趣味横生的定积分：不要问我什么是有趣，这就是有趣丨展卷_风闻

当遇到有趣的定积分，你会按捺不住算出来吗？大部分人可能对于微积分计算敬而远之，但是，你不想知道什么是“有趣的”定积分吗？

撰文 | 姬扬

最近我发现一位高产的科普作家，读了几本以后，觉得他写得非常好，值得让更多的人知道。

纳欣（Paul J. Nahin, 1940-）是美国新罕布什尔大学的电气工程荣休教授，今年已经八十多岁了。你可能觉得他是个工程师，也许他确实是个工程师，但是他写了很多数学和物理方面的科普书，还得过一次数学科普写作的优秀奖（2017 Chandler Davis prize for Excellence in Expository Writing in Mathematics）。

十一的时候，我在知乎瞎逛，看到有人推荐Springer的一本书——Inside Interesting Integral，说是讲有趣的积分和实用的积分方法的。这种书能有什么意思呢？不过我正好闲着没事情，中科院的网站又可以接触这本书，所以我就找来看看。这一看不要紧，完全停不下来了。这确实是一本数学书，里面充满了积分符号，但是怎么说呢，我从来没有这么快、这么认真地看过一本洋文的数学书，居然还有自己上去试一试的冲动（差不多每章后面都有习题的，有些还挺有挑战性）——要知道，阿sir，我不做数学题很久了。

这是一本英文的数学书，专门讲定积分的计算。数学水平大致是大学二年级的样子，只要学过高等数学，应该不会有太大障碍（第8章围道积分稍微有点难，但是其他部分都是黎曼积分）；英语水平嘛，我觉得大学生二年级肯定也是可以的，甚至很多高中生应该也可以读，但是可能有许多数学名词需要查字典；阅读的还要求一点计算机的知识，因为他不仅向你展示如何用各种数学技巧来计算定积分，还用Matlab程序（很多时候就是一两行命令而已）来数值计算相应的定积分，用实验结果告诉你，他刚才的精确计算是正确的。

读者并不一定需要同时掌握上述技能。比如说，你只懂英语，可以读他的两个序言（因为我读的是第二版了）和后记；正文也可以翻一翻，只要跳过所有的数学就好了，因为里面里有很多非常有趣的小故事。当然这样你会错过这本书最精彩的部分，用各种神奇但颇有普适性的技巧来求解定积分——正如作者所说，求解定积分也是一种游戏，但是这种游戏比数独可有趣多了。这是我读过的最有趣的洋文数学书了——这个我可以保证。

读了这本书（都不用读完），你就知道，纳欣教授肯定是费曼和哈代的“迷弟”，他们俩的名字随时都会出现。费曼（R. P. Feynman, 1918-1988）是著名的物理学家，诺贝尔物理学奖的获得者，但是他的数学能力也很强；哈代（G. H. Hardy, 1877-1947）是著名的数学家，在数学方面有很多贡献（这个我们大家应该都不太懂，所以不用管它），他最著名的书可能是《一个数学家的自白》（A Mathematician’s Apology），而他认为自己最大的发现是拉马努金（S. R. Ramanujan, 1887-1920），伟大的印度数学天才。纳欣教授不仅在前言和后记中多次提到费曼和哈代（当然还有拉马努金），在正文中也是如此：第3章的题目就是《费曼最喜欢的技巧》，而全书最长、可能也是最难最精彩的一节（第6.3节）是哈代的杰作，

这个积分是几何学家考克斯特（H. S. M. Coxeter, 1907–2003，当时他还是个学生，只有19岁）猜出来的结果，但是他不知道怎么才能得到这个结果。他在一份数学杂志上征求帮助，竟然得到了哈代的解答，随信还附了一张纸条说：“我很努力地不在你的积分上花时间，但是对我来说，定积分的挑战是不可抗拒的。”

上面这个故事可以解释这本书的名字Inside Interesting Integral（《趣味横生的定积分揭秘》）为什么有3个I：Integral是积分，Inside是揭秘，但是最重要的选择标准是Interesting，有趣，有趣得让人无法抗拒！纳欣教授还用了一个类比来说明什么是有趣（参见美国高院大法官关于什么算是“淫秽”的著名评论）：不要问我什么是有趣的定积分，我不知道怎么定义有趣，但是只要我碰到有趣的定积分，我就知道它有趣！

这本书还提到了很多有趣的书和有趣的人，主要是数学书和数学家。当然，这本书的主角应该说是伟大的数学家黎曼（G. F. B. Riemann, 1826-1866），尽管在第1章提到了勒贝格积分，在后记里也讲了黎曼猜想，但是这本书的总体内容是黎曼积分！纳欣教授的求解过程很详细，语言很风趣，你读起来并不会觉得他是在花式炫技，而是很多时候都会觉得这是自然而然的呀。

不管你是喜欢英语还是数学，喜欢数学的实用技巧还是数学家的名人轶事，我都建议你尝试读一读这本书。不要因为它是一本洋文的数学书，就自动放弃了，打开试一试，也许他就是你的菜呢。

后记：

读完这本书以后，我才注意到，其实我以前见过几本纳欣教授的书，已经翻译成中文的《虚数的故事》和《物理就是这么酷》。后者我还读过，差点就要写个书评，只是因为不想违背自己设定的原则才作罢——对于任何没有“译者的话”的中译本，我都不愿意写书评。（编者注：参见《如何挑选译著？先看看有没有“译者的话”｜读书人语》）

幸好，Inside Interesting Integral这本书不需要译者的话。

纳欣教授还有很多其他的科普著作，从网上的简介来看，大都似乎也都挺有趣。列个书单在这里吧，也许以后有机会读呢。

• Oliver Heaviside (1988, 2002)

• Time Machines (1993, 1999)

• The Science of Radio (1996, 2001)

• An Imaginary Tale (1998, 2007, 2010)

• Duelling Idiots (2000, 2002)

• When Least Is Best (2004, 2007)

• Dr. Euler’s Fabulous Formula (2006, 2011)

• Chases and Escapes (2007, 2012)

• Digital Dice (2008, 2013)

• Mrs. Perkins’s Electric Quilt (2009)

• Time Travel (1997, 2011)

• Number-Crunching (2011)

• The Logician and the Engineer (2012, 2017)

• Will You Be Alive Ten Years From Now? (2013)

• Holy Sci-Fi! (2014)

• Inside Interesting Integrals (2015, 2020)

• In Praise of Simple Physics (2016, 2017)

• Time Machine Tales (2017)

• How to Fall Slower Than Gravity (2018)

• Transients for Electrical Engineers (2019)

• Hot Molecules, Cold Electrons (2020)