔可夫链”以及定义范围更为一般的“马尔可夫过程”，它们属于“随机数学”这一如今比上世纪盛行的“确定性数学”似乎更为得宠的一大类数学分支之并集。进入本世纪后，由于“大数据科学”、“人工智能”等应用学科的蓬勃兴起和快速发展，马尔可夫的声名更为远播。他对概率论和随机过程的开拓性研究，后继者中的数学巨匠包括法国人莱维 (Paul Levy，1886-1971)、苏联人柯尔莫哥洛夫 (Andrey Nikolaevich Kolmogorov，1903-1987) 和美国人多布(Joseph Leo Doob，1910-2004)。
中国的数学家中，王梓坤 (1929-) 于上世纪五十年代赴苏，师从概率论大师柯尔莫哥洛夫，取到马尔可夫过程的真经，并对此有精深的研究；七十年代严加安 (1941-) 赴法进修，在鞅论和随机分析等领域有若干建树；八十年代马志明 (1948-) 赴德研究，与合作者为狄利克雷型和右连续强马尔可夫过程建立了一一对应关系；彭实戈 (1947-) 与合作者对“倒向随机微分方程”证明了存在唯一性定理，其奠基性意义相当于大学数学系常微分方程教科书中“解的存在唯一性定理”。他们都可以被认为是马尔可夫的门徒。中国的科学史家和数学科普作家也没有忘记他，早在1986年，科学史家刘钝 (1947-) 和概率学家苏淳 (1945-) 就在《自然辩证法通讯》上登文纪念马尔可夫诞辰130周年，细数他光辉的一生。
美籍著名华人概率学家、长期任教斯坦福大学的钟开莱 (1917-2009) 为大学生、研究生及科研人员撰写的众多教科书和专著，涉及从概率论、马尔可夫过程，到随机积分、布朗运动等广泛的内容，在全世界广受好评。可以说，在数学、自然科学及工程技术界，一个人如果没有听说过马尔可夫的大名，就好像住在美国一个偏僻小镇上的居民以为特朗普 (Donald Trump，1946-) 还在总统的宝座上没有下台一样不大可能。
生有“反骨”的少年
马尔可夫生于俄国境内与莫斯科州相邻的梁赞州一个政府公务员之家，父亲为州林业厅的一个六品文官，但由于不会官场那一套游戏潜规则，被人诬陷被迫辞职，在儿子五岁那年带领全家搬到首都彼得堡。老马尔可夫一生结婚两次，是个多产的父亲，育有五男四女，他要拼命工作才能养活全家。
中学时代马尔可夫进的是圣彼得堡文法学校 (St. Petersburg Grammar School) ，该校按照俄国基督教“国教”东正教的陈规陋习管教学生。孩子们被严厉要求要花巨量的时间背诵枯燥无味的希腊文和拉丁文，还要参加数不清的祈祷和忏悔仪式。这种令人窒息的读书环境令求知欲旺盛爱读课外书籍的马尔可夫深感厌恶，导致他对学校的一切规定课程都缺乏兴趣，只有一门除外，那就是数学。一些老师认为他是一个叛逆的学生。这些老师还真的判断对了，几十年后，已是科学院院士的马尔可夫在沙皇眼里是身体内多长了一根反骨的臭知识分子而指使手下人马对他进行无情的迫害。
马尔可夫的两个姐姐也在同一个学校念书，作为对照，她们都是循规蹈矩的好学生，读经典和在行为举止上都常得到老师的表扬，而反过来，桀骜不驯的弟弟总得不到老师的好感。于是倒霉的老马尔可夫不时被叫到学校代儿子接受校方的冷嘲热讽和无情训斥。然而不争的事实是，“好学生”们在历史的长河里大抵几乎全被淹没，而“坏学生”中却有不少由于“对人类做出了巨大的贡献”而青史留名，马尔可夫和她的姐姐们就是活生生的例子。
