解4只鸭子在同一半圆的概率_风闻

先计算3只鸭子的情况，4只鸭子类似，但计算较为复杂。

首先要认识到下面几点：

（1）任一鸭子沿径向移动任意距离，不影响鸭群位于或不位于同一半圆的分布。

据此，可认为所有鸭子均位于单位圆的圆周上。

（2）任两鸭子交换位置，不影响鸭群位于或不位于同一半圆的分布。

据此，可认为所有鸭子是无差别的。事实上，本题更正确的提法是4只形状大小完全相同的浮球均匀分布在池塘里，求它们位于同一半圆的概率。

（3）所有鸭子绕圆心整体旋转任意角度，不影响鸭群位于或不位于同一半圆的分布。

据此，我们可以3只鸭子所下图分布：

其中一只鸭子A位于X轴上，并且它与相邻的另一只鸭子B（逆时针)的夹角X是3个相邻夹角（X，Y，Z）中最大的一个夹角。若不然，我们总 可以将鸭群整体旋转一个适当角度，使它成为上述的标准分布。

显然，鸭子群的任一分布，唯一对应一个标准分布。

另一方面，对于任意给定的3个数X，Y，Z，集合S={（X，Y，Z）|X+Y+Z=2 PI，X>Y>0,X>Z>0}中的任意一点，唯一对应上述一个标准分布（X>Y实为大于等于）。

换言之，标准分布与集合S是一一对应的。

显然，鸭群分布在同一半圆内的充分必要条件是：（X，Y，Z）属于S且X大于等于PI。

集合S1={（X，Y，Z）|X+Y+Z=2 PI，X>0,Y>0,Z>0}的图形是等边三角形ABC。

集合S2={（X，Y，Z）|X+Y+Z=2 PI，X>Y>0,Z>0}的图形是直角三角形ACD，其中D是AB的中点。

集合S3={（X，Y，Z）|X+Y+Z=2 PI，X>Z>0,Y>0}的图形是直角三角形ABE，其中E是AC的中点。

于是，集合S1就是集合S2与S3的公共部分（交集），即四边形ADFE，基中，F是BE与CD的交点。

这就是说，对于四边形ADFE中的任意一点，唯一对应一个鸭群（3只）的标准分布，反之，3只鸭子的任何一个标准分布，也唯一对应于四边形ADFE中的某个点。四边形ADFE与鸭子的标准分布是一一对应的。

不难看出，在四边形ADFE中，使X>PI的点必位于等边三角形ADE中，这是鸭子位于同一个半圆的标准形的集合。

故，3只鸭子位于同一半圆的概率=三角形ADE的面积/四边形ADFE的面积=3/4=75%.

至于4只鸭子的情形，这里只给出简单提示。

四只鸭子群，相邻两只鸭子的4个夹角，X1，X2，X3，X4，满足X1+X2+X3+X4=2PI。这是一个正四面体ABCD。E，F，G分别是AB，AC，AD的中点，P是BG与DE的交点，Q是CG与DF的交点，R是CP与BQ的交点。则4只鸭子的标准分布的集合为六面体AEFGR。其中4只鸭子位于同一半圆的标准集为正四面体AEFG。

故，四只鸭子位于同一半圆的概率为：正四面边AEFG的体积/六面体AEFGR的体积。