双曲空间漫游指南：一场琳琅满目的跨学科之旅_风闻

我们生活在平直的三维欧氏空间，时间空间仿佛均匀展开。但你有没有想过，生活在双曲空间，比如庞加莱圆盘上，会是怎样奇妙的体验？事实上，我们的意识、记忆或许是在双曲空间运转，双曲空间是复杂网络背后的几何，爱因斯坦构建狭义相对论的闵可夫斯基时空也是双曲面模型。双曲空间到底是什么样？为何吸引黎曼、庞加莱、克莱因、莫比乌斯等数学巨擘探索？今天，我们共同开启一场双曲空间的跨学科之旅。

撰文 | 胡乔

1. 初识双曲空间

难以想象，如果没有画家埃舍尔，多少人将被艰深的双曲几何拒之门外；幸运的是，埃舍尔的系列作品已成为最佳向导，指引我们通向双曲空间。

圆极限III和圆极限IV是埃舍尔创作的两幅木刻（图1）：前者的主要形象是各色的鱼，它们有白色的背脊线和不成比例的大眼睛，紧凑排布在一个圆盘上；后者刻画的是天使和恶魔，黑白对立，排列在同样的圆盘上。好好欣赏这些艺术形象吧，不过我们要宣布：圆盘才是具有魔力的，它使所有的鱼都一样大（天使和恶魔也是如此）。

图1 埃舍尔的木刻版画圆极限Ⅲ（左）和圆极限Ⅳ（右）

“魔力”圆盘引导我们得到以下发现：

指数增长使得圆盘极不均匀——外部紧密而内部稀疏，这也会影响长度的计算。由于每一条鱼大小相等，因而可用鱼长作为标尺。在图2中，黄色虚线比红色实线经过了更多条鱼（黄线更长），这意味着两点之间的最短距离不再是直线，而是向圆盘中心弯曲的曲线。

图2. 圆盘上两点的距离（红色实线为最短路径)

图3. 圆盘上的三角形（图中三角形角度趋近于0）

三条首尾相接的线段仍然构成三角形，但三角形的内角和不再是180度，而是小于180度。有多小呢，答案是可以趋于0度！

(2) 连续的层级。在圆极限IV上，每位白色天使邻接三个黑色恶魔，恶魔也邻接三位天使，从圆盘中心到边缘层层展开。在圆极限III中，鱼的脊线交织，也形成类似的结构。

这是不是让你想到了无穷分叉的树结构？树结构有一个根节点，从根节点往外层层分叉，节点数量随着层数指数增长。更重要的是，圆盘上的距离也近似于树结构上的距离：在圆盘上，两点间的最短路线偏向圆盘中心（图2中的红色实线）；在树结构上，两节点的最短距离则要经过它们共同的父节点。

图4. 树结构与圆盘（右图圆盘中从A到B，可沿绿色分支，也可沿黄色点行走，距离是相近的）

圆盘和树的区别仅在于：树结构的分支互不相通——如果你走错一个分支就必须先返回到上一层，再去探寻另一条分支；而在圆盘上，你既可以按层级行走（沿着分支），也可以径直走过去，路线更加灵活，但距离是相近的。

至此我们已经初识了圆盘模型，它是指数增长的空间，又可以看作连续的树结构，与欧式空间大不相同——感谢埃舍尔的指引，现在可以正式介绍这个“魔力”圆盘了，它全名叫贝尔特拉米-庞加莱圆盘，也常简称庞加莱圆盘，是双曲空间的一种模型。

身在双曲空间会有何种体验呢？举个例子，在庞加莱圆盘上，当一个物体离开你时，它将很快缩小就像突然消失；而当它靠近你时，又会很快变大就像突然闯入——这是一个飘忽而来飘忽而去的世界。

著名的双曲游戏 HyperRogue 就借助这个特性设计场景，可想而知，面对飘忽不定的双曲世界，玩家打怪需要更加绷紧神经。

图5. 欧式空间（上）与双曲空间（下）的比较（动图来源于游戏 HyperRogue 的录屏）

2. 细辨双曲模型

尽管庞加莱圆盘已经广为人知，但还远非双曲空间的全部。细致地梳理双曲空间，我们会发现有各种不同的双曲模型，以及模型背后巨擘如云、精彩纷呈的非欧几何史。

曲率、镶嵌、海珊瑚

为什么有的空间会呈现指数增长呢？这要从曲率说起。曲率衡量空间的弯曲程度，可分为三种：直线/平面不弯曲，曲率是0，圆/球的弯曲使空间封闭，还有一种弯曲使空间发散。

图6 三种曲率

空间的大小可以用多边形铺贴（在数学中叫做镶嵌）来比较。曲率如何影响空间的大小呢？来看一个例子：下图有三种曲面，左边的是平面，用正六边形可以均匀铺满；中间的是足球形（近似球面），铺满这样的球面要用一些正五边形（黑色）来替代正六边形，从而“节约”了一些面积；而右图中需要填充一些正七边形（黑色）来替代正六边形，此时空间是翘曲的，因而增大了一些面积。

