为什么身份证号尾号会出现“X”？答案就藏在这幅明朝的古画之中_风闻

【文章转自微信公众号“格致论道讲坛”，作者 郭园园】

大家好！我是来自中国科学院自然科学史研究所的郭园园，今天非常高兴能在格致论道的舞台上，和大家聊一个关于数学的小话题。有些同学比较喜欢数学，但可能也有不那么喜欢数学的同学。我想通过这个演讲，让大家换一个角度来看待数学。

今天的主题是《身份证里的数学》。目前我国居民身份证号码总共是18位，前17位都有具体含义。前面的6位，是首次办身份证时所在的省、市的代码，中间是出生的年、月、日，后面是申请户籍时派出所的顺序码。

唯独最后一位数字，是通过前面的数字进行简单的数学运算后计算出来的。它叫做什么呢？答案是校验码。今天，我们就来看一下它究竟是怎么算出来的，为什么要进行这样的运算。

前两天，我女儿拿到了她的第一张身份证，她很兴奋地把我们大人的身份证都拿到一块。这个时候她发现：“为什么我身份证上最后一位是字母X，而你们身份证的最后一位都是数字？”

其实，这并不是字母X，而是罗马数字里的10。为什么不写10呢？因为如果是10，写出来身份证号码就变成19位了。在编码学中，不一样的数位就不太容易存储或者使用。

那为什么最后一位的校验码会算出10呢？其实，这种算法已经有上千年的历史。而我正好是从事这项研究的，可以给孩子解释一下这个问题。

来自丝绸之路的数学

首先，我们来看一种古老的算法：弃九法。这需要提到一本古代的数学书，而写这本数学书的地点是在这幅古画中。

这幅画叫做《丝路山水地图》，目前收藏在故宫博物院。它是明代嘉靖年间的一幅长轴画，描绘的是从我国西部的嘉峪关到圣城麦加的广阔亚欧平原上的景色。城池用汉字标出，其中在长轴画中间的位置，有一个城池叫撒马尔罕城。

撒马尔罕是哪儿呢？就是今天位于我国新疆西部的乌兹别克斯坦的第二大城市撒马尔罕。在撒马尔罕城的旁边，还有一个小小的角楼，上面标了三个字“望星楼”。它实际上是当时撒马尔罕城旁边的郊区叫兀鲁伯格天文台。

为什么不仅画它的城池，还把天文台画出来？这说明在历史上，我国和沿丝绸之路的各个国家之间不仅进行了密切的经济贸易往来，也进行了密切的科学往来，特别数学和天文的交流是非常频繁的。左图就是画中显示的是兀鲁伯格天文台遗址。当时这个天文台经过岁月的摧残，它的地表部分已经被摧毁掉了。后来经过考古学家的挖掘，发现地下还存在着一个半径非常大的完整的六分仪。

左：兀鲁伯格（1394-1449）；右：阿尔·卡西（1380-1429）

画中的两个人就是今天故事的主角。在公元15世纪初的时候，左边这位是皇帝，叫兀鲁伯格，也就是当时撒马尔罕城的统治者。兀鲁伯格不仅爱江山，而且还爱科学。如果把古今中外所有的皇帝按他们的科学素养进行排名的话，兀鲁伯格应该是名列前茅的。他编订了《兀鲁伯格历》，在当时世界范围内，它的精度都是非常高的。这么喜欢科学的一个人，当然也很喜欢从帝国境内网罗各种数学、天文学的人才。

右边这位是阿尔·卡西，就是兀鲁伯格手下的首席科学家，也是兀鲁伯格天文台的第一任台长。当时的首席科学家不仅要帮助皇帝解决最困难的数学、天文学问题，还要给帝国境内的工匠们、官员们还有小朋友们编订数学书。编的这本书名字叫《算术之钥》，这个名字听起来很怪，其实是当时阿拉伯书籍中比较常用的叫法，就是算术的钥匙。在这本书中包括了跟今天小学和初中类似的内容：算术、代数、几何。

《算术之钥》第一章目录

这个算术内容，也包括了整数和分数。其中第一卷是关于整数的运算，比如加法、减法、乘法、除法。还有一个算法很有意思，叫弃九法。

这个图是阿拉伯语的抄本，当时阿拉伯语是撒马尔罕的官方语言，是从右往左书写的。但是我们现在用的阿拉伯数字却是从左往右书写。这个很有意思，因为阿拉伯数字其实是从印度传过去的，这也是一种文明的撞击和融合。

