n只鸭子出现在同一半圆的概率_风闻

前段时间，观网出现了一道据说是奥数题，问4只鸭子在一个圆形池塘里随机游玩，它们位于同一个半圆的概率是多少？答案五花八门，但几乎就没有几个是正确的。其中最多的人选择了1/2这个答案（实际上这道题的正确答案是2/3）。

判别网友所用的方法是否正确其实很简单。

第一，既然能算出4只鸭子的概率，当然就能算出3只，5只，乃至N只鸭子的概率。如果所述的方法只适合算4只，而不能算出任意N只，那么所用的方法是否适当，就值得疑问。

第二，既然能算出4只鸭子分布在同一个半圆的概率，自然也应该能算出4只鸭子分布在同一个1/3圆，1/4圆，乃至1/n圆的概率。而这里面有一个很明显的结论，就是4只鸭子分布在同一个3/4圆的概率是100%！

也就是说，无论4只鸭子如何分而，我们总可以找到一个3/4圆，将这4只鸭子圈在其内部。如果网友所使用的方法不能得出这个结论，那就是明显错误的方法。

上个星期，我写了一篇文章来计算3只鸭子分布在同一个半圆的概率，4只鸭子的情况做了简述，没有具体计算（事后我计算得出4只鸭子分布在同一半圆的概率是2/3，N只鸭子分布在同一个半圆的概率是N/2(N-1)。)

文章的所用的方法虽然是正确的，但计算太繁琐，不适合初中奥数。今天，我将用奥数的方法再次计算，得出相同的结论。

如果，4只鸭子ABCD任意分布于圆内，4个相邻的鸭子的夹角分别为X1，X2，X3，X4。我们总可以找到其中最大的一个夹角（图中为X3），并切除之（如右图所示）。

显然，这样得到的圆域是鸭子可能分布的一个最小圆域。4只鸭子分布在同一个半圆，当且仅当这个最小圆域小于等于半圆。

但X3是四个角之中最大的一个角，这不可能小于PI/2。否则四个角都小于PI/2而它们的和不可能等于2PI！（这就证明了四只鸭子必然位于一个3/4圆域内）。

由于X3可以取 PI/2 至 2PI 之间的任何一个角，假设它均匀分布（？），于是4只鸭子分布在同一半圆的概率就是  PI/(2PI-PI/2)=2/3。

同理，不难得出，N只鸭子分布在同一个半圆的概率是 N/2(N-1)。