千呼万唤始出来，张益唐公布证明朗道-西格尔零点猜想的论文_风闻

撰文 | 倪忆

2022年10月14日，在北京大学大纽约地区校友会举办的在线座谈活动中，传奇数学家张益唐宣布他证明了朗道-西格尔零点猜想，论文很快便会公布。消息传出，在学术界内外均引起了轰动。美国时间11月4日，张益唐终于公布了他的论文，并在山东大学的在线讲座中简要介绍了这一工作。根据北京大学的公告，张益唐还将于11月8日在北大做在线学术报告。

张益唐的这篇论文题为《离散平均估计与朗道-西格尔零点》（Discrete mean estimates and the Landau-Siegel zero），全长111页。看起来文章很长，但张益唐过往的风格是写得非常清楚，领域内的专家读起来毫不费力。他上一篇关于孪生素数猜想的文章有五十多页，投稿后仅仅五周时间就被《数学年刊》接受。现在这篇论文当然也要接受学术界最严格的检验。但如果文中证明没有错误，可能两三个月内就能得到证实。

张益唐论文的目录

那么，朗道-西格尔零点猜想到底是怎样的一个猜想，又有什么意义呢？太长不看版：朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一个重要的特殊情况，但跟黎曼假设没有直接关系。张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形。这一成果在解析数论中的意义，比张益唐之前在孪生素数猜想上的突破还要重大。下面具体谈谈笔者作为一个外行对张益唐工作的理解，其中不免有错漏之处，望方家海涵。

很多读者都听说过黎曼ζ函数。这是一个形如

的函数，其中s=x+yi是一个复数。需要特别注意的是，上述关于ζ函数的定义仅仅是在x>1的情况下才成立。在x≦1的时候，需要使用别的定义。

黎曼ζ函数满足一个函数方程

从中容易看出，在所有的负偶数处，黎曼ζ函数的值都是0. 所以负偶数被称为黎曼ζ函数的平凡零点。黎曼ζ函数还有别的非平凡零点。黎曼猜测，所有的非平凡零点都应该在x=1/2这条直线上。这就是著名的黎曼假设（Riemann hypothesis），是数学中最重要的问题之一。在黎曼的原始论文中，用ζ函数的所有零点给出了素数分布的精确公式。所以一旦我们知道ζ函数零点分布的任何信息，就能得到关于素数分布的相关结论。这就是为什么黎曼ζ函数是如此重要。早在一百多年前，人们就知道黎曼ζ函数的所有非平凡零点都在0<x<1这个无穷长的带状区域里。前面的函数方程告诉我们，这些非平凡零点关于x=1/2这条直线对称分布。所以黎曼假设等价于说黎曼ζ函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。

黎曼ζ函数可以推广为狄利克雷L函数，这是一种形如

的函数。同样地，这个定义只是在x>1时成立。在x≦1的时候，需要使用别的定义。

上式中χ(n)是正整数集上定义的一个复数值函数，称为狄利克雷特征，满足如下条件：

(1) 对于任意两个正整数m和n，χ满足χ(mn)=χ(m)χ(n)。(2) 存在一个正整数D，使得χ(n+D)=χ(n)对任何n都成立。(3) 如果n与D有大于1的公约数，那么χ(n)=0；如果n与D互素，那么χ(n)是一个单位根（即其若干次幂是1）。广义黎曼假设（Generalized Riemann hypothesis）说，狄利克雷L函数所有的非平凡零点都在x=1/2这条直线上。类似于黎曼假设，广义黎曼假设等价于说狄利克雷L函数在1/2<x<1这一区域内没有零点。

广义黎曼假设当然比原本的黎曼假设更加困难。不过，人们已知狄利克雷L函数在一个非常靠近x=1这条直线的区域里通常没有零点。具体而言，如果χ(n)的取值不全是实数的话，L(s,χ)在

这一区域里没有零点。其中c是一个跟D和χ无关的可以计算出来的正实数。如果χ(n)的取值都是实数（这时χ被称为一个实特征），那么L(s,χ)在上述区域里最多只有一个零点，而且这个零点一定是实数。这个可能存在的零点被称为西格尔零点。

朗道-西格尔零点猜想就是说，西格尔零点不存在。更确切地说，存在一个正实数c，使得对于任何D和相应的实特征χ，L(x,χ)在

时都不等于0。

很明显能看出，朗道-西格尔零点猜想是广义黎曼假设的一种特殊情形。但这是一种非常重要也非常困难的情形。在很多解析数论问题的研究中，都需要把西格尔零点单独拿出来考虑。所以如果能够排除西格尔零点，对于解析数论的研究就有着非同寻常的意义。

在许多介绍张益唐工作的文章中，把“广义”去掉，直接说朗道-西格尔零点猜想是黎曼假设的特殊情形。这是不对的。事实上，对于黎曼ζ函数，早在一百多年前就知道相应的西格尔零点不存在了。人们甚至知道更强的结论：黎曼ζ函数的非平凡零点都不是实数。所以朗道-西格尔零点猜想跟黎曼假设没有直接的关系。

张益唐对朗道-西格尔零点猜想已经研究了二十多年。早在2007年，他就在预印本网站arXiv上张贴了一篇论文，宣布证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形（variant）。但这篇论文有错误。现在这个证明的想法是在他2014年访问普林斯顿高等研究所期间产生的。从那时起，他花费了8年时间，终于完成了证明。

张益唐论文的第一章

在张益唐新公布的论文第一章中，他宣布了两个定理。定理1是当χ是一个实特征时，对于L(1,χ)的估计：

其中c1是一个跟D无关的，可以计算出来的正实数。定理2则是对西格尔零点的估计：L(x,χ)在

时都不等于0. 其中c2是一个跟D无关的，可以计算出来的正实数。这里的指数-2022和-2024都是可以改进的数字，就像他的孪生素数猜想论文中的七千万一样，只是为了计算方便而选取出来的。当然选取成目前的数字，明显是在致敬今年的年份。对比定理2和原本的朗道-西格尔零点猜想，我们可以看到，张益唐所证明的结论并不完全是原本的猜想。现在这个结论，比他2007年宣布的（证明有错误的）版本还要弱一些。要得到原来的猜想，需要把定理2中的指数-2024改成-1。但这跟原来的猜想没有实质性的差别。重要的是，张益唐的工作给出了西格尔零点的有效估计，这在实际应用中已经足够了。可以说，张益唐证明了朗道-西格尔零点猜想的一个变形。按张益唐本人的话，从中可以推出一百个定理。张益唐的同事，解析数论专家Jeffrey Stopple曾说：“如果张益唐能够证明朗道-西格尔零点猜想，就相当于一个人被闪电击中两次。”现在张益唐的论文已经公布，如果最终被证实是正确的话，解析数论就将揭开一个新的篇章。让我们拭目以待，希望早日有好消息传来！

本文经授权转载自微信公众号“普林小虎队”。

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