马尔可夫当然不是那些守旧老师们眼中所认定的差学生，恰恰相反，他热爱人文学科，关心社会问题，还在那所中学时就阅读了众多的非校方指定的书籍，包括拓广视野的数学书和一些为政府所不容的进步读物。这些广泛的先进思想，震撼着他的心灵，启迪着他的思考，塑造了他丰富多彩的一生。
终于，学校当局不能容忍他对宗教的不敬和对校规的不恭了。在他毕业前的最后那个学期中，他由于在一次例行的祈祷仪式尚未结束时就匆忙将圣经放进口袋而被一直暗中监视他的校监一把揪住，指控他亵渎了上帝，搅乱了仪式的庄严气氛，并带到校长室兴师问罪，给他戴上了“无神论者”加上“无政府主义者”这两顶帽子。如果不是闻讯而来的父亲的再三赔礼道歉，马尔可夫就会被开除了。
切比雪夫的传承者
1874年，马尔可夫终于从中学毕业，并顺利考进圣彼得堡帝国大学 (现为圣彼得堡国立大学) 数学系，跨入了他人生的第一个春天。他的老师中今天仍被人们熟记的只有俄罗斯近代数学之父切比雪夫。在这个令他陶醉的数学天地，他四年耕耘的结果是以优异成绩通过了候选人考试，并以一篇名为“用连分数求解微分方程”的本科毕业论文获得系里的金质奖章。他留在大学为谋求一个讲师位置做准备，两年后他完成了硕士论文《具有正行列式的双二次型》，因而获得给学生正式授课的资格。之后，他在切比雪夫的指导下开始了博士研究，于1884年通过博士论文《关于代数连分数的某些应用》的答辩。
马尔可夫的硕士论文是对他的两位论文导师关于双二次型极值估计工作的彻底完善化，并富有创造。考虑到他导师先前的研究已经得到法国二次型权威埃尔米特 (Charles Hermite, 1822－1901) 的高度评价，可想而知马尔可夫的硕士论文就已成为他一生中的第一个有国际影响的数学成果。他后来做出杰出贡献的另一个领域也是他博士导师切比雪夫一生钟爱的领域之一——数论。
切比雪夫一生除了爱好数学外，还爱好机械，喜欢动手实践，这可能会让杰出的几何学家陈省身先生感到汗颜，因为他自称除了数学，其他的都不会，包括不会烧饭给自己吃。孔夫子的“劳心者治人，劳力者治于人”影响了中国知识分子和劳动人民两千五百年，从统计意义上说，爱动脑子的人不太爱动手，同时爱动手的人又不大爱动脑子。我在美国正式教书后不久，系主任告诉我他用一把斧头砍倒了家中后院里两根手臂抱不过来高达几十米的一棵大树，令我吃惊，因为在中国长大的我根本不敢这么干。切比雪夫对实际应用的偏好和极强的动手能力也传承给了他的弟子们，后来马尔可夫以及小他一岁的师兄弟李亚普诺夫 (Aleksandr Mikhailovich Lyapunov，1857-1918) 影响最深远的数学贡献都来源于他们从老师那里继承下来的对数学应用的偏爱。
在纯数学领域，切比雪夫的第一爱好是解析数论，他一个人人都可以看懂的发现今日称为伯特兰-切比雪夫定理（定理如此命名是因为后者证明了前者的猜想）：在大于3的自然数n和2n之间一定有一个素数。这是他关于素数分布某个更重要估计的一个简单推论，这个历史上有名的不等式最终导致法国数学家阿达马 (Jacques Solomon Hadamard，1865-1963) 等人证明了“素数定理”。马尔可夫则从事了代数数论的研究，在德国数学家库莫尔 (Ernst Kummer，1810-1893) 为证明费马大定理而创立并发展的“理想”概念及理论中，他给出了三次方根域上理想素因子分解的当时最好结果。他和切比雪夫分别对代数数论和解析数论的研究，令圣彼得堡数学学派在数论领域在世界上占有领头席位。
