数学应该是一门科学……吧？（下）_风闻
中科院物理所-中科院物理所官方账号-2022-10-25 14:14
原创：中科院物理所
译注
在上篇文章中，作者介绍了科学的定义、数学的发展简史以及历史对数学发展显示的影响。在这篇文章中，作者将会分析数学究竟属不属于科学。
数学究竟是不是科学？
高斯称数学为“科学的女王和仆人”。几乎每个人都至少同意“仆人”的部分：不可否认，数学在科学中起着重要的支持作用。这种支持不仅在物理或化学领域，而且在其他科学领域也越来越明显。统计学是医学从艺术向科学转变的基石。对于大多数社会科学而言，它们所利用的数学越多，研究可重复性就越会好、就会越科学。然而，关于数学是一门科学（更不用说“科学女王”）的说法似乎缺乏支持。
首先，数学是否遵循科学方法，观察、假设、实验、测试、验证？
尽管有些人可能会感到惊讶，但答案确实是肯定的。这就是数学论文的流行风格不利于大众准确理解研究性数学之处。真正从事研究的数学家不会先写一个定理然后证明它。她通常和自然科学家一样在未知中摸索。她会思考一些具体的例子（观察），并检查它们有没有特殊的性质；然后提出一些具有一般性和具体性的问题，并且试图针对具体案例回答它们；接下来，她会给出一般性陈述（假设），并继续尝试证明（实验）；有时，如果失败了，她会尝试构建一个反例（证伪和测试）。
对于特别棘手的问题，提出具体的例子被认为是一种有价值的追求，类似于对理论难点的实验证实。比如，检查很大的范围内的所有奇数是否完美可能并非是奇完美数不存在的数学证据，但它仍然有帮助。证实ABC 猜想所暗示的某些推论并不能证明猜想本身，但这会给数学家一些“街头信誉”（并使人们更有兴趣区证明猜想）。类似的例子还有很多。
另一方面，数学与物理学等科学存在一些显著差异：虽然有观察，但似乎没有对“现实世界”的观察。数学家总是要求“证明”，这是一个比任何其他科学都严格得多的标准！以牛顿万有引力定律为例。声称该定律适用于任何地方（它的“普适性”）永远不会使数学家满意。对于这样的声明，仅仅没有反例是不够的。只有符合数学标准的证明才是正确的。例如，将它与费马大定理进行比较，费马大定理在 350 年来无法找到反例或证明，但这不能被视为真假的（数学）证据。这确实很烦人。只有当完成证明（并经受住检查和验证）时，猜想才会被接受。另一个例子是哥德巴赫猜想，它已经被大量验证；这种验证虽然具有指示性，但还不够。奇完美数的存在性也是如此。对于数学的严谨性有一个笑话，有一位数学家、一位物理学家和一位工程师乘坐火车穿越苏格兰，这时他们看到远处有一只黑色的绵羊。工程师立即断言“在苏格兰，绵羊是黑色的。” 物理学家回答说：“不，在苏格兰，有些羊是黑色的。” 然后数学家温和地纠正他：“在苏格兰，至少有一只羊是黑色的……至少有一面是黑的。”
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那么：我们应该如何处理对“证明”的需求以及明显缺乏实际观察的情况？
对于第一点，我认为数学对严格证明的需求并没有真正将数学与其他科学区分开来。只是数学结果必须满足比物理学更严格的标准。但其他科学也为了能够被接受而设定了自己的阈值：不超过一定数量的错误，在一定程度上具有统计学意义的置信度，充分多样的观察、预测等。数学的标准只是在程度上不同（因为这些标准似乎更强并且具有更高的阈值），而没有本质上的不同。
再来看第二点。公理是不是任意陈述？它们是不是被教条地遵循，从不会被质疑或修改吗？数学家真的关心 “真”和“假”吗？如果是外在世界的“真”和“假”呢？
希尔伯特学派提出的理想化数学模型认为，上面几个问题的答案分别是“是的，它们是”、“是的，但它们是任意的，我们可以将公理随意更改为其他系统”、“不关心”和“不关心”。但就像所有理想化的模型一样，这不是一个准确的表示。
公理可以是任意陈述，但它们几乎从来都不是。通常数学家都有一些理由提出特定的一组公理而不是其他公理。它们与其说是代表“任意陈述”，不如说是代表特定发展的“基本规则”，是作为数学家工作基础的最低限度的商定断言。通常，这些公理是对实际观察的提炼，或者是以一种适合数学处理的方式抽象现实世界的尝试。基于几个世纪的工作和观察，微积分的思想（一个明显的经验发展，它旨在提供研究运动的工具）已被提炼成一系列有关实数的“公理”。这些公理是18和19世纪的数学家在避免悖论、实用和好用之间做出的妥协。