如果你要了解弃九法的话，首先要清楚什么叫弃九数。比如有一个数字是3217，如果把它每一位上的数字连续相加，3加2加1加7等于13。继续把13的每一位上的数字相加，1加3等于4。直到得到个位数字4为止，这个4就叫做3217的弃九数。其实这个弃九数就是3217除以9之后的余数，只不过这种连续相加是一种快速算法，很早以前的数学家就知道了。

弃九数有什么用呢？它关键是要检验运算是否准确**。**这个时候就有弃九法了，大家想一想，平常在计算加减乘除运算的时候，是不是经常容易算错？古人就很聪明，发明了弃九法。

比如，现在要检查一个乘法运算：3169乘以732等于2319708是否准确。如果没有别的方法的话，只能把它重新算一遍。但是弃九法是怎么检验的？首先把3169的弃九数求出来，它是1。就是把每一位连续相加，最后得到个位数字1。732它的弃九数是3。2319708的弃九数是3。然后我们看一下，1乘以3是不是等于3，结果是准确的。

这说明前面非常大的数字的乘法运算，大概率是正确的。**但是如果用弃九法检验是错误的，说明前面的运算一定是错误的。**这就是古人的验算方法，充满了智慧。

左：《兀鲁伯格历》中的弦表；右：阿尔·卡西计算根号3

当然，创造数学绝对不仅仅是为了考试。阿尔·卡西教小朋友的时候，也不是为了出各种各样的卷子来考大家。大部分的数学知识，对于普通人来讲是为了应用。

阿尔·卡西作为首席科学家辅佐兀鲁伯格制定天文历法的时候，需要进行大量的运算。比如左边就是非常大的正弦表，正弦表中每一个数字是需要进行精确计算的。如果说作为天文精度的话，每一个数字在当时来讲，要达到小数点后面18位左右才有意义。太低的精度没有什么实际意义。

为了达到高精度的运算，阿尔·卡西也需要检验。作为一流的数学家，他比普通人在考虑高维问题的时候具有优势。但是如果是比纯粹的加减乘除运算，数学家相对普通人来讲，其实他们的差别并不大。

右边这张竖表，就是阿尔·卡西在计算根号3，他要把根号3计算到小数点后面的28位。这张表中有成百上千个数据，为了保证运算的准确性，阿尔·卡西就运用了弃九法，把每一步都进行检验，右边的每一个数据都是通过弃九法进行检验的。

从弃九到同余

随着欧洲的文艺复兴，这些阿拉伯的算法传到了欧洲。而从明朝开始，我们国家的数学、天文学在世界范围内开始迅速地衰落。西方比较先进的数理科学知识也传入我们国家，形成西学东渐。于是在阿尔·卡西之后几百年的岁月中，这种算法被传到了全世界。

在弃九法发展的过程中，数学家们逐渐还认识到了弃七法、弃十一法、弃十三法等。这些方法其实都属于今天初等数论中的同余理论。比如，这张图片里展示的就是今天最常见的高中数学课本。这种同余理论在我们日常生活中比较常见的服务是什么？答案是计算校验码。

和我们生活最息息相关的校验码就在身份证上。我们平常在手机或者电脑经常需要输入身份证号码，假如没有校验码，就是输入17位数字，很容易发生不小心有一位输错了，或者某两位颠倒位置的情况。那么有了第18位校验码，就能及时发现这种情况。正是因为一个小小的校验码，就可以保证整个系统的安全性。

那它是怎么算的？主要分三步：首先身份证号码总共是17位，把前17位号码依次乘以不同的系数。比如第一位乘以7，第二位乘以9，第三位乘以10，这在数学上叫做加权因子。相同两位加权因子不一样，是为了区分数位。然后把这17个乘积相加，相加之后除以11。这个时候弃十一法就出来了，它的算法思想已经有上千年的历史。