然而，马尔可夫最令后人获益从而对他感恩不已的学术贡献是在概率论中引入的一个基本概念及其随之而来以他名字命名的一大类“随机过程”。初等概率发源于16世纪意大利数学家卡尔达诺 (Girolamo Cardano, 1501-1576) 对赌博问题的兴趣和研究。后来，瑞士的伯努利 (Jacob Bernoulli，1654-1705) 和法国的拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace，1749-1827) 等数学家建立了最早的随机变量极限定理。拉普拉斯的名著《概率的分析理论》，给概率下了一个古典的定义（现代的公理化定义由柯尔莫哥洛夫给出）。然而，概率论之后的一个大发展是来自圣彼得堡数学学派的工作，这主要是由切比雪夫以及他的两个杰出弟子马尔可夫和李亚普诺夫做出的，其中马尔可夫的研究论文数目绝对领先。
今日，概率学专业的学生都知道大名鼎鼎的切比雪夫不等式，它给出了随机变量与之期望值偏差不小于某个正数的概率的一个上界，在证明各类极限定理中具有基本性的用途。切比雪夫开创了矩方法并据此分别严格证明了伯努利第一个提出并由泊松 (Simeon-Denis Poisson, 1781-1840) 改善了的大数定律，之后马尔可夫深入地拓广了矩方法，减弱了切比雪夫对随机变量序列方差一致有界的要求，改进了大数定律和中心极限定理，给出了随机变量序列收敛到正态分布的一些充分条件。加上李亚普诺夫发明的意义重大的特征函数法，他们师徒三人前后几十年间的苦心孤诣，使得概率论这门长期不受正统数学界重视的古典学科重获新生并走向了现代化；他们如此获得的越来越强的随机变量序列极限定理，使得圣彼得堡数学学派为人类近现代文明做出了巨大贡献。到了二十世纪，薪火传递，俄罗斯数学学派的辉煌逐渐转移到苏联时代的莫斯科数学学派，1933年柯尔莫哥洛夫出版《概率论基础》一书，被公认为现代公理化概率论的集大成者。
就在二十世纪初，马尔可夫的眼光从独立随机变量序列跳到相依随机变量序列，他作出了其一生中最伟大的概率模型——马尔可夫链，因而名垂千史。百余年来，这个数学概念已经渗透到自然科学、工程技术甚至社会科学中的几乎所有领域。所谓随机变量就是定义域为某个概率空间的一个实值函数，可数无穷个并且每个都在一共同的可数集（称为状态空间）内取值的随机变量构成一个离散随机变量序列。最简单的一个离散随机变量序列例子是不停地将一枚形状不一定规则的硬币随机抛到桌面上观察是否正面或反面朝上，正面可用数1表示，其出现的概率假设为p，反面可用数0表示，其出现的概率则为q = 1-p。这个随机变量序列是独立的，因为上一次抛硬币的结果丝毫不影响本次的结果。
自然界也存在大量相互之间有依赖关系的随机变量序列。马尔可夫首次提出的一类极其重要的相依随机变量序列称为马尔可夫链，它满足所谓的“马尔可夫性质”：下一个随机变量的状态只与目前随机变量相关，而与更之前的随机变量无关，即这些变量对历史“集体失忆”，除了还记得刚发生过的最新事件。如果采用更多一点的数学语言，马尔可夫链是一无穷序列随机变量{Xn}，其中的下标n取所有自然数，满足条件：任给n，第n+1个随机变量关于前n个随机变量的条件概率与它关于第n个随机变量的条件概率是一样的数，用数学等式表示就是
