关于4只鸭子在同一半圆的概率问题_风闻

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看到大家聊得很热烈，我也凑个热闹。

我不是小学数学老师，只有几十年前的高中学历，单纯闲得无事，后面临时查百度学了下数列的乘积求通项的办法才求得公式。

以下是我对此题做了如下思维步骤的分解、推理和答案，问大家对不对?

1、首先，我假设这是一道纯数学题。因为如果是生物题，就不会有精准的答案。因为即使鸭子喜欢群聚，但在瞬时情况下，也会离散，不存在100%在一个半圆的情况。

2、其次，存在另一个假设，即：此题是假设鸭子都为一个抽象的点，即使两只鸭子骑在某条穿过圆心的直线上，我们也认为它们在一个半圆内。这是基本的假设前提，否则本题作为数学题定无精准答案。

3、清楚以上两个假设后，还要作第三个假设前提，即：这是可以用少年儿童所掌握的数学知识即可解答的，最笨也是最好的办法就是枚举，因为4这个数字很小。（以上三个假设要比标准答案来得重要，如果家里孩子首先辩识了这三个假设，我觉得他是可造之材）

4、有了假设2，我们开始进行枚举，并获知，任意两个点（鸭子）都会在一个半圆上（所谓“鸭子在一个半圆上”用数学语言可描述为：所有点和点到圆心的连线的夹角之和小于等于180度。如果你的小孩自主发掘了这一层，说明他具有哲学或数学天赋）的概率是1，也即两个夹角之和大于180度的概率是0。

5、进一步枚举有三个点的情形，可知任意a、b两个点与点c不在一个半圆的概率为1/4（因为a、b与圆心连线及延长线形成了以圆心为顶端的4个夹角，各夹角角度自由分布，则c点落于a、b经过圆心的延长线夹角范围內的概率1/4即是三个点不在一个半圆的概率）。以上三点为随机任意选取，因此可知a、b、c三点在一个半圆的概率为1*（1-1/4）=3/4。

6、进一步枚举有四个点的情况。按照步骤5，要计算在一个半圆内的任意a、b、c三点与d点在一个半圆的概率，先要计算d点不与前三点在同一半圆的概率，也即d点落于a、b、c三点连接圆心的直线的延长线所构成的两个夹角之內位置的概率。分析可知，a、b、c与圆心连线及延长线将圆分成了以圆心为顶端的6个夹角，6个夹角角度自由分布,因此当a、b、c在一个半圆内时，d点落于两个延长线夹角之内的概率为2/6，也即四点同在一个半圆的概率为3/4*（1-2/6）=1/2。

7、因此，在以上三个假设前提下，本题标准答案应是1/2。

8、本题数字小，可以枚举，如果是一百只、一万只鸭子呢?我们可以尝试枚举后再归纳，当有5只鸭子时，概率为1/2*（1-3/8）=5/16;当有6只时，5/16*（1-4/10）……以此类推，当有n只鸭子的时候，其概率为：{n-1只时的概率*[1-（n-2）]/（2*n-2）}计为Pn=n∏(i=2) [1-（n-2）]/（2*n-2）也即Pn=n∏(i=2) n/2(n-1)=n/2^(n-1)我们可得到，当有11只鸭子的时候，其概率为11/2^10≈1%