某一个很大的数除以11，它的余数有多少种可能性？如果整除的话，余数是不是可以看成0？还可能出现1、2、3，还可能出现10，但是不可能出现11了。这样，不同的余数就会对应不同的校验码。比如余数是0的时候，它对应的校验码就是1；余数是1的时候，对应的校验码就是0；余数是2的时候，校验码对应的是那个X。这就是为什么身份证的最后一位可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、X的原因。

下面来看一种更简单一点的算法，它依然是利用了弃十一法进行了校验码的运算。只要从正规的书店买到的图书，每一本书都会有一个ISBN编号，叫国际标准书号。

目前ISBN编号有两种：一种是10位的，另一种是13位的。这个10位的如何计算？如果是一个含有校验码的10位的ISBN编号，它的前9位是有具体含义的。比如，这本书是哪个国家的、哪个出版社的、哪种类型的书。

第10位怎么算呢？比如，某一本书前9位的源号码是730904547，如何算最后一位？将第一位数乘以10，第二位数乘以9，第三位数乘以8，然后7、6、5、4、3、2，最后得到一个数字226。然后计算226加上谁，可以被11整除，结果发现226加5就可以被11整除了。按照这个算法，校验码就应该是5，由此就得出了第10位的校验码。

那它怎么起到校验作用？假如把第一个数输错了，本来是7，不小心输成8了。这种情况很容易出现，因为键盘是挨着的，输的时候有可能碰到边上了。按照这个乘以加权因子再相加求和，上面那个和已经不是226了，应该是236。因为第一个数字乘以10，不小心输成8了，就从226变成236了。这时236需要加上6才能够被11整除。那按照这个算法，校验码结果是6，而不是5了。

所以在真正操作的时候，如果有一个号码不小心输错了，但是最后校验码还是输的原来的号码，这时系统马上就会识别出这个号码是无效号码，是一个错误的号码。这是一个小小的数学的运算，但是它蕴含着巨大的力量，是整个系统的安全保障。

校验的思想无处不在

在日常生活中，这种校验码的思想还是非常普遍的。

比如，纪念钞的号码并不是随便写的。如果随便写一个号码，前面加字母，后面加上数字，它不一定是合法有效的。这里面就可能有加密或者是校验的运算。

平常去商店或者超市购物，都会看见这种条形码。条形码的最后一位也是校验码，只不过在识别的时候，会拿扫描枪去扫一下，根据条形码的粗细来识别它是不同的数字。顾客买了一件很贵的东西，但是输入的时候当成了一个很便宜的东西，假如有校验码，系统就会报错。而没有校验码的保护，很可能就会给超市造成损失。

条形码蕴含的信息太少了，毕竟只有几个数字。所以除了条形码之外，我们还有二维码，因为二维码蕴含的信息更多。这里面的黑白小格，实际上就是数字0和1。它不仅含有校验码，还有一些更多的信息，比如识别码。平常在扫二维码的时候，如果拿手盖住一块，是不是还可以扫出来？或者二维码有一些地方破损了，但是依然可以扫出来。这就是识别码在起作用，它是更复杂的数学工具。

在工业生产比如汽车装配，或者更复杂的FAST天文望远镜装配的时候，成千上万个零件其实更需要二维码的帮助，来进行这些系统的组装。

总结来说，美国数学家莫里斯·克莱因在《西方文化中的数学》中曾经说过这样一句话：数学知识如果脱离了它丰富的文化基础，就会被简化成一些毫无意义、充满技巧性的程序，数学的形象这时候就被扭曲了。

因为我们在课堂中学的数学知识，其实是人类在数千年演化过程中，最需要掌握和最需要传承的。往往是因为时间的原因，老师没有办法把这些数学知识背后的故事告诉你。在中考、高考中，为了在考试中拿到高分，需要有针对性地刷题、不停地刷题。在这个过程中，难免就会觉得这些数学知识太枯燥了，它究竟有什么用呢？这样就会磨灭对于数学的兴趣。

我想通过刚才的小故事告诉大家：**任何一个数学公式、数学算法、数学定理，它背后都有它产生的源泉。**比如身份证中的算法，它至少有一千年的历史，背后有它的数学思想、演化的脉络。

当然对于普通人来讲，数学最大的用处是应用，而不仅仅是为了考试。我们学习数学，是为了更好地认识自然、改造自然。多学一点数学，可以让你看到这个世界上更丰富的色彩。

谢谢大家！