事实上，马尔可夫矩阵的应用范围远比随机数学宽广多了。谷歌这个最成功的网络搜索引擎，于1998年被正式创建的动因，就是它的两位创建者佩奇 (Larry Page，1973-) 和布林 (Sergey Brin，1973-) 想出来一个好点子，即依照地球上因特网各网页的相对重要程度而构造出“谷歌矩阵”以便获得便民服务的“网页排序”。这个矩阵不仅是一个马尔可夫矩阵，而且是全世界最大尺寸的矩阵。在当今网络信息高速时代，亿万网民都是这个矩阵的直接受益者。如果俄罗斯人马尔可夫、德国人佩隆和弗罗贝尼乌斯的在天之灵知道随机矩阵如此巨大地改变了世界，定会“含笑于九泉之下”。
如果我们去查一下与马尔可夫有关联的科学术语，就会发现有一大堆。在随机分析里除了最脍炙人口的马尔可夫链和马尔可夫过程外，还有马尔可夫算子，在概率论里有马尔可夫不等式，在泛函分析里有马尔可夫-角谷不动点定理和黎茨-马尔可夫-角谷表示定理，在动力系统里有马尔可夫划分，在遍历理论里有马尔可夫映射，在运筹学里有马尔可夫决策过程，在统计学里有高斯-马尔可夫定理，在量子力学里有量子马尔可夫半群，最后在多项式极值理论里有马尔可夫兄弟俩不等式，这是他和英年早逝的弟弟 (Vladimir Andreyevich Markov，1871-1897) 共同发现的。此外还有更多的标有马尔可夫大名的定理、不等式和图形等。我数了一下，英文维基上在他的条目下列出的含有Markov的数学术语超过五打。
自然，上述诸多数学词汇嵌进了马尔可夫的名字，并非一定都与马尔可夫本人直接相关，有的是该短语体现了马尔可夫所开创或发展出的一种思想或概念，这就如同求解一般非线性方程的“牛顿迭代法”并非完全是牛顿的功劳那样。在我的学术人生中，三十多年前也有一次天赐良机让我与马尔可夫的名字结下不解之缘，折射出我对他的崇敬之情。
那是在我写作博士论文的前后几个月间。之前我和其他同学选修了导师李天岩教授的一门历时一学年的应用数学高等论题课《[0, 1]上的遍历理论》，这门对我一生影响巨大的课改变了我的博士论文题目和我未来的研究领域——之前我一直在从我硕士阶段起开始起步的优化领域中学习和研究。在1989年的那个夏天，我完全沉浸在理解计算遍历理论的奠基之作、氢弹之父乌拉姆 (Stanislaw Ulam，1909-1984) 在其1960年的著作《数学问题集》中提出的“乌拉姆方法”思想之中，并深入思考能否将他的逐片常数逼近法推广到高阶方法。有趣的是乌拉姆方法也可以用马尔可夫链的语言来理解并可帮助创新研究，其中涉及的“乌拉姆矩阵”可以看成是所对应的马尔可夫链的转移矩阵。最终，我抓住了乌拉姆方法的一个特点，成功构造出高阶方法，它们保留了乌拉姆方法的精髓，但收敛到精确解则快得多。这个精髓是函数的有限维逼近保持非负可积函数的正性与积分不变，而这个性质则定义了什么是马尔可夫算子。于是，我在因此而写好的博士论文里将我“发明”的保结构算法命名为“马尔可夫有限维逼近法”，向我心中敬仰的一位外国数学家致了礼。
马尔可夫获得硕士学位留校圣彼得堡大学任教后，于1886年升为副教授，八年后出任正教授，1905年被授予功勋教授 (Merit Professor) 并获准可以退休，但是他在大学一直教书到1910年。俄罗斯科学界对他的众多学术贡献也给予了高度的评价，1890年他成为圣彼得堡科学院的候补院士，1896年，作为已在1894年11月离世的切比雪夫的接班人，马尔可夫被遴选为科学院的院士。在国内外学术界，晚年的马尔可夫广受尊敬。然而俄罗斯帝国的末代统治者沙皇和教会却不喜欢他。
为民主自由的斗士
