查了一下，这题原来是2005年美国普特南大学数学竞赛的压轴题_风闻

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• 江南剑侠
• 接近了，但是木棍和圆不一样，木棍有两头，但圆没有。

一样的。木棍只要切3刀分为4段，圆需要切4刀分为4瓣，第一刀不用考虑概率。

也可以直接按切圆来描述，看上去还更简洁一些，尽管实质一样。重新描述一下：

每只鸭子和圆心的连线看作一根指针，问题转化为一个表盘里4根指针都在一个半圆的概率。

给定任何一根指针作基准，另外一根指针落在它顺时针半圈内概率是1/2，另外3根都满足的概率为1/2*1/2*1/2。4根指针都可以选为基准，所以总概率是4/8=1/2。

推广到n只鸭子，概率是n*(1/2)^(n-1)。

再进一步推广到n只鸭子落在1/m扇形区域内，概率是n*(1/m)^(n-1)。

不会有更简洁解法了。这个解法似乎是首创。

查了一下，这题原来是2005年美国普特南大学数学竞赛的压轴题，原题问就是圆内4点没有鸭子。解法很多了，有一个著名的油桶数学频道3Blue1Brown，主创是斯坦福大学数学系的，对这题的解析被翻到b站了：“【官方双语】如何优雅地解答最难数学竞赛的压轴题？”，思路非常好，但就本题而言似乎不如上述解法直观简洁。

知乎有过讨论“圆内任取三点/四点在同一半圆内的概率是多少？”，各路大神给了很多解法，有的用了双重积分甚至看不懂的数学知识，大都很繁复。最高赞解法是画4条直径，得到8条半径，转化为4个点落在相邻半径的概率，算比较简洁的了。不过这种解法只是针对半圆的特解，如果问落在1/3扇形的概率就不能用了。