在某种程度上，这些公理是“无可置疑的”，因为从数学的角度看，它们在经验意义上的“真实性”几乎没有问题。与之相对，当一个数学理论源自它试图抽象和研究的真实世界情况时，它的公理很少不受质疑或未经修改，因为人们总是试图确保抽象理论尽可能接近实际情况。数学理论与现实世界之间存在持续的反馈和微调。
此外，虽然数学确实通常不说“真”和“假”，而是说“可证明”和“可证伪”，但这并不意味着它与外界没有联系或应用。数学定理从来都不是简单的陈述；相反，它们总是暗示。所有数学定理的形式都是“如果（满足某些条件），那么（将得出这个结论）”。此外，每当我们在一个具体模型中解释该理论时，它都是正确的。
正如希尔伯特在他对几何学的评论中指出的那样，一个公理系统不应该依赖于所有未定义术语或公理的任何具体含义。然而，这意味着如果我们从这些公理中得出一些数学上正确的结论，那么它们在任何解释中都是正确的。如果我们将一个几何定理中的“点”解释为“桌子”，“线”解释为“椅子”，“平面”解释为“啤酒杯”，那么这个定理将为我们提供关于桌子、椅子和啤酒杯的正确解释（假设公理在这时也是真的）。这样说来，数学肯定与现实世界有联系，也有测试和检查这种解释有效性的能力。此外，即使我们认识到我们可能赋予“点”、“线”和“平面”等未定义术语的语义含义在证明中不应发挥作用，但这些语义含义通常对证明和定理有启发。即使“圆”和“线”是在证明本身中不应包含任何语义内容的术语，数学家还是会画一个圆和一条线来帮助确定想法或启发证明。
数学要求的证明标准实际上确保了只要前提（包括公理）为真，结论就为真；如果结论是错误的，则至少有一个前提为假。依赖可证明性而不是真理性给我们提供了灵活性和确定性。通过依赖抽象而非具体的考虑，我们确保（或至少试图确保）我们的推论确实适用于任何具体的解释。
大多数数学家在做数学时通常会有一些特定的解释。可是，我们可能会在证明中无意中使用该解释的具体属性，并得到在其他解释中无效的结果。欧几里得也曾落入这样的陷阱。他的《几何原本》第 1 册的命题 1 依赖于一个显而易见的事实：两个特定的圆段有一个共同点。然而，这个“显而易见的”事实实际上并不是从公理中得出的。欧几里得的理论需要一些新的公理才能成为真正的定理，只有所有公理（包括旧公理和新公理）都为真，他的理论才会为真。
第1册命题1，文本来源：张卜天译《几何原本》
正是因为这种危险的存在，数学才发展出它的证明标准。就像其他科学根据自己的经验发展出自己的科学一样。在这方面，数学也表现出一门科学的特征。
结论
数学是一门科学吗？我相信是的。它遵循科学方法（尽管很可惜，流行的写作风格掩盖了这一事实）。虽然它似乎（有时声称）生活在自己的小世界中，而不关心现实，但事实是，即使以“最纯粹”的名义，它也会密切关注现实的应用和启发。毫无疑问，在 “应用”的幌子下，它贴近现实，并且它的假设、问题和结论在此背景下不断得到检验和完善。尽管如此，它也与其他科学不同，它的标准更高一些，更确定一些。但这部分是数学作为一门科学的力量，而不是一个不合格的属性。
那么，回到我们对科学的定义，数学是否满足要求？它试图区分真实陈述和虚假陈述。然而，我们在这里必须理解，“真实陈述”并不是孤立地指代一个定理或引理，而是指一个定理给出的隐含陈述，即只要所有公理和假设在某种解释中都为真，则该定理的结论的相应解释也为真。同样，“错误陈述”意味着至少有一种解释使公理和假设为真，同时使结论为假。
毫无疑问，数学通过系统证明的方式实现了这一点。任何人都可以检查证明过程。他们被鼓励通过逐行检查证明过程并认可其有效性（或要求澄清，甚至指出错误）来“重复实验”。曾经被认为正确的结果突然被一位数学家指出论证中的缺陷，这种事确实发生过。有时整个证明过程都会被否定，有时它只需要“修复”。
通过使用证明，数学有一种非常系统的方法来验证它的主张：可以通过提出反例或指出证据中的疏漏来发现错误。绝大多数人都认可这种系统性的方式。
最后，应该确认数学确实符合科学定义的要求；它对科学方法的特殊解释，它的特殊阈值，可能在数量上与其他科学不同，但在质量上是相同的。此外，它在科学中发挥着独特的作用，是许多其他科学方面不可或缺的工具。
作者：Arturo Magidin
翻译：藏痴
审校：C&C