俄罗斯民族在过去的五百年间几经兴衰。早在莫斯科大公国建立前的十三世纪，它广袤的大地曾被成吉思汗 (1162-1227) 的战马铁蹄一路践踏，之后长期处于封建落后状态。到了雄才大略奋发图强的彼得大帝 (Peter I The Great, 1672－1725）即位时，后来的首都圣彼得堡仅仅是波罗的海芬兰湾东端的一个小渔村，但这是他面向西方取经学习强国的关键通道。1712年彼得大帝从莫斯科迁都于此，他宏伟的“俄国梦”改革计划除了政治经济方面的大刀阔斧之作外，还包括仿效英国的伦敦皇家学会 (1660年建) 、法国的巴黎科学院 (1666年建) 和德国的柏林科学院（1700年建），矗立俄罗斯科学院的大厦。这是他孜孜以求的大政方针之一。终于在他闭目那年，彼得堡科学院宣告成立，很快一批国外杰出学者，如丹尼尔·伯努利 (Daniel Bernoulli，1700-1782) 和其举荐的青年英才欧拉(1707-1783) 也云集于此。到了俄罗斯另一个大帝凯瑟琳女皇 (Catherine the Great，1729-1796) 统治时期，科学院再次请来了已是欧洲最伟大数学家的欧拉。十月革命后，圣彼得堡科学院易名为苏联科学院，现称俄罗斯科学院。我们知道，上世纪苏联科学院的院士们几乎个个都是如雷贯耳的名字，数学家中就有维诺格拉多夫 (Ivan Matveevich Vinogradov，1891-1983)、柯尔莫哥洛夫、索伯列夫 (Sergei Lvovich Sobolev，1908-1989)、康特洛维奇 (Leonid Vitaliyevich Kantorovich，1912-1986)、盖尔范德 (Izrail Moiseevich Gelfand，1913-2009) 等等。
彼得大帝对于俄罗斯民族的另一大贡献在于发展高等教育。他去世前一年颁布圣旨同时创建彼得堡科学院与彼得堡大学。莫斯科大学的创办人、俄罗斯伟大的百科全书式科学家罗蒙诺索夫 (Mikhail Vasilyevich Lomonosov，1711-1765) 就曾就读于彼得堡大学。四百年来，这所大学走出了数以百计的杰出人物，切比雪夫、马尔可夫、李亚普洛夫师徒三人是其中的数学家代表。
作为彼得堡科学院的院士，马尔可夫照例应该得到政府的敬重和爱戴，因为他对祖国的科技发展有非凡的贡献，也因他为俄国赢得了世界的声誉。然而末代沙皇尼古拉二世 (Nikolai II Alexandrovich Romanov，1868-1918) 却把他视为眼中钉、肉中刺，原因是他向往民主自由、声援志士仁人。
沙皇1894年即位时，马尔可夫已48岁，做出了许多杰出的工作，他那年也被晋升为正教授。但是放眼祖国大地，政治经济环境一片萧条，人民只能苟延残喘地求生，近百年前俄国军队把拿破仑法军打得落花流水的那段辉煌历史也早已成为记忆，没几年后俄帝国就在争食中国肥肉的俄日战争中被日帝国打败。在这前后几十年内，俄国那些追求光明的知识分子和抱有先进思想的贵族人士，为自由而放歌，为民主而呐喊，伟大诗人普希金 (Alexander Sergeyevich Pushkin，1799-1837) 同情并向往十二月党人的革命活动，用他的诗歌如《自由颂》作利剑，刺向万恶的历史悠久的封建农奴制。一大批革命民主主义的作家，如莱蒙托夫 (Mikhail Yuryevich Lermontov，1814-1841) 和车尔尼雪夫斯基 (Nikolay Gavrilovich Chernyshevsky，1828-1889)，用他们的文学作品揭露腐朽的封建制度，抗议沙皇的统治。