图7 曲率与空间的大小

由此可知，正曲率对应的是封闭空间（如球形空间），它使空间收缩（相对于平面）；负曲率对应的是开放式无限空间（如双曲空间）。

你可能会问，负曲率能使空间变得多大呢？首先，曲率有大小：翘曲越多，空间扩张就越多。在下图中，每个交点处拼接了5个正方形，翘曲使得曲面多装下了一块正方形（相比于平面）。如果我们翘曲更多，例如在一点拼接6个正方形（实际不一定可行），空间就会变得更大。

图8 翘曲的平面（图片来源于网络)

其次，空间是连续的，在一点处弯曲，邻近的点也跟着弯曲，从单点扩展到区域，整个空间就呈现为指数增长。许多海洋生物在漫长的演化中学会了将身体舒展成双曲空间，从而极大地扩充了体表面积：例如，海珊瑚的尺寸并不大，但如果沿着它的边缘绕上一圈，经过的距离将千百倍的放大。

图9 钩针编织的海珊瑚（图片来源于https://crochetcoralreef.org/）

图10 银耳（图片来源于网络)

至此我们了解了曲率这个重要概念， 而双曲空间正是由曲率来定义：双曲空间是具有负常数曲率的空间。非同寻常的双曲几何，如最短路径是曲线，三角形内角和小于180度等，都是负曲率引起的。如果你继续寻找还能发现更多：在双曲空间里不存在矩形，圆的面积和周长按同样的速度增长，等等。

地图投影

我们已经介绍了庞加莱圆盘和海珊瑚，你可能会疑惑，他们看起来如此不同，真的是同一类空间吗？

这个问题可以类比地图投影来回答：地球只有一个，但是将它展开成地图则有很多种方式。下图展示了常见的三种地图投影——设想地球中心有一盏射灯，光线穿过地球落在投影面上就形成地图。这些地图保留了大部分球面信息，但同时也会产生变形和扭曲。例如第三张地图（著名的墨卡托投影），在南北极附近变形就很大。

图11 常见的地图投影（图片来源于网络）

与地球-地图投影类似，双曲空间只有一个，而双曲空间模型有很多种。那么猜一猜海珊瑚和庞加莱圆盘谁是真正的双曲空间？答案是——它俩都是投影，而真身并不可见——大数学家希尔伯特证明，双曲空间不能等距的嵌入到3维欧式空间，也就是说我们不可能看到完整的双曲空间。

想象整个双曲空间是困难的， 也是令人兴奋的，它一直可追溯到古希腊数学家欧几里得的平行公设——世世代代的数学家为此追问了上千年，到19世纪终于结出了非欧几何的硕果，使几何学迎来高光时刻。

共形模型

最常见的一类双曲模型叫做共形模型，共形性也被称为保角性，是指图形在投影前后尺寸有缩放，但形状保持不变。庞加莱圆盘就是典型的共形模型，除了保角它还将所有空间映射到一个单位圆盘上，赋予我们上帝视角，这也是它广受欢迎的原因之一。

共形模型的缺点是保角不保距，在埃舍尔的圆极限中，我们已经知道同一条鱼投影在不同点就有不同的大小；不但不保距，共形模型计算距离的方式也比较复杂。

图12 作为共形模型的庞加莱圆盘（上图为圆盘上的平动，下图为转动，注意在运动中直角保持不变）（图片来源于http://bulatov.org）

共形圆盘的对称性和层次感不仅令数学家欣喜，也为艺术家所青睐，从埃舍尔画作开始，共形圆盘的造型作品层出不穷。

图13 以共形圆盘为表现形式的艺术作品（图片源于网络)

另一种常见的共形模型是上半平面模型（全称贝尔特拉米-庞加莱半平面，简称半平面模型），它是下部有边界而上部无限开放的半平面。在半平面模型中，自上而下的层级非常显著——类比树结构，不难发现半平面上部无穷远处对应着树的根节点，而下部边缘对应叶子节点。

图14 上半平面模型，五边形镶嵌（图片来源于网络)

图14 上半平面模型，黑白三角形镶嵌(图片来源于维基百科)

在半平面模型中，空间的指数增长在下部边界附近更为显著。由于具有共形性，半平面模型上的平动和转动也保持角度不变。

图15 半平面模型的平动（上）和转动（下)（图片来源于http://bulatov.org）

两种共形模型——圆盘和半平面之间可以互相变换：圆盘的边缘对应半平面的下边界，而圆盘中心被映射到半平面上方的无穷远处。这个变换仍然是保角的，叫做莫比乌斯变换。没错，就是发现莫比乌斯环的那位。