高尔基 (Maxim Gorky，1868-1936) 这位出身贫苦的无产阶级文学家，于1901年发表了著名的《海燕之歌》。散文诗的最后一句，胜利预言家的叫喊“让暴风雨来得更猛烈些吧！”喊出了人民的心声。但是高尔基为此付出的代价是遭到流放。第二年2月，圣彼得堡科学院文学部召开了联席会议，并通过了决议，接纳被流放者为名誉院士。最高级知识分子群体对专制统治的藐视激怒了沙皇，他给国民教育大臣发布一道手谕：“高尔基当选无效。”在皇帝直接插手的巨大压力下，科学院院务委员会于3月12日只好发布取消高尔基当选资格的一纸文告。
然而，不畏强暴坚持真理的进步学者总在那里。短篇小说大师契诃夫 (Anton Pavlovich Chekhov，1960-1904) 为表示抗议，宣布退出科学院。数学家马尔可夫也挺身而出，属于数理学部的他于4月6日向院务委员会递交了如下声明：“我认为科学院关于取消高尔基当选资格的文告是无效的和被强加的；第一，文告盗用了科学院的名义，但事实上科学院并无意取消这一资格；第二，文告所借用的理由是毫无意义的。”在120年前尼古拉二世残暴统治下的俄罗斯，这是需要多大的勇气和胆魄啊！
在俄罗斯帝国灭亡前的最后十多年里，三百年的罗曼诺夫王朝已经处于摇摇欲坠之中，但是沙皇妄图以控制大学的方式，孤注一掷地设法维持其专制统治。晚年的马尔可夫除了继续他那不知疲惫的数学研究和教育外，还坚持和反动势力针锋相对地抗争。当1908年国民教育部宣布取消大学自治、开倒车恢复学监体制、封闭一切社团时，他气愤地给国民教育大臣去信，公开表达他的观点：“我最坚决地拒绝在彼得堡大学充当沙皇政府走卒的角色，但我将保留开设概率论课程的权利。”随即他就被大学当局吊销了教学资格，于是他毅然决定退休。
在沙皇时代，东正教起到了助纣为虐的精神鸦片作用。1901年东正教最高裁判所因俄国大文豪托尔斯泰 (Leo Tolstoy，1828-1910) 写下人道主义伟大小说《复活》，而在沙皇的授意下宣判他为异教徒，并开除了他的教籍，举世哗然。马尔可夫从青年时代起就倾向于无神论，并从托尔斯泰的作品获得精神养料。1912年，他致信东正教最高会议，申明“我最诚挚地请求革除我的教籍。我希望以下所摘引的本人所写的《概率演算》一书中的言论足以成为除籍的理由，因为这些言论已经充分表明我对成为犹太教和基督教义之基础的那些传说所持的反对态度。”
1913年，圣彼得堡市议会选举了九名科学家为圣彼得堡大学的荣誉成员，马尔可夫是其中的一个，但是他被选中这一事实并没有得到教育部的认可，直到1917年的二月革命后，马尔可夫才获得肯定，并恢复了教学活动，讲授概率论等，直到生命的最后一年。
作为圣彼得堡数学学派的骨干，马尔可夫一生钟情于数学及其应用，这种热爱已经化作了他对别人问及“什么是数学”这一问题的精辟回答：“数学，那就是高斯、切比雪夫、李亚普诺夫、斯捷克洛夫和我所研究的东西。”作为俄罗斯民族杰出的儿子，他一生为自由和民主而斗争，是科学家中为人民谋求幸福的典范、在黑暗中追求光明的伟大爱国者。他不是那种仅满足于个人成功、“两耳不闻窗外事”的书斋学者，而是抱有“天下兴亡匹夫有责”豪情壮志的一代学人。他不属于那一类只津津乐道于探索“无用之美”的学问家，而是继承切比雪夫衣钵将“理论联系实际”视为数学家的最高追求。他的创造发现、他的定理学说，早已化作千百万科学家和工程师手中的利器，所以，他不仅属于一百年前的俄罗斯，更是属于当今的全世界。
2022年感恩节写于
美国哈蒂斯堡夏日山庄
出品：科普中国